프로베니우스 군

군론에서 프로베니우스 군(Frobenius群, )은 어떤 두 부분군의 반직접곱으로 나타내어지고, 군 표현론이 이 두 부분군으로 인해 완전히 결정되는 유한군이다.

 정의 
유한군 가 어떤 유한 집합  위에 다음 조건을 만족시키는 작용을 갖는다면, 를 프로베니우스 군이라고 한다.
 는 두 개 이상의 원소를 갖는다.
 추이적 작용이다.
 임의의 에 대하여, 만약 이라면 이다.
 이며 인  및 가 존재한다.

프로베니우스 군 의 원소들 가운데, 어떤 한 점 의 안정자군 를 의 프로베니우스 여군(-餘群, ) 이라고 한다. (이러한 군들은 모두 서로 켤레 동형이다.) 주어진 프로베니우스 여군 에 대하여, 프로베니우스 핵(-核, ) 은 다음과 같은 원소들로 구성된 정규 부분군이다. (이러한 부분 집합은 항상 정규 부분군을 이룸을 보일 수 있다.)

프로베니우스 핵은 프로베니우스 여군의 선택에 의존하지 않는다. 이에 따라, 는 프로베니우스 핵과 프로베니우스 여군의 반직접곱이다.

주어진 유한군 에 대하여, 가 프로베니우스 군이 되게 하는 작용들은 모두 서로 동형이다.

 성질 
프로베니우스 군 의 프로베니우스 핵이 이며, 프로베니우스 여군이 라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.
 는 멱영군이다.
 만약 의 크기가 짝수라면, 는 아벨 군이다.
 의 임의의 부분군 에 대하여, 만약 의 크기가 두 소수의 곱이라면, 는 순환군이다.

 표현 
프로베니우스 군 의 프로베니우스 핵이 이며, 프로베니우스 여군이 라고 하자. 그렇다면 의 복소수 기약 표현들은 다음 두 종류 가운데 하나이다.
 의 복소수 기약 표현 에 대하여, 라면 는 의 복소수 기약 표현이다.
 의 복소수 기약 표현 에 대하여, 만약 가 자명한 1차원 표현이 아니라면, 에 대한 유도 표현 역시 의 복소수 기약 표현이다.

 예 
대표적인 프로베니우스 군의 예로는 다음을 들 수 있다.
 군  군의 크기  작용하는 집합의 크기  프로베니우스 핵  프로베니우스 여군   6  3                       , 는 아벨 군        

 역사 
페르디난트 게오르크 프로베니우스가 도입하였다.

 참고 문헌 

 외부 링크 


분류:순열군
분류:유한군