2차원 𝒩=2 초등각 장론

양자장론에서, 2차원  초등각 장론(二次元超等角場論, )은 두 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론 및 거울 대칭에서 중요한 역할을 한다.

 𝒩=2 초등각 대수 
2차원  초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.
 기호  이름  무게   U(1) R대칭 전하    에너지-운동량 텐서  2  0   초전류  3/2  ±½   R대칭 보존류  1  0   중심 원소  0  0
통상적으로, 를 다음과 같이 정의한다.

이는 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형의 경우, 칼라비-야우 다양체의 복소수 차원에 해당한다.

이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. 여기서 는 에서 비특이항을 뜻한다.

 모드 전개 
 대수의 생성원은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.

여기서 NS 경계 조건의 경우 이며 R 경계 조건의 경우 이다.

이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.
c는 모든 원소와 가환

 대역적 대수 
NS 대수에서, , , , , 는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭 이다. 이 리 초대수의 보손 성분 는 각각 R대칭 및 (정칙) 등각 대칭에 대응한다.

R 대수에서, , , , 는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.

이는 콤팩트 리만 다양체에서 , , 가 이루는 대수와 같다.

 표현 
 베르마 가군 
비라소로 대수의 경우와 마찬가지로,  초등각 대수의 기약 표현은 초1차장(超一次場, ) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다. 초1차장 은 다음 조건을 만족시킨다.

초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

여기서  및 인 것은

이기 때문이다. 또한, 인 것은 라몽 대역 초등각 대수 의 작용을 대각화시켜, 초1차장 에 대하여 항상 다음이 성립하도록 잡을 수 있기 때문이다.

 유니터리 초1차장의 범위 

다음과 같은 함수들을 정의하자.

은  반평면에 직선을 정의하며, 은  반평면에 포물선을 정의한다.

그렇다면,  대수의 유니터리 표현은 다음과 같은 세 가지가 있다.
   범위  NS 조건  R 조건 유질량 표현     무질량 표현    최소 모형의 표현   , ,  , , 
일 경우, 유질량 · 무질량 유니터리 표현이 존재한다. 유질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 양수이며, 따라서 유니터리 표현이다. 무질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 0이다. 일 경우, 가능한 유니터리 표현들은  최소 모형에 등장하는 것들이다.

특히, 에서 이라고 한다면,

이므로, 항상

가 성립한다. 즉, NS 경계 조건에서는

이며 (), R 경계 조건에서는

이다 (). NS (반)손지기장 또는 R 바닥 상태는 위 부등식을 포화시킨다.

이 되는 점들은 다음과 같은 포물선 위에 위치한다.

즉, 유질량 초1차장들은 이 포물선의 상부 에만 존재할 수 있다.

 c=3인 경우 
유니터리 표현의 분류는 인 경우에 단순해진다. 이 중심 전하는 자유 보손 · 페르미온 이론의 중심 전하와 같다. 이 경우,

이므로, 유질량 표현은 존재하지 않으며, 무질량 표현들은 다음과 같다.

 BPS 상태 
NS 초1차장 가운데 만약

인 상태 가 있다면,

이 된다. 이는 BPS 상태의 일종이며, + 부호일 경우 손지기장(), − 부호일 경우 반손지기장()이라고 한다. 유니터리 NS (반)손지기장의 경우  조건에 의하여

이다.

특별한 경우로, 진공 일 경우에는

이다.

라몽 초1차장 가운데, 만약 일 경우,

이 성립한다. 이는 과 같은 조건이다. 이 역시 BPS 상태의 일종이며, 이러한 상태를 라몽 바닥 상태()라고 한다.
유니터리 라몽 초1차장의 경우  조건에 의하여

이다.

 초공간 
2차원  초대칭은 초공간 를 사용하여 나타낼 수 있다. 이 경우, 보손 좌표 는 복소평면 로 여겨, 복소수 좌표 로 적을 수 있으며, 페르미온 좌표도 두 개의 반가환 복소수 로 나타낼 수 있다. 이 때

이다. 이 경우,  및 은 각각 스핀 를 갖는다. 즉, 이는 국소적으로 복소수 외대수

의 층을 갖는 환 달린 공간이다.

일반적 초장은

와 같이, 총 6개의 장으로 구성된다. 여기에 공변 초미분 , 을 정의하면 손지기 초장()

및 반손지기 초장(

및 뒤틀린 손지기 초장()

및 뒤틀린 반손지기 초장()

이 존재한다. 이들은  초등각 대칭에서, 정칙 초등각 대수에 대하여 (반)손지기장이자 반정칙 초등각 대수에 대하여 손지기장인 초등각 대수 기약 표현을 나타낸다.

 성질 
 위상 뒤틀림 
정칙  초등각 장론이 주어졌을 때, 그 힐베르트 공간  위에

이므로, 이를 사용하여 코호몰로지를 정의할 수 있다. 즉, 를 BRST 연산자로 간주할 수 있다. 이렇게 하면 위상 양자장론을 얻게 되고, 이 경우 살아남는 상태들은

인 것들, 즉 (인 경우) 손지기장 또는 (인 경우) 반손지기장이다. 이들은 BPS 상태이며, 각각 손지기환() 및 반손지기환()이라는 등급 가환환을 이룬다.

비정칙  초등각 장론이 주어졌을 때에는 서로 동치이지 않는 두 개의 위상 뒤틀림이 존재하며, 다음과 같다.

이 경우, A-뒤틀림은

인 것들을 남기고 (ac환 ), B-뒤틀림은

인 것들을 남긴다 (cc환 ). 여기서 ‘a’와 ‘c’는 (반)손지기()의 영어 머릿글자이다. aa환과 cc환이 서로 동형이며, ac환과 ca환이 서로 동형이다.

