사영 가군

환론에서 사영 가군(射影加群, )은 자유 가군을 직합으로 분해하였을 때의 한 성분으로 나타낼 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 사영 대상이다.

 정의 
환  위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 사영 왼쪽 가군이라고 한다.
 모든 짧은 완전열 가 분할 완전열이다.
 가 자유 가군인 왼쪽 가군 가 존재한다.
 함자 가 완전 함자이다. 여기서 는 아벨 군들의 범주이다.
 모든 가군 준동형  및 전사 가군 준동형 에 대하여, 인 가군 준동형사상 이 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)

마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 사영 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.

 국소 자유 가군 
가환환  위의 가군 이 다음 조건을 만족시킨다면 점별 자유 가군()이라고 한다.
 모든 소 아이디얼 에 대하여 은 -자유 가군이다.
가환환  위의 가군 이 다음 조건을 만족시킨다면 국소 자유 가군()이라고 한다.
 모든 소 아이디얼 에 대하여, 가 -자유 가군이 되는 가 존재한다.

이 개념들은 가군층에 대하여 일반화할 수 있다. 일반적으로, 환 달린 공간  위의 -가군층 가 다음 조건을 만족시킨다면, 점별 자유 가군층()이라고 한다.
 모든 점 에 대하여 줄기 는 -자유 가군이다.
환 달린 공간  위의 -가군층 가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 자유 가군층(局所自由加群層, , )이라고 한다.
 모든 점 에 대하여, 가 되는 열린 근방  및 기수 가 존재한다.

 국소 자유 가군층의 기하학적 정의 
스킴  위의, 계수 의 대수적 벡터 다발()은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 스킴 
 스킴 사상 
 열린 덮개 
 각 에 대하여, 스킴 동형 사상 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 임의의  및 임의의 아핀 열린집합 에 대하여, 는 어떤 -선형 변환 에 의하여 유도된다.
 위의 대수적 벡터 다발의 동형 사상

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 -스킴의 동형 사상 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 는 대수적 벡터 다발을 이룬다. 즉, 임의의 ,  및 에 대하여, 는 어떤 의 원소에 의하여 유도된다.
이 경우, 계수 의 대수적 벡터 다발의 개념은 계수 의 국소 자유 가군층의 개념과 동치이다. 구체적으로, 대수적 벡터 다발 에 대응되는 가군층은 다음과 같다.

 성질 
 일반적 환의 경우 
(비가환일 수 있는, 1을 갖는) 환  위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
자유 가군 ⊂ 사영 가군 ⊂ 평탄 가군 ⊂ 꼬임 없는 가군

 가환환의 경우 
국소 가환환이나 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 사영 가군은 자유 가군이다.

가환환 위의 가군에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.
사영 가군 ⊂ 점별 자유 가군
국소 자유 가군 ⊂ 점별 자유 가군

가환환 위의 유한 생성 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 사영 가군이다.
 국소 자유 가군이다.
세르-스완 정리에 따르면, 가환환  위의 유한 생성 사영 가군의 범주는  위의 유한 계수 국소 자유 가군층들의 범주와 동치이다.

가환환 위의 유한 표시 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 국소 자유 가군이다.
 점별 자유 가군이다.
 사영 가군이다.
 평탄 가군이다.
특히, 뇌터 가환환 위의 모든 유한 생성 가군은 유한 표시 가군이므로, 이 경우 위 조건들이 서로 동치이게 된다.

 계수 
점별 자유 가군층 의 에서의 계수()는 -자유 가군 의 계수이며, 이는 함수

를 정의한다. (여기서 는 모든 기수의 모임이다.)

(의 충분히 큰 부분 집합)에 이산 위상을 부여하였을 때, 만약 가 국소 자유 가군층이라면 계수 함수 는 (정의에 따라) 연속 함수이다.

 예 
가 멱등원이라고 하자 (즉, 를 만족시킨다고 하자). 그렇다면 로부터 생성되는 왼쪽 아이디얼 는 의 사영 왼쪽 가군이다.

 각주 

 외부 링크 








분류:가군론