초거리 공간

수학에서 초거리 공간(超距離空間, )은 삼각 부등식보다 더 강한 부등식을 만족시키는 거리 공간이다.

 정의 
집합  위의 초거리 함수()는 다음 조건들을 만족시키는 함수

이다.
 (대칭성) 모든 에 대하여, 
 모든 에 대하여, 
 (초거리 부등식 ) 모든 에 대하여, 
초거리 공간은 초거리 함수를 갖춘 집합이다.

 성질 
섬네일|오른쪽|초거리 공간에서 가능한 삼각형
초거리 함수는 거리 함수이며, 따라서 초거리 공간은 거리 공간이다.

초거리 공간에서, 모든 삼각형은 이등변 삼각형이며, 밑변이 같은 두 변보다 더 길지 않다. 즉, 임의의 에 대하여, 다음 세 조건 가운데 항상 하나 이상이 성립한다.




초거리 공간 의 열린 공에 대하여, 다음이 성립한다.
 열린 공 속의 모든 점은 공의 중심이다. 즉, 만약 라면 이다.
 서로 교차하는 두 열린 공의 경우, 하나가 다른 하나의 부분 집합이다. 즉, 이라면 이거나 이다.
 열린 공과 닫힌 공은 모두 열린닫힌집합이다.

 예 
집합  위의 이산 거리 공간은 초거리 공간이다.

p진수의 공간은 p진 노름을 부여하면 완비 초거리 공간을 이룬다.

 참고 문헌 




분류:계량기하학
분류:거리 공간