영역 (환론)

환론에서 영역(領域, )은 0 밖의 영인자가 없는, 자명환이 아닌 환이다. 정역의 개념의 비가환환에 대한 일반화이다.

 정의 
환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 영역이라고 한다.
 는 자명환이 아니며, 임의의 에 대하여, 만약 이라면 이거나 이다.
 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
 왼쪽 영인자가 정확히 한 개 있다 (즉, 0).
 오른쪽 영인자가 정확히 한 개 있다 (즉, 0).

 성질 
다음 함의 관계가 성립한다.
 체  ⇒  정역 ⇓   ⇓  ⇘단순환  ⇒  영역  ⇒  축소환 ⇓   ⇓   ⇓ 左·右 원시환  ⇒  소환  ⇒  반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.
 체    정역 ⇕   ⇕단순환  ⇒  영역  ⇒  축소환 ⇕   ⇕   ⇕ 左·右 원시환    소환    반소환
즉, 가환 영역은 정역이다.

웨더번 정리에 따라서, 유한환인 영역은 유한체밖에 없다.

 예 
모든 나눗셈환(유한체, 유리수체, 실수체, 복소수체, 사원수환)은 영역이다.

후르비츠 사원수()의 환

및 립시츠 사원수()의 환

역시 비가환 영역을 이룬다.

체  위의 텐서 대수(자유 단위 결합 대수) 는 영역이며, 일 경우 비가환 영역이다.

표수가 0인 체  위의 바일 대수  역시 비가환 영역이다.

리 대수 위의 보편 포락 대수는 영역이며, 리 대수가 비아벨 리 대수인 경우 이는 비가환 영역이다.

임의의 환  및 양의 정수 에 대하여, 행렬환 는 영역이 아니다. (만약 가 자명환이 아니라면 이는 0이 아닌 왼쪽·오른쪽 영인자를 갖고, 만약 가 자명환이라면 행렬환 역시 자명환이다.)

 군환의 영역성 
군  및 체 에 대하여, 만약 의 꼬임 부분군이 자명하지 않을 경우 군환 는 0이 아닌 영인자를 가져 영역이 될 수 없다. 예를 들어, 만약 에 대하여 이라면,

이 된다.

일반적으로, 꼬임 부분군이 자명한 군에 대한 군환이 항상 영역이 되는지는 미해결 문제이다. 만약 가 꼬임 부분군이 자명한 가해군이라면 군환이 영역을 이룬다는 사실이 알려져 있다.

 각주 

 외부 링크 


 같이 보기 
 정역
 소환 (환론)

분류:환론