귀납적 차원

일반위상수학에서 귀납적 차원(歸納的次元, )은 어떤 기하학적 대상의 경계의 차원이 전체의 차원보다 1만큼 더 작다는 사실을 기반으로 하는, 위상 공간 위에 정의되는 두 개의 차원 개념이다. 대부분의 경우, 르베그 덮개 차원의 상한과 하한을 정의한다.

 정의 
위상 공간 의 작은 귀납적 차원() 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 이다.
 임의의  및 열린 근방 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 가 존재한다.


위상 공간 의 큰 귀납적 차원() 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 이다.
 임의의 닫힌집합 의 열린 근방 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 가 존재한다.



공집합의 경우, 아무런 점이 없으므로 자명하게 이다.

 성질 
 서로 다른 차원들의 비교 
T1 공간  또는 정칙 공간 의 경우, 모든 점의 폐포가 점의 열린 근방에 다시 포함되므로,

이다.

임의의 위상 공간 에 대하여,

이다. 여기서 은 르베그 덮개 차원이다.

거리화 가능 공간 의 경우,

이다.

린델뢰프 공간 의 경우,

이다.

린델뢰프 완전 정규 공간  또는 완비 파라콤팩트() 완전 정규 공간 의 경우,

이다.

우리손 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 공간 의 경우

이다.

 부분 집합 
위상 공간  및 부분 집합 에 대하여,

이다. 만약 추가로 가 닫힌집합이거나, 가 완전 정규 공간이라면,

이다.

 합집합 
완비 정규 공간  및 부분 집합 에 대하여, 만약 라면,

이다. 이를 작은·큰 귀납적 차원에 대한 우리손 부등식이라고 한다.

위상 공간  및 닫힌집합 에 대하여, 만약 라면,

이다. 만약 추가로 가 정규 공간이라면,

이다.

 곱공간 
제2 가산 정칙 공간 의 경우, 귀납적 차원이 르베그 덮개 차원과 일치하므로

이다.

위상 공간 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 임의의 닫힌집합 에 대하여, 
 임의의 닫힌집합 에 대하여, 
그렇다면,

이다. 작은 귀납적 차원이 0 이하인 공간은 위 합집합 조건을 자명하게 만족시킨다. 그러나, 1차원 이상의 공간이 위 조건을 만족하기는 매우 ‘어렵다’. 예를 들어, 위 조건을 만족시키지 않는 거리화 가능 공간이 존재하며, 위 조건을 만족시키지 않는 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.

위상 공간 에 대하여, 만약 이라면,

이다.

콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여, 만약 이라면,

이다.

위상 공간들의 집합  및 곱공간

에 대하여, 만약 모든 에 대하여 이라면, 이다.

 스톤-체흐 콤팩트화 
정규 하우스도르프 공간  및 그 스톤-체흐 콤팩트화 에 대하여,

이다.

 0차원 
경계가 공집합일 필요충분조건은 열린닫힌집합인 것이다. 따라서, 위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

 는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 갖는다.

위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.



위상 공간 에 대하여, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.
 만약 이라면, 는 완비 정칙 공간이다.
 만약 이며, 가 콜모고로프 공간이라면, 는 완전 분리 공간이자 티호노프 공간이다.
 반대로, 만약 가 완전 분리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 이다.
 만약 이라면, 는 정규 공간이다.
 만약 이며, 가 T1 공간이거나 정칙 공간이라면, 이다.
 반대로, 만약 이며, 가 린델뢰프 공간 이라면, 이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

 완전 분리 공간이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 완전 분리 공간 에 대하여 항상

임을 보이자. 임의의  및 열린 근방 에 대하여

인 열린닫힌 근방 를 찾으면 족하다. 국소 콤팩트성에 따라,

이며 가 콤팩트 공간인 열린 근방 가 존재한다. 완전 분리성에 의하여, 의 에서의 연결 성분은 이다. 그런데 콤팩트 공간 속 주어진 점을 포함하는 모든 열린닫힌집합들의 교집합은 연결 공간이므로 (준성분 참고), 를 포함하는 의 모든 열린닫힌집합의 교집합은 이다. 의 콤팩트성에 의하여,

인 유한 개의 열린닫힌집합 가 존재한다.

이라고 하자. 그렇다면, 는 의 닫힌집합이며 의 열린집합이므로, 의 열린닫힌집합이다.

국소 콤팩트 파라콤팩트 하우스도르프 공간 이 주어졌을 때, 는 항상 서로소 린델뢰프 열린닫힌집합들의 합집합이다. 따라서, 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 완전 분리 공간이다.



작은 귀납적 차원이 0인 위상 공간은 흔히 0차원 공간(零次元空間, )이라고 한다. 르베그 덮개 차원이 0인 위상 공간은 흔히 강한 0차원 공간(强-零次元空間, )이라고 부른다. 일부 문헌은 0차원 공간의 정의에서 T1 조건을 추가로 가정하고, 강한 0차원 공간의 정의에 티호노프 조건을 추가한다.

 매장 
T1 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

 두 점 이산 공간의 곱공간 의 부분 집합과 위상 동형이다. (여기서 는 열린닫힌집합들의 집합이다.)
이 경우, 곱공간으로의 매장은 다음과 같이 잡을 수 있다.

모든 0차원 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 실수들의 집합과 위상 동형이다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간(=분해 가능 거리화 가능 공간) 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

 는 칸토어 집합 의 부분 집합과 위상 동형이다.
 는 무리수 집합 의 부분 집합과 위상 동형이다.

실수들의 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

 (둘 이상의 점을 갖는) 구간을 포함하지 않는다.

뇌벨링-폰트랴긴 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

 는 유클리드 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.

사실, 모든 차원 이하의 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 차원 유클리드 공간 에 매장할 수 있다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

 는 의 부분 집합과 위상 동형이다.

 예 
위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 동치이다.





유클리드 공간, 단체, 초구의 작은·큰 귀납적 차원은 통상적인 차원과 일치한다.

보다 일반적으로, 임의의 차원 다양체의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 이다.

의 작은·큰 귀납적 차원은 이다.

조르겐프라이 직선  및 조르겐프라이 평면 의 작은·큰 귀납적 차원은 0이다. 조르겐프라이 직선의 르베그 덮개 차원은 0이지만, 조르겐프라이 평면의 르베그 덮개 차원은 무한하다.

이산 공간과 모든 비이산 공간의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 0 이하이다. 시에르핀스키 공간의 르베그 덮개 차원과 큰 귀납적 차원은 0이지만, (정칙 공간이 아니므로) 작은 귀납적 차원은 무한하다.

거리화 가능 공간 에 대하여, 만약

라면, 이다.

임의의 점  및 열린 근방 가 주어졌다고 하자.

인 을 잡자. 이므로,

인 이 존재한다. 따라서,

이다.

순서 위상을 가한 전순서 집합 의 작은 귀납적 차원은 1 이하이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 



 같이 보기 
 르베그 덮개 차원

분류:위상 공간의 성질
분류:차원
분류:차원론