 스펙트럼 흐름 
 NS 대수 및 R 대수는 사실 서로 동형이며, 이 동형을 스펙트럼 흐름()이라고 한다.

스펙트럼 흐름은 어떤 연속 매개변수 에 대한 유니터리 변환으로 구현되며, 라면 이는 NS 경계 조건에서 R 경계 조건으로 가는 변환이며, 이라면 이는 NS 또는 R 경계 조건에서의 자기 동형을 이룬다. 이에 따라, 등각 무게와 R대칭 전하는 다음과 같이 변환한다.

스펙트럼 흐름 아래

는 불변량이다. 즉, 다음과 같이 로런츠 변환과 유사하게 작용한다.

여기서

이므로,

이다.

이에 따라, 일 때 손지기장 은 인 R 바닥 상태로 대응된다. 마찬가지로, 인 경우, 손지기장 는 반손지기장 으로 대응된다.

           손지기장   라몽 바닥 상태   반손지기장   손지기장   라몽 바닥 상태   반손지기장  손지기장   라몽 바닥 상태   반손지기장 

 모듈러 불변성 
 초등각 장론이 주어졌을 때, R대칭에 대한 퓨가시티

를 삽입하여, 다음과 같은 분배 함수를 정의할 수 있다.

이는 모듈러 군의 S변환

아래 다음과 같이 변환한다.

즉, S변환에 대하여 복소수 위상을 얻는다.

이와 유사하게, R 경계 조건에서 페르미온 수 를 삽입하여, 다음과 같은 타원 종수(楕圓種數, )를 정의할 수 있다.

이는 위튼 지표의 일반화이며,  및 에 대하여 정칙 함수이다. 이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

따라서, 타원 종수는 무게 0, 지표 의 약한 야코비 형식을 이룬다.

 예 
 자유 이론 
2차원  초등각 장론의 가장 간단한 예는 자유 입자로 구성된 이론이다. 이 이론은 을 가지며, 정칙 이론의 경우, 존재하는 비라소로 1차장은 다음과 같다.
 경계 조건  장  무게   R대칭 전하   설명  1  0  1  진공 NS    3/2  +1  초전류 NS    3/2  −1  반초전류 NS    1  0  R대칭 보존류 NS     ½  +1  페르미온 NS     1  0  보손 NS     ½  −1  반페르미온 NS     1  0  반보손 R    ⅛  −½  라몽 바닥 상태 R    ⅛  ½  라몽 바닥 상태
이 이론은 진공 밖에, 하나의 손지기 초1차장 과 하나의 반손지기 초1차장 를 갖는다. 즉, 손지기환은 와 동형이다.

이들로부터 정의되는  대수는 구체적으로 다음과 같다. 복소수 보손 의 실수 · 허수 성분의 모드 전개를 각각 , 이라고 하고, 복소수 페르미온 의 모드 전개를 라고 하자. 이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.

그렇다면 다음과 같이   초등각 대수를 구성할 수 있다.

 최소 모형 

인 일련의  최소 모형들이 존재한다. 이들은 정칙 이론들이며, 비정칙  모듈러 불변 최소 모형들은 일종의 ADE 분류에 따라 분류된다.

 잉여류 모형 
단순 리 군  및 닫힌 부분군 가 주어졌으며, 이며, 의 중심의 차원이 양수일 때, 잉여류 공간 는 콤팩트 켈러 다양체이며, 그 위에 가자마-스즈키 모형()이라는  등각 장론을 정의할 수 있다. 이는 가자마 요이치()와 스즈키 히사오()가 도입하였다.

 시그마 모형 
복소수 차원 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 2차원 시그마 모형은 인  초등각 장론을 이룬다.

임의의 초다중항은 왼쪽 손지기인지 여부와 오른쪽 손지기인지의 여부에 따라서, 다음과 같이 세 가지로 분류된다.
 0-BPS 상태. 즉, 왼쪽 손지기도, 오른쪽 손지기도 아니다. 이는 칼라비-야우 다양체의 기하학적 (비(非)위상수학적) 성질로부터 결정된다.
 ¼-BPS 상태. 왼쪽 손지기이지만 오른쪽 손지기가 아니거나, 그 반대이다. 이는 타원 종수로부터 결정된다.
 ½-BPS 상태. 왼쪽 · 오른쪽 손지기이다. 이는 위상 뒤틂으로 얻어지는 (c,c) 또는 (a,c) 환에 속하며, 이러한 상태의 수는 칼라비-야우 다양체의 호지 수에 의하여 결정된다.
타원 종수는 야코비 형식을 이루는데, 낮은 차원 ()의 경우 이러한 야코비 형식의 벡터 공간은 1차원이며, 따라서 호지 수로부터 완전히 결졍된다.

 응용 
 초등각 장론은 초끈 이론에서 4차원  진공해를 얻기 위하여 사용된다.

 역사 
1976년에 초끈 이론에서 최초로 발견되었고, 1977년에 빅토르 카츠가 같은 대수를 독자적으로 재발견하였다.
그 유니터리 표현들은 1986년에 분류되었다. 이후 1988년에 NS 대수와 R 대수가 스펙트럼 흐름으로 서로 동형임이 밝혀졌다.

 참고 문헌 

 외부 링크 




 같이 보기 
 2차원 등각 장론
 2차원 𝒩=1 초등각 장론
 2차원 𝒩=4 초등각 장론
 끈 이론
 초대칭
 최소 모형 (등각 장론)
 야코비 형식

분류:끈 이론
분류:등각 장론
분류:리 대수
분류:표현론
분류:초대칭