케일리-딕슨 구성

추상대수학에서 케일리-딕슨 구성(Cayley-Dickson構成, )은 어떤 환 위의 대수에 대하여, 차원이 두 배인 대수를 만드는 한 방법이다. 이 경우, 원래 대수의 일부 성질들이 확장된 대수에서도 성립한다.

 정의 
가환환 가 주어졌다고 하자.

그 위의 *-대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 -가군 
 -가군 준동형 . (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있다.)
 -가군 준동형 . 이는 다음 두 조건을 만족시킨다.



또한, 의 가역원 이 주어졌다고 하자.

그렇다면, -가군의 직합  위에 다음과 같은 -대수 구조 및 대합을 줄 수 있다.

즉, 새 원소 를 추가하며, 로 쓰면, 모든 에 대하여 다음과 같은 대수 관계를 준다.

그렇다면 이는 *-대수 를 이룬다. 또한, 이에 따라 표준적인 단사 *-대수 준동형 가 주어진다.

케일리-딕슨 구성에서 추가되는 원소를 와 같이 재정의할 경우, 가 된다. 즉, 케일리-딕슨 구성은 제곱 유군의 원소 에 의하여 분류된다. 특히, 이차 폐체의 경우, 케일리-딕슨 구성의 각 단계는 유일하다.

 성질 
유사환  위의 대합 대수  및 그 케일리-딕슨 대수 에 대하여, 가 다음 조건을 만족시킨다면, 는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
 의 성질  의 성질 단위원 을 갖는다 단위원 를 갖는다 *-조건이 성립  *-조건이 성립 교환 법칙이 성립하며, 는 항등 함수  교환 법칙이 성립 교환 법칙·결합 법칙이 성립  결합 법칙이 성립 결합 법칙이 성립하며,  *-조건이 성립  교대 대수
여기서 -조건은 다음과 같다.
 모든 에 대하여, 
여기서

는 각각 교환자 및 결합자이다.

표수가 2가 아닌 체  위의 모든 합성 대수는 로부터 0번 ~ 3번 (를 사용하는) 케일리-딕슨 구성으로부터 주어진다. 표수가 2인 체의 경우, 모든 [[합성 대수는  자체 또는 2차원 합성 대수에 마찬가지로 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

 예 
실수 를 스스로 위의 대수로 여겨, 케일리-딕슨 구성을 가하면, 다음과 같다.
 대수  이름  성질   실수  교환 법칙 · 결합 법칙 · 대합이 항등 함수 · 단위원 존재   복소수  교환 법칙 · 결합 법칙 · 단위원 존재   사원수  결합 법칙 · *-조건 ·  단위원 존재   팔원수  교대 대수 · *-조건 · 단위원 존재   십육원수  *-조건 · 단위원 존재
이 대수들의 경우

이므로, 곱셈과 호환되는 노름 을 줄 수 있다.

 역사 
아서 케일리와 레너드 유진 딕슨 이 도입하였다.

 각주 

  오류 정정 


 외부 링크 


분류:비결합대수
분류:합성 대수