상향 원순서 집합

순서론에서 상향 원순서 집합(上向原順序集合, )은 임의의 유한 부분 집합에 상계가 존재하는 원순서 집합이다. 마찬가지로, 하향 원순서 집합(下向原順序集合, )은 임의의 유한 부분 집합에 하계가 존재하는 원순서 집합이다.

 정의 
임의의 원순서 집합 은 항상 다음과 같이 작은 범주로 여길 수 있다.
 대상은 의 원소이다.
 가 주어졌을 때, 만약 라면 유일한 사상 가 존재하며, 아니라면 그 사이에 사상이 존재하지 않는다.
 의 항등 사상은 이다.
 사상의 합성은 이다.

원순서 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합을 상향 원순서 집합(上向原順序集合, )이라고 한다.
 작은 범주로 여겼을 때, 여과 범주를 이룬다.
 임의의 유한 부분 집합 , 은 상계를 갖는다. 즉,
 (인 경우) 공집합이 아니다.
 (인 경우) 임의의 두 원소 에 대하여, 이자 인 가 적어도 하나 이상 존재한다.
둘째 조건에서, 인 경우는 자명하게 참이며, 인 경우는 인 경우를 재귀적으로 적용하여 유도된다.

마찬가지로, 원순서 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합을 하향 원순서 집합(下向原順序集合, )이라고 한다.
 작은 범주로 여겼을 때, 여과 범주의 반대 범주를 이룬다.
 임의의 유한 부분 집합 , 은 하계를 갖는다. 즉,
 (인 경우) 공집합이 아니다.
 (인 경우) 임의의 두 원소 에 대하여, 이자 인 가 적어도 하나 이상 존재한다.

흔히, 상향 원순서 집합은 단순히 "유향 집합"(有向集合, )으로 불린다.

원순서 집합의 부분 집합 가운데 하향 원순서 집합을 이루는 것을 필터 기저()라고 하며, 그 상폐포는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 원순서 집합의 부분 집합 가운데 상향 원순서 집합을 이루는 것을 순서 아이디얼 기저()라고 하며, 그 하폐포는 순서 아이디얼을 이룬다.

 유향 극한 
임의의 범주  속의 상향 그림(上向-, )은 정의역이 상향 원순서 집합 인 함자 이다. 상향 그림의 극한을 상향 극한()이라고 한다.

임의의 범주  속의 하향 그림(下向-, )은 정의역이 하향 원순서 집합 인 함자 이다. 상향 그림의 쌍대 극한을 하향 쌍대 극한()이라고 한다.

 성질 
원순서 집합  위의 상향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 원순서가 주어진다.

일 경우 이 보다 더 섬세하다()고 한다. 두 상향 부분 집합 , 이 같은 필터를 생성하는 것은 이자 인 것과 동치이다.

마찬가지로, 원순서 집합  위의 하향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 원순서가 주어진다.

두 하향 부분 집합 , 이 같은 순서 아이디얼을 생성하는 것은 이자 인 것과 동치이다.

 참고 문헌 
 J. L. Kelley (1955), General Topology.
 Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press. .

 외부 링크 







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