자유곱

추상대수학에서 자유곱(自由곱, )은 주어진 두 대수 구조를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. 대수 구조 다양체에서의 쌍대곱이다. 융합된 자유곱(融合된自由곱, )은 주어진 두 대수 구조를 포함하되, 주어진 "공통 부분"을 이어 붙이는 가장 일반적인 대수 구조이다. 자유곱의 개념을 일반화하며, 대수 구조 다양체에서의 밂을 이룬다.

 정의 
 자유곱 
자유곱은 대수 구조 다양체에서의 쌍대곱이다. 구체적으로, 연산 를 갖는 대수 구조 다양체  속의
두 대수 구조 의 자유곱 은 다음과 같다. 우선, 집합 로 생성되는 자유 대수 를 생각하자. 이제, 에서 성립하는 모든 대수적 관계

와 에서 성립하는 모든 대수적 관계

들의 집합을

라고 하고, 를 포함하는 최소의 합동 관계를

이라고 하자. 그렇다면

이다.

 융합된 자유곱 
융합된 자유곱은 대수 구조 다양체에서의 밂이다. 구체적으로, 연산 를 갖는 대수 구조 다양체  속의 두 준동형

의 융합된 자유곱 는 다음과 같다. 자유곱  위에서,

를 만족하는 최소의 동치 관계를

라고 하자. 그렇다면, 은 합동 관계이며,

이다.

 예 
 군의 자유곱 
군의 대수 구조 다양체에서, 2차 순환군

및 3차 순환군

을 생각하자. 그렇다면, 두 순환군의 자유곱은 다음과 같은 모듈러 군이다.

이 경우, 보통 로 정의한다.

무한 정이면체군

은 다음과 같이 자유곱으로 나타내어진다.

 환의 자유곱 
환의 대수 구조 다양체에서, 환 와 의 자유곱은 비가환 다항식환

이다. 이는 텐서 대수 와 동형이다.

 가환환의 자유곱 
가환환의 자유곱은 환으로서의 자유곱의 가환화와 같다.

가환환의 대수 구조 다양체에서, 가환환 와 의 자유곱은 다항식환

이다.

 자유곱이 자명한 대수 
아벨 군 또는 환  위의 (왼쪽) 가군의 경우, 유한 자유곱은 직접곱과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주이기 때문이다.

집합의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합 이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가  꼴로 자명하기 때문이다.

 같이 보기 
 쌍대곱
 보편 성질

 외부 링크 




분류:추상대수학
분류:군론
분류:대수적 위상수학