프로베니우스 사상

가환대수학과 체론에서 프로베니우스 사상(Frobenius寫像, )은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다.

 정의 
가환환 의 환의 표수가 이며, 가 소수라고 하자. 그렇다면 의 프로베니우스 사상 은 다음과 같다.

이는 환 준동형을 이룬다. 이는

이기 때문이다. 위 항등식은 신입생의 꿈(新入生-, ) 또는 1학년의 꿈이라고 한다. 이름과 같이 이 항등식은 복소수체 위에서 성립하지 않는다 (예를 들어, 이다).

 스킴의 프로베니우스 사상 
소수 가 주어졌을 때, 유한체  위의 스킴 가 주어졌다고 하자. 의 임의 아핀 부분 스킴 에 대하여, 는 -단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 -스킴 사상 을 의 절대 프로베니우스 사상이라고 한다. 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.

여기서 는 -스킴의 범주 의 항등 함자이다.

 산술·기하 프로베니우스 사상 
-스킴  위의 스킴 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 절대 프로베니우스 사상 와의 올곱을 취하면

를 정의할 수 있다. 이는 함자

를 이루며, 프로베니우스 스칼라 확대()라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

을 산술 프로베니우스 사상()이라고 한다.

만약 의 절대 프로베니우스 사상 이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, 가 완전체의 스펙트럼이라면), 역사상 에 대한 올곱

을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

을 기하 프로베니우스 사상()이라고 한다.

 상대 프로베니우스 사상 
-스킴  위의 스킴 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱의 보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 이 존재한다.

이를 상대 프로베니우스 사상()이라고 한다. 이는 자연 변환

을 이룬다.

물론, 라면 (또는 보다 일반적으로 라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

 성질 
소수 표수의 가환환  위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.

양의 표수의 체 에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건은 가 완전체인 것이다.

 고정점 
유한체  위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리).

양의 표수 의 체  위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 차 다항식의 근의 수는 개 이하이며, 는 이미 개의 근을 이루므로,  위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 이다.
보다 일반적으로, 양의 표수 의 정역 에 대해서, 항상 분수체 를 취할 수 있으므로, 표수 의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 이다.

 갈루아 군 
유한체 의 유한 확대 의 갈루아 군은 순환군이다.

프로베니우스 자기 동형

은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.

마찬가지로, 유한체 의 유한 확대 의 갈루아 군은 순환군

이며, 프로베니우스 자기 동형의 제곱

은 그 생성원을 이룬다.

의 곱셈군 은 차 순환군이므로, 임의의 에 대하여 이며, 따라서 임의의 에 대하여 이다. 임의의 에 대하여, 의 근의 수는  이하이므로, 인 이 존재한다. 즉,

를 생성원으로 하는 순환군은 차 순환군이다. 가 갈루아 군의 원소이므로, 이 순환군의 개의 원소 역시 갈루아 군의 원소들이다. 그런데 갈루아 군의 원소의 수는 확대의 차수

이하여야 한다. 따라서 이 순환군은 갈루아 군 전체와 같다.

 스킴 위의 갈루아 군의 작용 
유한체  위의 스킴 가 주어졌다고 하자.
유한체 은 완전체이므로 의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며,  및 은 와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은  위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.

이제, 의 -점들의 집합  위에는 갈루아 군 (의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

또한,  위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.

이 두 작용은 서로 일치한다.

따라서, 산술 프로베니우스 사상 은 -점의 집합 위의 갈루아 군 의 작용을 나타낸다.

 에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상 
유한체  위의 스킴 가 주어졌다고 하자.  위의 작은 에탈 위치 를 생각하자. 그렇다면,  위의 상대 프로베니우스 사상

과 기하 프로베니우스 사상

은 토포스  위의 같은 기하학적 사상
을 유도한다.

특히,  위의 아벨 군 값의 층 이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 의 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다.

 수론적 성질 
대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 프로베니우스 원소()라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.

 국소체 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 두 비아르키메데스 국소체 ,  사이의 비분기 유한 갈루아 확대 
대수적 정수환 의 유일한 극대 아이디얼을 라고 하고, 의 유일한 극대 아이디얼을 라고 하자.

그렇다면, 잉여류체 와 는 둘 다 유한체이며,

이다. (여기서 는 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소

가 존재하며, 이를 의 프로베니우스 원소라고 한다.

 대역체 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 가 갈루아 확대인 대수적 수체 
 소 아이디얼  (는 대수적 정수환). 소수 에 대하여 이며, 가 비분기라고 하자.
가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 은 를 고정시킨다. 즉, 에서의 분해군()

은 갈루아 군  전체이다.

이 경우,

를 만족시키는 유일한 원소

가 존재한다. (여기서 는 진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가 인 이산 값매김환의 분수체이다.) 이를 의 프로베니우스 원소 라고 한다.

 예 
유한체 계수의 유리 함수체 의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, 는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 는 완전체가 아니다.

 역사 
페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.

 같이 보기 
 완전체
 각주 

 외부 링크 








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