피타고라스 체

체론에서, 피타고라스 체(Πυθαγόρας體, )는 제곱수들의 합이 제곱수인 체이다.

 정의 
체 의 원소 가운데 일부는 유한 개의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있고, 일부는 유한 개의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없다. 를 제곱수들의 합으로 나타낼 때 필요한 최소 개의 제곱수의 수를 라고 쓰자.

체 의 피타고라스 수(Πυθαγόρας數, ) 는 의 원소에 대하여, 위 함수의 최댓값이다.

즉, 피타고라스 수가 유한한 체 에서, 모든 제곱수의 합은 개 이하의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다.

피타고라스 수가 1인 체를 피타고라스 체(Πυθαγόρας體, )라고 한다. 즉, 피타고라스 체는 제곱수들의 집합이 덧셈에 대하여 모노이드를 이루는 체이다. 즉, 다음 조건이 성립하면 를 피타고라스 체라고 한다.

기하학적으로, 이는 피타고라스의 정리와 유사하다. 즉,  만약 라면, 직각 삼각형에서 사이에 직각이 있는 두 변의 길이가 에 속한다면, 나머지 변도 에 속해야 한다.

체 의 대수적 폐포 가 주어졌다고 하자. 그렇다면  속에, 를 포함하는 최소의 피타고라스 체 가 존재한다. 이를 의 피타고라스 폐포(Πυθαγόρας閉包, )라고 한다.

 성질 
임의의 체 에 대하여, 피타고라스 수와 수준  사이에 다음과 같은 부등식이 성립한다.

모든 양의 정수 에 대하여, 피타고라스 수가 인 형식적 실체가 존재한다.

형식적 실체가 아닌 체의 경우, 피타고라스 수는 다음 세 가지 가운데 하나이다.




 예 
피타고라스 수의 예는 다음과 같다.
 체  피타고라스 수 대수적으로 닫힌 체   1 유한체   2 유리수체   4 (라그랑주 네 제곱수 정리)

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:체론