실베스터 행렬

가환대수학에서 실베스터 행렬(Sylvester行列, )은 두 다항식의 공약 다항식에 대한 정보를 담고 있는 정사각 행렬이다.

 정의 
가환환  계수를 갖는 두 0이 아닌 다항식 의 실베스터 행렬은  정사각 행렬이다. 구체적으로, 만약

라면, 와 의 실베스터 행렬은 다음과 같은  행렬이다.

 성질 
가환환 계수를 갖는 두 다항식의 실베스터 행렬의 행렬식은 두 다항식의 종결식과 같다. 가환환 계수의 다항식의 판별식은 자기 자신과 그 도함수의 종결식을 사용하여 나타낼 수 있으므로, 역시 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 나타낼 수 있다.

두 다항식 에 대하여,

이다. 여기서 는 행렬의 계수이다.

특히, 대수적으로 닫힌 체  및 두 다항식 가 근을 공유하지 않을 필요충분조건은 가 가역 행렬인 것이며, 일 필요충분조건은 이다.

 역사 
제임스 조지프 실베스터가 도입하였다. 실베스터는 판별식을 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 나타낼 수 있음을 보였다.

 참고 문헌 

 외부 링크 


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