일차원 격자 속의 입자

양자역학에서 일차원 격자 속의 입자(Particle in a one-dimensional lattice) 문제는 주기성을 가진 결정 격자(crystal lattice)에서 입자의 파동함수를 모델링하면서 등장한다. 이 주기적 퍼텐셜은 결정 내에 주기적으로 존재하는 이온에 의해 생겨나는 전자기장에 의한 것이다. 결정 내의 전자들의 파동함수는 이 주기를 가진 퍼텐셜에 의해 결정된다. 이는 자유전자 모델을 확장하여 풀어낼 수 있다.

 크로니-페니 모델 
1931년 랄프 크로니(Ralph Kronig)와 윌리엄 페니(William PenneyR. Kronig and W. G. Penney, Proc. Roy. Soc. A130 (1931) 499.>)에 의해서 명명된 크로니-페니 모델은 유한한 주기적인 전위장벽들로 구성된 단순하고 이상적인 양자역학적 시스템이다.

이 모델의 결과로 주기 격자(periodic lattice)에서 전자의 양자역학적 운동의 중요한 요소들을 알 수 있다. 대표적으로, 원자가 결정화(crystallization)가 잘 되어 주기적으로 배열되어 있으면 퍼텐셜(potential)이 주기적인 모양이 된다. 슈뢰딩거 파동방정식과 경계조건을 적용하여 얻은 해로부터 에너지 허용 영역과 금지영역이 생김을 알 수 있다.

1차원 격자 속 입자 모델을 단순화한 전위 함수는 아래와 같다.
가운데|섬네일|505x505픽셀|일차원 격자 속의 입자는 1차원 주기적 전위 함수, 크로니-페니 모델로 나타낼 수 있다.

 경계조건 

 위치에너지(전위)는 이며 전위장벽(potential wall)의 폭은 이고 격자상수(lattice constant)는 이다.
 전위장벽의 전위는 입자의 에너지보다 크다. 

 유도 
1차원 슈뢰딩거 파동방정식의 해는 다음과 같다.

이고 이다.

1차원 시간독립 파동방정식

으로부터, 두 번째 경계조건, 이므로 다시 쓰면 아래와 같다.

로 나타낼 수 있다.

 퍼텐셜 
전위 장벽 사이 공간(0<x<a)을 '영역 1', 전위 장벽 내부(-b<x<0)를 '영역 2'로 한다면 퍼텐셜은 아래와 같이 주어진다.

위의 퍼텐셜 조건을 1차원 시간 독립 파동방정식에 경계조건을 대입하면 다음과 같다.

 블로흐 파 
크로니-페니 모델 전위함수는 주기적이다. 이 함수의 해 에서 파동의 형성에는 함수가, 주기성에는 가 관여한다.

블로흐 파에 따라 로 나타낼 수 있고 격자상수 는 이다.

 전개 
먼저, 영역 1에 대하여 식을 식에 대입하면,

이고 전미분하여 전개하면,

다시 한번 전미분하여 전개하면,

이 된다.

이고 소거하여 정리하면 아래 식으로 표현 할 수 있다.

또, 영역 2에 대하여 식을 식에 대입하여 정리하면

로 정리할 수 있다.

 해 
식와 식의 해를 구하면 아래와 같다.

여기서 이고 이다.

계수 는 경계조건을 도입하여 관계식을 만들 수 있다.






행렬식으로 표현하면 다음과 같다.

위의 행렬의 행렬식이 0이 될 때, 해를 얻을 수 있다.

 풀이 
행렬식이 0이 되는 조건으로부터 크로니-페니 모델의 최종식은 아래와 같다.

위의 식은 단결정 격자에 갇혀있는 입자의 에너지와 k의 관계에 관한 식이다. 위 식에서 P'가 증가하면 입자는 전위우물 즉, 원자에 더욱 강하게 결합됨을 의미한다. P는 아래와 같이 나타내며 퍼텐셜 장벽의 크기에 대응한다.

 해석 
입자들이 결정화가 잘 되어서 원자가 주기적으로 배열되어있다면 퍼텐셜은 주기적인 모양이 되고 에너지의 허용영역과 금지영역이 생긴다. 이들은 각각 에너지밴드와 밴드갭으로 불린다.

 각주 

 같이 보기 
 상자 속 입자
 양자 조화 진동자
 퍼텐셜 우물
 슈뢰딩거 방정식

분류:응집물질물리학
분류:양자역학
분류:양자 모형