에일렌베르크-매클레인 공간

대수적 위상수학에서 에일렌베르크-매클레인 공간(-空間, )은 주어진 특정 차수의 호모토피 군을 제외하고 다른 호모토피 군이 모두 자명군인 위상 공간이다.

 정의 
군  및 양의 정수 에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 은 다음과 같은 호모토피 군을 갖는 위상 공간이다.

만약 이라면, 는 아벨 군이어야만 한다. 이러한 성질을 갖는 공간은 항상 존재하며, 항상 CW 복합체로 잡을 수 있으며, 약한 호모토피 동치를 무시하면 유일하다.

주어진 아벨 군 에 대하여, 고리 공간 함자 을 통해

을 정의할 수 있다. 이는 스펙트럼을 이루며, 에일린베르크-매클레인 스펙트럼이라고 한다. 이는  계수의 코호몰로지를 나타내는 스펙트럼이다.

 구성 
임의의 군  및 양의 정수 이 주어졌으며, 만약 이라면 가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면
는 다음과 같이 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.

 CW 복합체를 통한 구성 
을 이루는 CW 복합체를 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선, 차원 초구들의 쐐기합의 차 호모토피 군은 일 경우 자유군이고, 일 경우 자유 아벨 군이다.

군 의 표시

를 임의로 고르자. 여기서 는 일 경우 집합  위의 자유군이며 일 경우 집합  위의 자유 아벨 군이다. 그렇다면, 차원 초구들의 쐐기합

을 생각하자. 각 에 대하여, 에 대응하는 사상

을 고르자. 이 사상을 따라, 차원 세포들을 붙여 CW 복합체 을 만들 수 있다. 그렇다면

이다. 그러나 은 자명하지 않은 고차 호모토피 군을 가질 수 있다.

이를 차례로 다음과 같이 없앨 수 있다.
 의 생성원들을 골라, 그 수만큼 차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 라고 하자.
 의 생성원들을 골라, 그 수만큼 차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 라고 하자.
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이와 같이 계속하여 모든 에 대하여 을 정의한 뒤, 그 귀납적 극한

을 취하자. 그렇다면 은 을 이룬다.

 분류 공간을 통한 구성 
군 에 이산 위상을 주자. 그렇다면, 분류 공간 는 1차 에일렌베르크-매클레인 공간

을 이룬다.  이러한 분류 공간은 다음과 같이 단체 복합체로 구성할 수 있다. 우선, 가 다음과 같은 무한 차원 단체 복합체라고 하자.
 의 차원 단체의 집합은 이다.
 은 각 에 대하여 면 과 붙여져 있다.
이는 축약 가능 공간이다.  위에는 다음과 같은 의 작용이 존재한다.

이에 따라 몫공간 를 정의할 수 있다. 정의에 따라 이는 이며 고차 호모토피 군을 갖지 않는다.

마찬가지로 고차 에일렌베르크-매클레인 공간도 유사한 방법으로 정의할 수 있다.

 성질 
다음이 성립한다.

여기서 는  위의 고리 공간()이다.

에크먼-힐튼 쌍대성() 및 브라운 표현 정리에 따라, 코호몰로지는 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼에 의하여 표현된다.

특히,

이다.
 첫 등식은 이 무한 순환군의 분류 공간 이므로, -주다발은 1차 코호몰로지류에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, 에 대응하는 코호몰로지류는 의 유일한 1차 코호몰로지류의 당김이다.
 둘째 등식은 이 원군의 분류 공간 이므로, U(1)-주다발 (복소수 선다발)은 2차 코호몰로지류 (천 특성류)에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, 에 대응하는 코호몰로지류는 의 2차 코호몰로지 의 생성원의 당김이다.

 예 
대표적인 에일렌베르크-매클레인 공간으로는 다음이 있다.
      타원면   (차 자유군)  원의 쐐기합    무한 차원 실수 사영 공간    무한 차원 렌즈 공간     (종수  콤팩트 가향 곡면)    (는 매듭)    무한 차원 복소수 사영 공간    초구 위의 무한 차원 짜임새 공간 

유한 차수 원소를 갖는 군 에 대하여, 은 유한 차원 CW 복합체가 될 수 없다.

 역사 
사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 도입하였다.

 같이 보기 
 포스트니코프 탑
 무어 공간 (대수적 위상수학)

 각주 

 외부 링크 







분류:호모토피 이론