톰-쿡 알고리즘

톰–쿡 알고리즘()은 안드레이 톰과 스테픈 쿡이 제안한 곱셈 알고리즘으로 큰 두 정수를 곱할 때 사용된다.

톰-쿡 알고리즘에서는 큰 정수 a와 b를 곱하기 위해, 두 수를 작은 조각으로 나눈다. 조각의 수를 k라고 할때, k가 커질수록 곱셈의 내부 연산법은 복잡해지지만, 전체 시간 복잡도는 낮아진다. 이 곱셈 방법은 나눠진 각각의 조각에 대해서도 다시 적용할 수 있기 때문에, 조각이 작아질때까지 재귀적으로 사용할 수 있다.

톰-3 알고리즘은 k가 3일 경우를 가리키며, 9번의 곱셈을 5번으로 단축시켜, Θ(nlog(5)/log(3)), 즉 Θ(n1.465) 시간 안에 곱셈을 완료한다. 일반적으로 톰-k 알고리즘은 Θ(c(k) ne) 시간에 수행될 수 있다. 여기서 e = log(2k − 1) / log(k), ne은 조각들 간의 곱셈에 걸리는 시간, c는 덧셈이나 뺄셈, 혹은 작은 상수와의 곱셈에 걸리는 시간을 뜻한다.커누스, p. 296 카라슈바 알고리즘은 톰-쿡 알고리즘에서 k가 2인 특별한 경우로, 4번의 곱셈을 3번으로 줄여 Θ(nlog(3)/log(2)) 시간 안에 수행된다. k가 1인 경우는 일반적인 곱셈 알고리즘과 동일해지며 시간 복잡도는 Θ(n2)가 된다.

k값을 증가시켜서 e값을 거의 1에 가깝게 낮출수 있지만, 이 경우 c의 값이 급속하게 커져 소용이 없다.Crandall & Pomerance, p. 474 이런 부가적인 연산 때문에 톰-쿡 알고리즘은 작은 정수의 곱셈에 적용하면 일반 곱셈법보다 느려지기에 이 알고리즘은 적당히 큰 정수에 사용되며, 정수 크기가 훨씬 더 커질 경우는 시간복잡도가 Θ(n log n log log n)인 쇤하게-슈트라센 알고리즘이더빠 르게 된다.

톰은 1963년에 처음 이 알고리즘을 제시하였고, 쿡은 1966년에 그의 박사 논문에서 이 알고리즘을 개량시켰다.Positive Results, chapter III of Stephen A. Cook: On the Minimum Computation Time of Functions.

 상세 

이 단락은 톰-k 알고리즘이 어떻게 작동하는지를 간략하게 설명한다.Marco Bodrato. Towards Optimal Toom–Cook Multiplication for Univariate and Multivariate Polynomials in Characteristic 2 and 0. In WAIFI'07 proceedings, LNCS 4547권, 116 쪽–133. 2007년 6월 21–22일. 저자의 웹 사이트 알고리즘은 크게 5단계를 거쳐 완료된다.

 분할
 평가
 점별 곱셈
 보간
 합성

큰 정수를 구현하는데 있어서, 대개 위치 기수법으로 각 자리의 정수를 표현하는 방법이 자주 사용된다. 이 때의 밑을 b라고 하자. 이 예시에서는 b = 10000을 사용할 것이므로, 한 자리에는 4개의 10진 정수가 들어가게 된다. (실제 컴퓨터 구현에서는 연산의 효율성을 위해 b값으로 2의 거듭제곱이 사용된다.) 두 큰 정수를 다음과 같다고 하자.

m  = 1234567890123456789012n  =987654321987654321098.

물론 이 정수들은 톰-쿡 알고리즘을 사용하기엔 작아서, 그냥 일반 곱셈법이 훨씬 빠르다. 하지만 설명을 위해 이 값을 사용하도록 한다.

 분할 
첫번째 단계는 정수를 k개의 조각으로 자르기 위한 적절한 단위인 B = bi를 찾는 것이다. 일반적으로 i는 다음과 같이 구할 수 있다.

이 예제에서는 톰-3 알고리즘을 사용할 것이므로, B = b2 = 108가 된다. 이 B값을 단위로 m과 n을 자르면 mi, ni는 다음과 같이 될 것이다.

우리는 이 수를 계수로 하는 k−1차 다항식을 만들것이다.

