확장된 실수

수학에서 확장된 실수(擴張된實數, )는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다.

 정의 
확장된 실수의 집합 는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다.

이는 다음과 같이 실직선의 일부로 간주할 수 있다.

이에 따라, 에 부분 공간 위상을 줄 수 있다.

또한, 는 자연스럽게 전순서를 갖춘다. 여기서는 모든 에 대하여,

가 된다. 이에 따라서 는 완비 격자를 이룬다. 즉, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다.

 산술 연산 
확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다. 모든 , 에 대하여,
(덧셈) 
(덧셈의 역원) 
(곱셈) 
(곱셈의 역원) 
그러나 다음과 같은 연산들은 정의할 수 없다 (즉, 어떻게 정의하더라도 덧셈과 곱셈이 좋은 성질을 갖지 못한다).

다만, 측도론에서는 보통 으로 정의하여 사용한다.

덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에, 는 군이나 환, 심지어 모노이드의 구조를 가지지 않는다. 다만, 다음이 성립한다.
 는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
 만약 으로 정의한다면, 는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
 와 는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다.
 만약 으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수 는 가환 반환을 이룬다.

 지수 함수 
다음과 같이 지수 함수를 정의할 수 있다.

이는 전단사 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

마찬가지로, 그 역함수인 로그 함수

를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

 기타 함수 
만약 어떤 실함수 가

인 경우,

로 정의한다.

 같이 보기 
 0으로 나누기
 이상 적분
 무한
 급수 (수학)

 외부 링크 


분류:무한
분류:실수