브릴루앵 함수와 랑주뱅 함수

브릴루앵 함수와 랑주뱅 함수는 이상(ideal) 상태의 상자성 물질을 통계역학으로 서술할 때 등장하는 특수 함수이다.

 브릴루앵 함수 
브릴루앵 함수 N. W. Ashcroft, N. D. Mermin, Solid State Physics, pages 655-6, .는 다음 식으로 정의되는 특수 함수이다:

보통 x는 실수 변수이고 J는 정수 혹은 반홀수(, 정수에 1/2을 더한 값)값을 가진다. 함수값의 범위는 -1에서 1 사이이며 의 극한에서 1, 의 극한에서 -1이 된다.

이 함수는 이상적인 상자성체의 자성을 계산할 때 등장하는 함수로 널리 알려져 있다. 특히, 자화량이 외부에서 가한 자기장 B와 해당 물질의 총 각운동량 양자수 J에 따라 어떻게 변하는지 설명하는 수식에서 쓰인다:

여기서 은 단위 부피당 원자의 개수, 는 랑데 지 인자, 는 보어 마그네톤, 는 자기장 하에서 자기 모멘트가 받는 제이만 에너지와 열 에너지  사이의 비율  (는 볼츠만 상수, 는 온도)이다. 브릴루앵 함수는 다음과 같이 유도할 수 있다.

외부 자기장의 방향을 z방향으로 정하자. 자기 모멘트의 각운동량 중 z-방향 성분 즉 자기 양자수 m은 -J에서 J까지 (2J+1)의 값들 중 어느 것이든 가질 수 있다. 외부 자기장 B때문에 각 상태의 에너지가 전부 다르고 자기 양자수가 m인 상태의 에너지는

가 된다. 자기 양자수가 각각의 값을 가질 확률은 볼츠만 분포에 따라

이다. Z는 확률의 총 합이 1이 되도록 규격화해주는 상수 즉 분배 함수)로써 이를 계산하여 대입하면 다음 식을 얻는다.
.
따라서 자기 양자수 m의 기댓값은
.
이다. 분모의 등비수열(또는 기하수열)을 (x/J)에 대해 미분하면 분자의 식이 됨에 유의하여 계산하면

로 자기 모멘트의 평균값이 브릴루앵 함수로 표시된다. 단위 부피당 자기 모멘트의 개수 즉 자기 모멘트 밀도를 N이라 할 때 자화량의 밀도는 다음과 같다.
.

온도가 매우 높은 극한에서는 이고 이므로

이고

가 되어 퀴리의 법칙

를 얻는다. 유효 자기 모멘트가 보어 마그네톤의 단위로 가 됨을 알 수 있다. 반면 자기장이 매우 강한 극한에서는 이고 평균 자화량이 J로 최대가 되어

가 된다.

 랑주뱅 함수 
300px|섬네일|right|랑주뱅 함수 (빨간 곡선)와 tanh(x/3) (파란 곡선).

고전적 극한에서는 자기 모멘트가 연속적인 어떤 값도 가질 수 있다. 즉 이고 이 극한에서 브릴루앵 함수는 폴 랑주뱅의 이름을 딴 다음 식으로 간단하게 바뀐다.

x값이 작은 경우, 랑주뱅 함수를 테일러 전개하고 고차 항들을 버리면 근사적으로

로 쓸 수 있다. 혹은 의 연분수를 이용하여 다음과 같이 더 나은 근사식을 얻을 수도 있다.

랑주뱅 함수의 역함수는 (-1, 1) 범위에서 5% 이내의 정확도로 다음과 같이 근사시킬 수 있다.

x가 작으면

혹은
테일러 급수

의 근사식이 더 잘 맞는다.

 각주 

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