다항식을 이렇게 정의하면 p(B) = m, q(B) = n이 된다. 이렇게 정의한 목적은 두 다항식의 곱인 r(x) = p(x)q(x)를 구하기 위해서이다. 즉 우리가 구하고자 하는 결과는 이 다항식에 B를 대입함으로써 얻을 수 있다. r(B) = m×n

m과 n을 일반적인 곱셈법으로 곱하면 (여기서는 3 조각으로 나누었으므로), 조각 간의 곱셈이 9번 필요하다. 하지만, r(x)는 2(k−1)차 다항식(k가 3이므로 4차 다항식)이므로, 2k−1개의 미지 계수를 구하기 위해서는 2k-1개의 방정식만 있으면 된다. 이 방정식은 선형 대수를 이용하여 간단한 방법으로 풀어낼 수 있으므로, 결과적으로 일반 곱셈법보다 적은 수의 곱셈을 사용하여 결과를 얻을 수 있게 된다.

만약 곱하는 두 수의 자리수가 다를 경우 k값을 m과 n에 따라 다르게 주는 것이 유용하다. 톰-2.5 알고리즘에서는 km = 3 and kn = 2 와 같은 값을 사용한다. 이 때의 i는 다음과 같이 구할 수 있다.

 평가 

앞서 언급했듯, 톰-쿡 알고리즘에서는 r(B)를 구하기 위해 r(x)의 각 계수를 구한다. 이 계수를 구하기 위해 적당한 x를 선정하여 p(x)와 q(x)의 값을 구한다. (k가 3인 경우 r(x)는 4차식이 되고, 미지계수는 5개이므로 총 5개의 지점을 구해야한다.) 간단한 계산을 위해 대개 x는 0이나 1, 2, &minus1, &minus2 등의 값을 넣는다.
특별한 지점으로 흔히 무한대로 표기하는 값이 있는데, 이는 극한 표기를 간단하게 적은 것으로 최고 차항의 계수를 뜻한다.

이 예제에서는 x에 0, 1, −1, −2, ∞을 넣어 계산해볼 것이다:

q에 대해서도 마찬가지. 예시의 값을 실제로 대입하면 다음과 같다:

p(0)  =  m0  =  56789012  =  56789012p(1)  =  m0 + m1 + m2  =  56789012 + 78901234 + 123456  =  135813702p(−1)  =  m0 − m1 + m2  =  56789012 − 78901234 + 123456  =  −21988766p(−2)  =  m0 − 2m1 + 4m2  =  56789012 − 2×78901234 + 4×123456  =  −100519632p(∞)  =  m2  =  123456  =  123456q(0)  =  n0  =  54321098  =  54321098q(1)  =  n0 + n1 + n2  =  54321098 + 43219876 + 98765  =  97639739q(−1)  =  n0 − n1 + n2  =  54321098 − 43219876 + 98765  =  11199987q(−2)  =  n0 − 2n1 + 4n2  =  54321098 − 2×43219876 + 4×98765  =  −31723594q(∞)  =  n2  =  98765  =  98765.

위에 보이는대로 결과값이 음수가 될 수도 있다.

다음과 같이 행렬로 간단하게 표현할 수 있다. 이 표현은 보간 과정에서도 유용하게 쓸 수 있다.



 빠른 평가 
평가 시 각 지점에서 중복되는 연산을 줄여 더 빠르게 계산하는 방법이 있다. 이 방법을 사용할 경우 덧셈/뺄셈의 수를 줄일 수 있다. 여기에서는 톰-3의 경우만 제시한다.

p0  ←  m0 + m2  =  56789012 + 123456  =  56912468p(0)  =  m0  =  56789012  =  56789012p(1)  =  p0 + m1  =  56912468 + 78901234  =  135813702p(−1)  =  p0 − m1  =  56912468 − 78901234  =  −21988766p(−2)  =  (p(−1) + m2)×2 − m0  =  (− 21988766 + 123456 )×2 − 56789012  =  − 100519632p(∞)  =  m2  =  123456  =  123456.

이 과정은 오직 5번의 덧셈/뺄셈이 필요하다. 이는 단순 계산보다 1회 적은 것이다.

 점별 곱셈 

두 다항식 p(x)와 q(x)를 통째로 곱하는 대신, 앞에서 구한 여러 개의 지점에 대해서 p(a)q(a)를 구한다. 이는 원래 목표였던 큰 정수끼리의 곱셈보다 훨씬 작은 수끼리의 연산이 된다. 게다가 점별 곱셈 과정에 톰-쿡 알고리즘을 재귀적으로 사용하여 실제로 곱하게 되는 수를 일반 곱셈법으로도 충분히 빠르게 곱할 수 있는 크기로 줄일 수 있다. 이 예시의 결과물은 다음과 같을 것이다.

r(0)  =  p(0)q(0)  =  56789012 × 54321098  =  3084841486175176r(1)  =  p(1)q(1)  =  135813702 × 97639739  =  13260814415903778r(−1)  =  p(−1)q(−1)  =  −21988766 × 11199987  =  −246273893346042r(−2)  =  p(−2)q(−2)  =  −100519632 × −31723594  =  3188843994597408r(∞)  =  p(∞)q(∞)  =  123456 × 98765  =  12193131840.

