단순 확대

체론에서 단순 확대(單純擴大, )는 하나의 원소로 생성되는 체의 확대이다.

 정의 
체의 확대 가 주어졌다고 하자. 만약 가 되는 이 존재한다면, 를 단순 확대라고 하고, 를 원시 원소(原始元素, )라고 한다.

만약 가 -초월 원소라면, 는 의 일변수 유리 함수체와 동형이다. 만약 가 -대수적 원소라면, 의 다항식환의 어떤 몫환

과 동형이다. 여기서 는 의 -최소 다항식이다. 이는 기약 다항식이므로, 는 극대 아이디얼이며, 는 체를 이룬다.

 성질 
유한 확대의 경우, 단순 확대가 될 필요충분조건은 원시 원소 정리(原始元素定理, )에 의하여 주어진다. 원시 원소 정리에 따르면, 임의의 유한 확대 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 단순 확대이다.
  사이에, 이 되는 체 의 수는 유한하다.

 사이의 체의 수가 유한하다고 가정하자. 만약 가 유한체라면,  역시 유한체이며, 곱셈군 은 순환군이다. 임의의 생성원 가 주어졌을 때, 이다. 이제, 가 무한체라고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

인 가 존재한다.

이므로, 이다. 수학적 귀납법에 따라, 이라고 하였을 때,

인 가 존재한다. 즉, 는 단순 확대이다.

반대로, 가 의 단순 확대라고 가정하자.  사이의 임의의 체 에 대하여, 가 의 -최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, 는 의 약수이므로, 유한 개밖에 없다. 따라서 이 단사 함수임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식 에 대하여, 가 의 계수들의 집합이라고 하자. 그렇다면, 이다. 임의의 체 에 대하여, 는 -기약 다항식이며, 이므로, 는 -기약 다항식이다. 즉, 은 의 -최소 다항식이기도 하다. 따라서,

이다. 는 유한 확대이며, 이므로, 이다. 만약 이며 이라면, 이다. 즉, 은 단사 함수가 맞다.

또한, 만약 가 유한 분해 가능 확대라면, 는 항상 단순 확대이다. 조금 더 일반적으로, 만약 가 유한 분해 가능 확대이며, 이 대수적 단순 확대라면, 는 단순 확대이다.

유한 분해 가능 확대가 단순 확대라는 사실은 원시 원소 정리와 갈루아 이론을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 원시 원소 정리에 따라,  사이의 체의 수가 유한함을 보이면 충분하다. 이 의 정규 폐포라고 하자. 그렇다면, 는 유한 갈루아 확대를 이룬다.  사이의 체들은  사이의 체들이며,  사이의 체들은 갈루아 군 의 부분군과 일대일 대응하며,

이므로,  사이의 체들의 수는 유한하다.

유한 분해 가능 확대의 대수적 단순 확대가 단순 확대라는 사실은 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 가 유한체라면,  역시 유한체이며, 곱셈군 은 순환군이다. 순환군 의 임의의 생성원은 원시 원소이다.

이제, 가 무한체라고 가정하자. 수학적 귀납법에 따라, 임의의 체  및 분해 가능 확대  및 대수적 확대 에 대하여, 의 원시 원소를 찾으면 충분하다. 이를 위해, 가 원시 원소가 아닌 의 수가 유한함을 보이면 충분하다.

라고 하자. 그렇다면 이다. (만약 라면, 이므로 이다.) 이제, 가 의 최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, 가 분해 가능 확대이므로 는 중근을 갖지 않는다. 또한, 는 두 다항식

의 공통의 근이다. 만약 가 유일한 공통의 근이라면, 두 다항식의 최대 공약수는 이다. 유클리드 호제법에 따라,

인 이 존재하며, 특히 이다. 이는 모순이다. 즉,

인 가 (어떤 대수적 폐포  속에) 존재한다.

라고 하자. 그렇다면

이며, 은 의 근이며, 은 의 근이다. 와 의 근의 수는 유한하므로, 가정을 만족시키는 의 수 역시 유한하다.

 예 
 단순 유한 확대 
는 단순 확대이며, 원시 원소는 이다. 이차 수체  역시 단순 확대이며, 그 원시 원소는 이다.

를 생각하자. 이는, 차수가 4인 유한 확대이며, 또한 표수가 0이므로 분해 가능 확대이다. 따라서, 원시 원소 정리에 따라서 이는 단순 확대이다.

구체적으로, 으로 적자. 그렇다면 은  위에서 선형 독립이며, 이를  기저로 전개할 수 있다. 따라서 는 원시 원소이다.

 단순 무한 확대 
체 의 유리 함수체 는 단순 확대이지만, 무한 확대이다.

 단순하지 않은 유한 확대 
의 확대

를 생각하자. 이는 차수 의 유한 확대이다.

임의의 에 대하여, 이므로, 하나의 원소로 생성되는 확대의 차수는 항상  이하이다. 따라서, 이는 단순 확대가 될 수 없다.

 외부 링크 


분류:체론