절대 갈루아 군

대수적 수론 및 체론에서, 절대 갈루아 군(絶對Galois群, )은 주어진 체의 최대 갈루아 확대의 갈루아 군이다. 분해 가능 폐포 의 선택에 의존하지만, 이는 체의 확대의 동형 아래 유일하므로, 절대 갈루아 군은 “내부 자기 동형” 아래 유일하다. 또한, 절대 갈루아 군의 군 코호몰로지는 분해 가능 폐포의 선택에 의존하지 않는다. 완전 비분해 확대의 자기 동형군은 자명하므로, 절대 갈루아 군은 대수적 폐포 의 자기 동형군과 동형이지만, 대수적 폐포는 갈루아 확대가 아닐 수 있다.

대역체의 절대 갈루아 군의 구조에 대한 완전한 이해는 요원하며, 이는 대수적 수론 및 산술 기하학의 주요 목표 가운데 하나다.

 정의 
임의의 체 가 주어졌을 때, 그 분해 가능 폐포 는 의 갈루아 확대를 이룬다. (가 완전체일 때, 는 대수적 폐포 와 같다. 이는 예를 들어 표수 0의 체나 유한체에 대하여 성립한다.) 그 갈루아 군

(즉,  위에서 항등인 의 자기 동형 사상들이 함수의 합성에 따라 이루는 군)을 의 절대 갈루아 군이라고 한다.

체 의 절대 갈루아 군은 의 선택에 의존하지만, 동형 아래 유일하다. 구체적으로, 와 가 분해 가능 폐포이며,

가 그 사이의 -대수 동형일 때,

이다.

 성질 
 노이키르히-우치다 정리 
노이키르히-우치다 정리()에 따르면, 임의의 두 대수적 수체 ,  및 절대 갈루아 군 사이의 위상군 동형 사상

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 체 동형 사상 가 존재한다.

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

특히, 임의의 두 대수적 수체 , 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.



 역문제 
모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이지만, 모든 사유한군이 어떤 절대 갈루아 군과 동형이지는 않다. 예를 들어, 아르틴-슈라이어 정리에 따르면, 유한 절대 갈루아 군은 자명군이거나 2차 순환군이다.

모든 사영 사유한군은 어떤 유사 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군과 동형이다. 이 결과는 알렉산데르 루보츠키()와 라우 판덴드리스()가 증명하였다.

 예 
대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군은 자명군이다.

실수체의 절대 갈루아 군

은 2차 순환군이며, 이는 항등 함수와 복소켤레로 이루어진다.

 유한체 
임의의 유한체 의 절대 갈루아 군은 정수환의 사유한 완비화와 동형이다.

또한, 프로베니우스 사상

은 그 위상 생성원()을 이룬다 (즉, 이를 생성원으로 하는 순환군은 절대 갈루아 군의 조밀 부분군이다).

 유리수체와 샤파레비치 추측 
유리수체의 절대 갈루아 군 의 구조는 알려지지 않았다. 예를 들어, 유리수체의 최대 아벨 확대 의 절대 갈루아 군 이 가산 계수 자유 사유한군인지 여부는 알려지지 않았다. 이를 샤파레비치 추측(Шафаре́вич推測, )이라고 하며, 이고리 샤파레비치가 추측하였다. 만약 샤파레비치 추측이 참이라면, 의 임의의 유한 확대의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다. (이는 유한 부분 확대의 절대 갈루아 군은 유한 지표 닫힌 부분군이며, 위상군의 유한 지표 닫힌 부분군은 항상 열린 부분군이며, 자유 사유한군의 열린 부분군은 항상 자유 사유한군이기 때문이다.)

에 대하여, 다음과 같은 성질들이 성립한다.
 벨리 정리에 따라, 는 데생당팡들 위에서 충실하게 작용한다.
 는 그로텐디크-타이히뮐러 군()의 부분군과 동형이다.

 유리 함수체 
임의의 대수적으로 닫힌 체 의 유리 함수체 의 절대 갈루아 군은 계수 의 자유 사유한군이며, 따라서 의 임의의 유한 확대의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다. 이는 아드리앙 두아디()가 리만 존재 정리를 사용하여 표수 0에 대하여 증명하였다. 일반적인 경우는 데이비드 하베터()와 플로리안 포프()가 증명하였으며, Dan Haran과 Moshe Jarden이 대수적으로 재증명하였다.

특히, 대역 함수체에 대한 샤파레비치 추측(대역 함수체 의 모든 원분체들의 합성체 의 절대 갈루아 군은 자유 사유한군)은 참이다.

 p진 국소체 
가 p진수체 의 유한 확대라고 하자. 만약 라면, 의 절대 갈루아 군 는 위상 유한 표시 사유한군이며, 개의 위상 생성원 및 2개의 관계에 의한 표시를 갖는다. 이는 우베 얀센()과 카이 빙베르크()가 증명하였다. 인 경우는 완전한 묘사가 알려져 있지 않다.

 기타 
유리수체의 대수적 폐포 의 최대 전실() 부분체의 절대 갈루아 군 역시 완전히 묘사되었다.

 참고 문헌 

 외부 링크 






 같이 보기 
 유체론

분류:갈루아 이론
분류:대수적 수론