라도 그래프

그래프 이론에서 라도 그래프()는 사실상 유일한 가산 무한 무작위 그래프이다.

 정의 
라도 그래프는 여러 방법으로 정의할 수 있다.

 무작위 그래프 
집합  위에, 각 에 변이 존재하는지 여부를 무작위로 결정하자. 각 변은 독립 확률 변수이며, 각 변이 존재할 확률은 라고 하자.

만약 가 가산 무한 집합이라면, 이렇게 하여 얻는 그래프는 의 값에 관계 없이, 거의 확실하게 하나의 그래프와 동형이다. 이 그래프를 라도 그래프 라고 한다.

 이진수를 통한 정의 
섬네일|right|라도 그래프의 이진수를 통한 정의
라도 그래프는 이진수를 사용하여 정의할 수 있다.

라도 그래프 의 꼭짓점 집합은 자연수의 집합이다.

두 꼭짓점  () 사이에 변이 존재하는지 여부는 다음과 같다.
 의 이진수 표기법에서 번째 자릿수가 1이라면, 이다.
여기서 자릿수는 오른쪽부터 세며, 가장 오른쪽의 자릿수를 0번째로 간주한다.

 성질 
라도 그래프의 지름()은 2이다. 즉, 임의의 두 꼭짓점 사이에 길이 2 이하의 경로가 존재한다.

그래프 가 다음 조건을 만족시키면, 확대 성질()을 갖는다고 한다.
 임의의 두 유한 집합 에 대하여, 만약 이라면, 모든 에 대하여 이며 모든 에 대하여 인 가 존재한다.
라도 그래프는 확대 성질을 갖는 유일한 가산 그래프이다.

확대 성질을 갖는 그래프는 임의의 가산 그래프를 유도 부분 그래프로 포함한다. 이는 수학적 귀납법으로 쉽게 보일 수 있다.

라도 그래프에서 유한 개의 꼭짓점 을 삭제하여도 라도 그래프와 동형이다.

마찬가지로, 유한 개의 변 을 삭제하여도 라도 그래프와 동형이다.

 역사 
빌헬름 아커만()이 1937년에 정의하였다. 에르되시 팔과 레니 얼프레드()가 이 그래프가 유일한 무작위 그래프라는 것을 보였다.
리하르트 라도가 1964년에 재발견하였으며, 모든 가산 그래프를 유도 부분 그래프로 포함한다는 것을 보였다.

 각주 




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