육만오천오백삼십칠각형

육만오천오백삼십칠각형(六萬五千五百三十七角形)은 다각형의 하나로, 65537개의 변과 65537개의 꼭짓점을 가진 도형이다. 내각의 합은 11796300°, 대각선의 개수는 2147450879개이다.

특별한 점이 있다면, 정65537각형은 컴퍼스와 자 작도가 가능한 도형이다.

 성질 
정65537각형의 형상은 변의 수가 매우 많기 때문에 거의 원에 가깝다. 정65537각형의 외각의 크기는

이고, 내각의 크기는 약 179.99450692°이다. 반지름이 1인 원에 내접하는 정65537각형의 면적은

이고, 이 원의 면적인 원주율에 지극히 가까운 수치이다. 한 변의 길이는

이다. 예를 들면, 가로, 세로 200미터의 영역에 가능한 크게 정65537각형을 그려도, 한 변의 길이는 1 센티미터 미만(약 9.58 밀리미터)밖에 안 된다.

 작도 가능성 

65537은 의 형태로 알려져 있는 페르마 소수이다. 카를 프리드리히 가우스는 1801년에 출판한 《산술 연구》에서 가 페르마 소수라면 정각형은 자와 컴퍼스로 작도 가능함을 증명했다. 반대로, 소수 에 대해서 정각형이 작도 가능하면 는 페르마 소수라는 것도 증명했다. 알려져 있는 페르마 소수는 가우스 이전부터
 3, 5, 17, 257, 65537 
뿐이며, 이것이 전부라고 예상되고 있다.

정65537각형이 컴퍼스와 자로 작도 가능하다는 일은 1의 65537제곱근

의 실수부와 허수부가 모두 유리수로부터 시작해 사칙연산 및 제곱근을 취하는 계산을 유한한 횟수로 조합해 표현할 수 있는 것을 의미한다.

 작도법 
가우스는 결과적으로 정65537각형이 작도 가능하다는 것을 증명했지만, 구체적인 작도법을 준 것은 아니다. 그 증명 및 배경을 잘 이해하면 원칙적으로는 작도법을 이끌 수 있지만, 이는 방대한 작업이다. 독일의 요한 구스타프 헤르메스는 10년의 세월을 걸쳐 정65537각형의 작도법을 조사해 1894년에 계산의 요지만의 보고를 학술지에 발표했다. 200쪽을 넘는 원고는 괴팅겐 대학교에 보관되어 있다.

 각주 

 같이 보기 
 페르마 수
 컴퍼스와 자 작도

 외부 링크 


분류:변의 수에 따른 다각형
분류:유클리드 평면기하학
분류:작도가능한 다각형
분류:카를 프리드리히 가우스