추이적 집합

집합론에서 추이적 집합(推移的集合, )은 원소의 원소를 원소로 하는 집합이다.

 정의 
집합 에 대하여 다음 조건들이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 추이적 집합이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 


마찬가지로,  추이적 모임()을 정의할 수 있다.

집합 의 추이적 폐포()는 를 포함하는 가장 작은 추이적 집합이다. 즉, 다음과 같다.

 초추이적 집합 
집합 에 대하여 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 초추이적 집합()이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 만약  또는 라면, 
 임의의 에 대하여, 
초추이적 집합은 추이적 집합이다.

보다 일반적으로, 순서수 에 대하여, 다음과 같은 누적 위계

를 생각하자. 이 경우, 다음 조건을 만족시키는 집합을 -초추이적 집합()이라고 한다.
 임의의  및 순서수 에 대하여, 
즉, 모든 집합은 0-초추이적 집합이며, 1-초추이적 집합은 추이적 집합이며, 2-초추이적 집합은 초추이적 집합이다.

집합 의 -초추이적 폐포는 를 포함하는 가장 작은 -초추이적 집합이며, 다음과 같다.

 성질 
 연산에 대한 닫힘 
임의의 추이적 집합 에 대하여, 와  역시 추이적 집합이다.

임의의 추이적 집합들의 족 에 대하여, 와  역시 추이적 집합이다.

 자명하지 않은 동형의 부재 
추이적 모임과 원소 관계로 이루어진 구조 사이의 동형 사상은 항등 함수밖에 없다. 즉, 추이적 모임 사이의 전단사 함수 가

를 만족시킨다면, 이며, 이다. 이는 정칙성 공리를 사용하여 보일 수 있다. 특히, 폰 노이만 전체는 자명하지 않은 자기 동형 사상을 갖지 않는다.

임의의 에 대하여, 를 보이는 것으로 충분하다. 정칙성 공리에 의하여, 모든 모임이 정초 모임임을 보일 수 있으며, 따라서  위에서 초한 귀납법을 사용할 수 있다. 이제, 임의의 에 대하여 라고 가정하자. 다음 두 가지를 보이면 족하다.

 임의의 에 대하여, 이다.

 임의의 에 대하여, 이므로, 이다.

 예 
순서수의 폰 노이만 정의에 따르면, 순서수는 추이적 집합만을 원소로 하는 추이적 집합이다.

폰 노이만 전체의 정의에서, 임의의 순서수 에 대하여 는 추이적 집합이다. 폰 노이만 전체 는 추이적 고유 모임이다.

구성 가능 전체의 정의에서, 임의의 순서수 에 대하여 는 추이적 집합이다. 구성 가능 전체 은 추이적 고유 모임이다.

 응용 
추이적 집합 · 모임은 모형 이론에서 집합론의 모형을 정의하기 위하여 쓰인다. 모스토프스키 붕괴 보조정리에 의하여, "괜찮은" 모형은 항상 추이적 모형으로 나타낼 수 있다.

 같이 보기 
 추이적 관계
 각주 

 외부 링크 



분류:집합론