가해 리 대수

리 군론에서 가해 리 대수(可解Lie代數, )는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.

 정의 
가해 리 대수의 개념은 다양하게 정의된다.
 일반적으로, 가해 리 대수는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.
 표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수의 개념은 리 대수 표현론을 사용하여 정의될 수 있다.
 실수체 또는 복소수체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수가 가해 리 대수일 조건은 대응하는 리 군이 가해군인 것이다.

 유도열을 통한 정의 
가환환  위의 리 대수 의 유도열(誘導列, )은 다음과 같다.

만약 어떤 자연수 에 대하여 이라면, 를 가해 리 대수라고 한다. (는 유일한 0차원 리 대수이다.)

리 대수 의 극대 부분 리 대수는 보렐 부분 대수()라고 한다. 리 대수 의 최대 리 대수 아이디얼은 근기라고 한다. (보렐 부분 대수는 일반적으로 유일하지 않지만, 근기는 항상 유일하다.)

 표현론을 통한 정의 
표수 0인 체 위의 유한 차원 리 대수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 가해 리 대수이다.
 의 딸림표현 는 가해 리 대수이다.
 는 멱영 리 대수이다.
 (카르탕 가해성 조건 ) 의 킬링 형식 가 주어졌을 때, 이다.

 리 군 이론을 통한 정의 
라고 하자. 그렇다면, 유한 차원 -리 대수의 경우 가해성은 다음과 같이 정의될 수 있다.

유한 차원 -리 대수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 를 리 대수로 갖는 (유일한) 단일 연결 리 군 는 (군으로서) 가해군이다.
 이며, 라고 하자. 여기서 은 위상수학적 폐포를 뜻한다. 그렇다면 이 열은 유한하다. 즉, 가 한원소 집합인 자연수 가 존재한다.
 는 가해 리 대수이다.
이 경우, 위와 같이 "폐포를 취한 유도열"은 리 대수의 유도열에 대응한다.

연결 리 군이 아닌 리 군 의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 의 연결 성분 는 (군으로서) 가해군이다.
 의 리 대수 는 가해 리 대수이다.

 성질 
 함의 관계 
임의의 가환환 에 대하여, 다음 포함 관계가 (정의에 따라) 성립한다.
-아벨 리 대수 ⊆ -멱영 리 대수 ⊆ -가해 리 대수 ⊆ -리 대수

 연산에 대한 닫힘 
리 대수의 짧은 완전열

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 가 가해 리 대수이다.
 와 가 둘 다 가해 리 대수이다.
증명 ( 가해 ⇒  ,  가해):
이라고 하자. 그렇다면, 이며, 또한 자연스러운 전사 함수

에 따라 이다.

증명 (,  가해 ⇒  가해):
충분히 큰 자연수 에 대하여

라고 하자. 그렇다면,

이므로,

이다.
즉,
 가해 리 대수의 아이디얼은 가해 리 대수이다.
 가해 리 대수의 몫은 가해 리 대수이다.
 가해 리 대수의, 가해 리 대수에 대한 확대는 가해 리 대수이다.

 분류 
리 정리()에 따르면, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체  위의 모든 유한 차원 가해 리 대수는 충분히 큰 에 대하여 의 부분 대수로 나타낼 수 있다. (이 정리는 양의 표수에서 성립하지 않는다.)

 예 
체 에 대하여, 가 모든  상삼각 행렬로 구성된 리 대수라고 하자. 이는 가해 리 대수를 이룬다.

 역사 
리 정리는 소푸스 리가 1876년에 증명하였다.

 같이 보기 
 킬링 형식
 해다양체

 참고 문헌 

 외부 링크 









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