분해 가능 확대

체론에서 분해 가능 확대(分解可能擴大, ) 또는 분리 가능 확대(分離可能擴大)는 최소 다항식의 근들이 겹치지 않는 대수적 확대이다.

 정의 
체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 기약 다항식 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기약 다항식을 분해 가능 다항식(分解可能多項式, )이라고 한다.
 모든 체의 확대  및 에 대하여,  속에서 이다.
 인 체의 확대 가 존재한다.
 모든 체의 확대  및 에 대하여, 임은 불가능하다.
 형식적 도함수 에 대하여, 이다.

최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 대수적 확대 에 대하여, 만약 모든 에 대하여 그 최소 다항식 이 분해 가능 다항식이라면 를 분해 가능 확대라고 한다.

체 에 대하여, 그 대수적 폐포  속에서, 에 대하여 최소 다항식이 분해 가능한 원소들의 집합 은 의 부분체를 이루며, 이를 의 분해 가능 폐포(分解可能閉包, )라고 한다. 의 분해 가능 폐포는 (동형을 무시하면) 유일하다. (다만, 대수적 폐포는 표준적이지 않으므로, 서로 다른 두 분해 가능 폐포 사이의 동형은 표준적이지 않다.) 의 분해 가능 확대는 의 최대 갈루아 확대이다.

대수적 확대 에 대하여, 만약 모든 에 대하여 그 최소 다항식 이 분해 가능 다항식이 아니라면 를 완전 비분해 확대(完全非分解擴大, )라고 한다.

 성질 
임의의 체 에 대하여, 는 분해 가능 확대이며, 은 완전 비분해 확대이다. 임의의 대수적 확대 에 대하여, 는 분해 가능 확대이며, 은 완전 비분해 확대이다. 임의의 정규 확대 에 대하여, 는 완전 비분해 확대이며, 는 갈루아 확대이다. 또한 은 와 의 합성체이며, 는 둘의 교집합이다. 여기서,

는 의 모든 자기 동형 사상에 대한 고정점의 집합이다.

유한 확대 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 분해 가능 확대이다.
 체 대각합 는 전사 함수이다.


 예 
완전체의 대수적 확대는 항상 분해 가능 확대이다. 즉, 분해 불가능 확대는 양의 표수에서만 존재하는 현상이다.

대수적 확대

는 정규 확대이지만 분해 가능 확대가 아니다. 의 최소 다항식은

인데, 에서 이는

와 같이 인수분해되므로 분해 가능하지 않다.

 참고 문헌 


 외부 링크 




분류:체론