극한 기수

집합론에서 극한 기수(極限基數, )는 바로 다음 기수 연산만으로 도달할 수 없는 기수이다.

 정의 
기수 가 다음 조건을 만족시키면, 극한 기수라고 한다.
 인 기수 가 존재하지 않는다.
극한 기수가 아닌 기수를 따름 기수(따름基數, )라고 한다. (일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

기수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 강극한 기수(強極限基數, )라고 한다.
 모든 기수 에 대하여, 
 모든 기수 에 대하여, 
(일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

 성질 
임의의 순서수 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 극한 순서수이다.
 는 극한 기수이다. (는 알레프 수)
 는 강극한 기수이다. (는 베트 수)

모든 강극한 기수는 극한 기수이다. 만약 일반화 연속체 가설이 성립한다면, 모든 극한 기수는 강극한 기수이다.

만약 선택 공리가 성립한다면, 모든 따름 기수는 정칙 기수이다.

 예 
가산 극한 기수는 0과  밖에 없다. 이들은 둘 다 강극한 기수이다.

최소의 비가산 극한 기수는 이며, 최소의 비가산 강극한 기수는 이다.

알레프 수의 고정점(즉, 인 )은 항상 극한 기수이다. 베트 수의 고정점은(즉, 인 )은 항상 강극한 기수이다. (이는 등식에 따라 가 극한 순서수이기 때문이다.) 그러나 이 명제들의 역은 성립하지 않는다.

 같이 보기 
 도달 불가능한 기수

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:기수 (수학)