고런스틴 환

가환대수학에서 고런스틴 환(Gorenstein環, )은 국소적으로 표준 선다발의 단면의 가군층이 자유 가군층인 가환환이다. 즉, 특이점을 가질 수 있지만, 특이점이 비교적으로 "정칙적인" 아핀 스킴에 대응하는 가환환이다.

 정의 
뇌터 국소환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 국소환을 고런스틴 국소환()이라고 한다.
 의 단사 차원이 유한하다.
 의 단사 차원이 크룰 차원과 같다. (뇌터 국소환의 크룰 차원은 항상 유한하다.)

 인 가 존재한다.
 다음 두 조건이 성립한다.
 모든 에 대하여, 

 는 코언-매콜리 환이며, 
여기서 는 의 크룰 차원이며, 는 Ext 함자이다.

뇌터 가환환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 고런스틴 환()이라고 한다.
 모든 극대 아이디얼에서의 국소화가 고런스틴 국소환이다.
 모든 소 아이디얼에서의 국소화가 고런스틴 국소환이다.

마찬가지로, 국소 뇌터 스킴에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 뇌터 스킴을 고런스틴 스킴()이라고 한다.
 모든 닫힌 점(극대 아이디얼)에서의 국소 가환환이 고런스틴 국소환이다.
 모든 점(소 아이디얼)에서의 국소 가환환이 고런스틴 국소환이다.

 성질 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
정칙환 ⊊ 완비교차환() ⊊ 고런스틴 환 ⊊ 코언-매콜리 환

뇌터 국소환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 가 고런스틴 국소환이다.
 의 (극대 아이디얼에서의) 완비화 가 고런스틴 국소환이다.

임의의 체  위의 아르틴 가환 결합 대수(즉, -벡터 공간으로서 유한 차원인 것) 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 고런스틴 환이다.
 어떤 -선형 변환 에 대하여, 대칭 쌍선형 형식 이 비퇴화 쌍선형 형식이다.
크룰 차원이 0인 임의의 뇌터 국소환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 고런스틴 국소환이다.
 는 -벡터 공간으로서 1차원이다.

 세르 쌍대성 
다음이 주어졌다고 하자.
 고런스틴 스킴 
 체 
 유한형 사상 
그렇다면, 세르 쌍대성에서, 쌍대화 복합체는 사실 하나만의 가역층으로 주어진다. (이는 쌍대화 복합체에서 등급 의 성분이다.) 물론, 만약 가 매끄러운 사상이라면, 이 가역층은 차 미분 형식의 가역층인 표준 선다발이다.

 역사 
대니얼 고런스틴()의 대수 곡선에 대한 논문을 바탕으로, 알렉산더 그로텐디크가 도입하였다. 고런스틴 자신은 "나는 고런스틴 환의 정의조차 이해하지 못한다"고 말하는 것을 좋아했다고 한다.

 각주 

 외부 링크 




 같이 보기 
 코언-매콜리 환

분류:가환대수학