모스 호몰로지

미분위상수학에서 모스 호몰로지()는 콤팩트 매끄러운 다양체의 호몰로지를 그 위의 실수 값 함수를 통해 구성하는 방법이다. 다양체의 위상을 실수 값 함수를 통해 분석하는 이론인 모스 이론의 일부이다.

 정의 
 모스-스메일 함수 
섬네일|오른쪽|기울이지 않은 원환면 위의 높이 함수는 모스 함수이지만, 안장점에서 횡단 교차 조건을 충족시키지 못하여 모스-스메일 함수가 아니다.
섬네일|오른쪽|살짝 기울인 원환면 위의 높이 함수는 모스-스메일 함수이다.

콤팩트 매끄러운 다양체  위에 임의의 리만 계량 와 모스 함수 를 정의하자. 이 경우 그 기울기 벡터장 을 정의할 수 있다. 각 임계점 에 대하여, 의 안정 부분 공간(stable subspace) 과 불안정 부분 공간(unstable subspace) 을 정의할 수 있다. 만약 모든 임계점들의 안정 부분공간과 불안정 부분공간이 횡단 교차()한다면 (즉, 모든 에서 이라면) 순서쌍 를 모스-스메일 함수(Morse-Smale函數, )라고 한다. 이는 마스턴 모스와 스티븐 스메일의 이름을 딴 것이다.

 모스 호몰로지의 고전적 정의 
의 기울기 흐름()은 의 임계점들을 연결시킨다. 두 임계점 ,  사이의 기울기 흐름들의 모듈라이 공간 을 정의하자. 이 모듈러스 공간의 차원은 임계점들의 모스 지표의 차의 절댓값과 같다.

모스-스메일 함수 가 주어진 콤팩트 매끄러운 다양체  위에, 모스 사슬 복합체(Morse사슬複合體, ) 는 모스 지표가 인 임계점들로 생성되는 자유 아벨 군이며, 그 위에 정의된 경계 연산자

는 을 로부터 시작하는 의 기울기 흐름들의 (부호가 붙은) 종점들의 합으로 대응시킨다. 이 사슬 복합체로부터 정의한 호몰로지

를 모스 호몰로지라고 한다. 이는 모스-스메일 함수의 선택에 의존하지 않으며, 또한 다른 호몰로지 이론(특이 호몰로지, 세포 호몰로지 등)과 일치함을 보일 수 있다.

 모스-위튼 코호몰로지 
모스 호몰로지는 초대칭 양자역학과 밀접한 관계를 가진다. 이를 사용하여, 모스 (코)호몰로지를 드람 코호몰로지와 호지 이론을 사용하여 재정의할 수 있다. 이는 에드워드 위튼이 발견하였고, 모스-위튼 코호몰로지()라고 불린다.

모스 함수 가 주어진 콤팩트 리만 다양체  위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.

그렇다면 의 고윳값에 따라,  위의 차 미분 형식들의 공간 을 다음과 같이 분해할 수 있다.

이 경우, 일 때 호지 이론에 따라서

이다. 여기서 은 드람 코호몰로지다. 반면, 로 보내자. 그렇다면 는 모스 지표가 인 임계점 근처에 국소화된 차 미분형식들로 이루어진 기저를 가진다. 즉,

이다. 여기서 는 모스 지표가 인 임계점들의 개수다.

이 경우, 다음과 같은 모스-위튼 복합체(Morse-Witten複合體, )가 존재한다.

여기서 공경계 연산자 는 모스-스메일 호몰로지에서의 기울기 흐름과 대응한다.
이 복합체의 코호몰로지는 드람 코호몰로지와 일치하며, 모스-위튼 코호몰로지라고 한다.

이는 을 과녁 공간으로 갖는 초대칭 시그마 모형으로 다음과 같이 해석할 수 있다.
 기호  수학적 설명  물리학적 설명    위의 매끄러운 함수들   위의 보손들의 힐베르트 공간    위의 차 미분 형식들의 공간  페르미온 수가 인 상태들의 힐베르트 공간   외미분  초대칭 연산자의 하나   외미분의 수반(adjoint)  초대칭 연산자의 하나   라플라스-벨트라미 연산자  자유 입자의 해밀토니언   모스 지표가 인 임계점들로 생성되는 벡터 공간  페르미온 수가 인 섭동적 초대칭 바닥 상태들의 힐베르트 공간   모스-위튼 복합체의 공경계 연산자  순간자로 매개되는 터널 효과   모스-위튼 코호몰로지 군  참된 (비섭동적인) 초대칭 진공들의 힐베르트 공간

 역사 
마스턴 모스가 변분법을 연구하면서 1934년에 도입하였다.

1950년대에, 라울 보트는 모스 이론을 특이점들이 고립돼 있지 않고 닫힌 집합을 이루는 경우로 확장한 모스-보트 이론(Morse-Bott理論, )을 도입하였고, 이를 사용하여 위상 K이론의 보트 주기성()을 증명하였다.

1982년에 에드워드 위튼은 모스 이론을 초대칭 양자역학을 사용하여 재정의하였다. 이를 모스-위튼 이론(Morse-Witten理論, )이라고 한다. 1988년에 안드레아스 플뢰어()는 함수 공간에서의 모스 코호몰로지를 사용하여, 심플렉틱 다양체 및 3차원 다양체에 대한 플뢰어 호몰로지를 정의하였다.

 같이 보기 
 초대칭 양자역학
 플뢰어 호몰로지

 참고 문헌 

 외부 링크 



분류:호몰로지 이론
분류:미분위상수학
분류:모스 이론