이 과정이 가장 시간을 오래 잡아먹는 부분이다. 나머지 과정은 m과 n의 크기와 선형의 시간복잡도를 갖기만, 오직 이 과정만 그보다 큰 시간복잡도를 갖는다.

 보간 
이 과정은 전체 과정 중 가장 복잡한 과정으로, 위에서 구한 점별 곱셈 결과를 이용하여 다항식 r(x)의 미지계수를 구하는 과정이다.



이 행렬은 평가 과정에서 만들었던 행렬과 같은 방식으로 만들어진 것이다. 가우스 소거법을 통해 이 행렬의 역행렬을 구할수도 있지만, 이는 너무 느리다. 하지만 우리가 앞서 고른 지점이 0, 1, &minus1, 2, &minus2 등으로 단순하므로 복잡한 계산과정 없이 행렬을 풀어낼 수 있다.



이제 남은 과정들은 모두 행렬-벡터 간의 곱셈이다. 행렬에 분수가 들어있지만, 그 결과는 정수로 나온다. 그렇기에 이 과정은 정수 간의 덧셈/뺄셈과 작은 상수를 곱하고 나누는 연산만 가지고 수행할 수 있다. 하지만 이 과정을 효율적으로 짜는 것은 쉽지 않은 일이다. 여기에서는 톰-3 알고리즘의 효율적인 방법을 소개한다.
r0  ←  r(0)  =  3084841486175176r4  ←  r(∞)  =  12193131840r3   ←   (r(−2) − r(1))/3  =  (3188843994597408 − 13260814415903778)/3    =  −3357323473768790r1   ←   (r(1) − r(−1))/2  =  (13260814415903778 − (−246273893346042))/2    =  6753544154624910r2   ←   r(−1) − r(0)  =  −246273893346042 − 3084841486175176    =  −3331115379521218r3   ←   (r2 − r3)/2 + 2r(∞)  =  (−3331115379521218 − (−3357323473768790))/2 + 2×12193131840    =  13128433387466r2   ←   r2 + r1 − r4  =  −3331115379521218 + 6753544154624910 − 12193131840    =  3422416581971852r1   ←   r1 − r3  =  6753544154624910 − 13128433387466    =  6740415721237444.

이제 다항식 r(x)의 모든 계수를 알게 되었다:



만약 두 정수의 크기가 다르거나, 평가 지점이 다르다면 이 행렬 계산식 역시 달라질 것이다. 하지만 이는 사전에 계산될 수 있는 부분이므로 미리 효율적으로 작성해 둘 수 있다.

 합성 

최종적으로 다항식 r(x)에 B를 대입하여 결과를 얻어낼 수 있다. 여기서 b = 104였으므로, B = b2 = 108이다.

                              3084841486175176                      6740415721237444                  3422416581971852                    13128433387466                     + 12193131840                               1219326312467611632493760095208585886175176

위 결과가 1234567890123456789012와 987654321987654321098의 곱이다.

 k값에 따른 보간 행렬 

k값에 따른 보간 행렬을 몇 가지 정리해두었다.

 톰-1 
톰-1 (km = kn = 1)은 1개의 지점만을 필요로 한다. 여기서는 0을 잡았다. 사실 이는 일반 곱셈알고리즘과 동일하다:



 톰-1.5 
톰-1.5 (km = 2, kn = 1)는 2개의 지점을 필요로 한다. 여기서는 0과 ∞를 잡았다. 보간 행렬은 단위행렬과 동일하다:



 톰-2 
톰-2 (km = 2, kn = 2)은 3개의 지점을 필요로 하고, 대개 0, 1, ∞를 잡는다. 이는 카라슈바 알고리즘과 동일하다:



 톰-2.5 
톰-2.5 (km = 3, kn = 2)는 4개의 평가지점을 필요로 한다. 여기에서는 0, 1, -1, ∞를 잡았다:



 각주 

 참고 문헌 
 커누스. 컴퓨터 프로그래밍의 예술, 제 2권. 1997. 섹션 4.3.3.A: Digital methods, 294쪽.
 R. Crandall & C. Pomerance. Prime Numbers – A Computational Perspective. Second Edition, Springer, 2005. Section 9.5.1: Karatsuba and Toom–Cook methods, 473쪽.
 M. Bodrato. Toward Optimal Toom–Cook Multiplication.... In WAIFI'07, Springer, 2007.

 외부 링크 

  톰-쿡 알고리즘에 관한 GMP의 문서
  톰-쿡 알고리즘에 대한 간략한 설명

분류:컴퓨터 산술 알고리즘
분류:곱셈