한원소 집합

집합론에서 한원소 집합(한元素集合, )은 하나의 원소만을 갖는 집합이다.

 정의 
집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 한원소 집합이라고 한다.
 집합의 크기가 1이다.
 이며, 임의의 에 대하여, 이다.
 는 두 개의 부분 집합을 가진다. 즉, 멱집합 의 크기는 2이다.
 집합과 함수의 범주 에서의 끝 대상이다. 즉, 임의의 집합 에 대하여, 에서 로 가는 함수는 유일하다.
 임의의 집합  및 함수 에 대하여, 는 단사 함수이다.
 임의의 집합  및 함수 에 대하여, 는 전사 함수이다.
 임의의 집합 에 대하여, 곱집합 는 와 같은 크기를 갖는다. 즉, 전단사 함수 가 존재한다.

 한원소 공간 
위상 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 한원소 공간()이라고 한다.
 집합으로서 한원소 집합이다.
 위상 공간과 연속 함수의 범주의 끝 대상이다. 즉, 임의의 위상 공간 에 대하여, 연속 함수 가 유일하게 존재한다.
 인 체 가 존재한다. 여기서 은 환의 스펙트럼이다.
 임의의  체 에 대하여, 이다.
 이산 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
 콜모고로프 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
 하우스도르프 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
 이산 공간이자 연결 공간이며, 공집합이 아니다.

 한원소 대수 구조 
임의의 부호수에 대하여, 한원소 집합 위에는 유일한 대수 구조를 줄 수 있다. 예를 들어, 군의 구조를 주면 자명군, 환의 구조를 주면 자명환이 된다. 이는 대수 구조 다양체 범주에서 끝 대상을 이룬다.

 같이 보기 
 자명군
 자명환
 모임 (집합론)

 외부 링크 


분류:집합론의 기본 개념
분류:1