정규 확대

체론에서 정규 확대(正規擴大, )는 일련의 다항식들의 분해체인 대수적 확대이다.

 정의 
체 의 대수적 확대 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수적 확대를 정규 확대라고 한다.
 의 기약 다항식 가 에서 적어도 하나의 근을 갖는다고 하면, 는 에서 완전히 인수분해된다. 즉,  ()의 꼴로 나타낼 수 있다.
 는 일련의 다항식들의 집합 의 분해체와 (의 확대로서) 동형이다.
 모든 매장 는 의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 로 쓰자. 또한, 은 대수적 확대이므로, 의 대수적 폐포 로 가는 매장 이 존재하며, 또한 이도록 잡을 수 있다. (이는 초른 보조정리를 통해 보일 수 있다.) 그렇다면, 임의의 매장 에 대하여, 라면 이다.

첫째 조건 ⇒ 둘째 조건. 임의의 에 대하여, 가 의 에 대한 최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, 가정한 첫째 조건에 따라 은 모든 의 모든 근을 포함한다. 즉, 은 의 에 대한 어떤 분해체를 포함한다. 임의의 은 의 근이므로 이 분해체에 속한다. 즉, 은 의 분해체를 이룬다.

둘째 조건 ⇒ 셋째 조건.

가 셋째 조건에서 정의한 매장들이라고 하자. 편의상 이며 , , 가 이에 대응하는 포함 함수들이라고 하자. 이 경우 조건 는 가 된다. 이  속 다항식들의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면, 가정한 둘째 조건에 따라

이다. 따라서, 임을 보이려면 임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식

가 주어졌다고 하자. 그 에서의 인수 분해가

이라고 하자. 이는 기본 대칭 다항식들이 등장하는 일련의 등식

과 동치이다. 여기에 매장 를 가하면 가 로 대체된 등식들을 얻는다.

은 의 원소들이므로 변하지 않는다. 즉, 의 에서의 인수 분해는

이다. 는 유일 인수 분해 정역이므로, 의 두 인수 분해는 일치한다. 즉, 과 은 중복집합으로서 같고, 특히 집합으로서 같다.
그런데 는 모든 들에 대한 들의 합집합이며, 는 모든 들에 대한 들의 합집합이다. 따라서, 이다.

셋째 조건 ⇒ 첫째 조건. 를 부분체로 포함하는 을 부분체로 포함하는 의 대수적 폐포 를 잡자. 기약 다항식  및 의 근  및 의 근 가 주어졌다고 하자. 이제, 다음과 같은 함수를 생각하자.

만약 라면, 이므로 이며, 따라서 이다. 즉, 이 함수는 잘 정의된다. 마찬가지로, 만약 라면 이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다. 이 함수는 자명하게 환 준동형이다. 또한, 이는 자명하게 전사 함수이며, 의 원소를 움직이지 않으므로, 체의 확대 와  사이의 동형 사상을 이룬다. 는 대수적 확대이며, 는 의 대수적 폐포를 이루므로, 이 동형 사상을 확장하는 체의 매장

가 존재한다. 이는 초른 보조정리을 통해 보일 수 있다. 가정한 셋째 조건에 따라, 이며, 특히 이다. 이에 따라, 은 의 모든 근을 포함하며, 는 에서 1차 다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다.

대수적 확대 의 정규 폐포(正規閉包, )는 다음 두 조건을 만족시키는 체의 확대 이다.
 는 정규 확대이다.
 임의의 중간체 에 대하여, 만약 가 정규 확대라면, 이다.
임의의 대수적 확대는 정규 폐포를 가지며, 체의 확대의 동형 아래 유일하다. 구체적으로, 임의의 에 대하여 가 의 에서의 최소 다항식이라고 하였을 때, 의 분해체는 의 정규 폐포를 이룬다. 또한, 대수적 폐포 가 주어졌을 때,  속 의 정규 폐포는 다음과 같다.

여기서

는 주어진 체 들을 포함하는 최소의 체이다.

 분류 
임의의 정규 확대 에 대하여,

가 의 최대 완전 비분해 부분 확대라고 하자. 그렇다면, 은 갈루아 확대이다. (반대로, 완전 비분해 확대의 갈루아 확대는 항상 정규 확대이다.)

 성질 
체 의 유한 차수 대수적 분해 가능 확대 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 정규 확대이다.
 은 어떤 기약 다항식 의 분해체 와 동형이다.

대수적 확대 의 정규 폐포 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
 가 유한 확대라면,  역시 유한 확대이다.
 가 분해 가능 확대라면, 은 갈루아 확대이다. 이 경우 을 의 갈루아 폐포()라고 한다.

체의 확대의 탑 에 대하여, 만약 가 정규 확대라면,  역시 정규 확대이다. 체의 확대의 다이아몬드 에 대하여, 만약 가 정규 확대라면,  역시 정규 확대이다. 체의 확대 의 부분 확대 ()들에 대하여, 만약 모든 가 정규 확대라면, 와  역시 정규 확대이다. 정규 확대의 정규 확대는 정규 확대일 필요가 없다. 예를 들어, 대수적 확대 는 두 번의 정규 확대

로 얻어지지만, 의 허근들을 포함하지 않으므로 정규 확대가 아니다.

 예 
대수적 확대 는 정규 확대이다.

대수적 확대 는 정규 확대가 아니다. 의 기약 다항식 는 에서

이므로 하나의 근을 갖지만 완전히 인수분해되지 않는다.

모든 갈루아 확대는 정규 확대이다. 모든 순수 비분해 확대는 정규 확대이다.

 같이 보기 
 갈루아 확대

 참고 문헌 


 외부 링크 



분류:체론