최소 모형 (등각 장론)

이론물리학에서 최소 모형(最小模型, )은 중심 전하가 1 미만인 유리 2차원 등각 장론(rational conformal field theory, 일차장이 유한개인 등각 장론)이다.

 비초대칭 최소 모형 
유니터리 최소 모형은 하나의 정수

으로 정의된다. 이는

잉여류로 정의되며, 이 경우 중심 전하는

이 된다.

최소 모형은 다음과 같은 무게의 일차장들을 가진다.

여기서

이다.

최소 모형은 여러 격자 모형의 임계 현상을 나타낸다. 처음 몇 개의 최소 모형은 다음과 같다. (1차장들의 목록에서, 진공 은 생략하였다.)
 k  중심 전하 c  1차장 무게 h  설명 1  1/2  1/16, 1/2  임계 이징 모형. 여기서 일차장들은 각각 단위원, 스핀 밀도, 에너지 밀도이다. 2  7/10  3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2  삼중 임계(tricritical) 이징 모형 3  4/5  1/40, 1/15, 1/8, 2/5, 21/40, 2/3, 7/5, 13/8, 3  임계 3상태 포츠 모형 4  6/7  1/56, 1/21, 5/56, 1/7, 3/8, 10/21, 33/56, 5/7, 4/3, 85/56, 12/7, 23/8, 22/7, 5  삼중임계(tricritical) 3상태 포츠 모형

 𝒩=1 초등각 최소 모형 
 초등각 장론의 유니터리 최소 모형들은 잉여류

에 의하여 정의된다. 의 중심 전하는 이므로,  최소 모형의 중심 전하는 다음과 같다.

이들은 다음과 같은 무게의 1차장들을 갖는다.

여기서 이며, 에 대한 조건은 다음과 같다.
 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건에서는 는 짝수이며, 이다.
 라몽(R) 경계 조건에서는 는 홀수이며, 다음이 성립한다.

이에 따라, 진공을 포함해 총  개의 초1차장이 존재하며, 그 가운데 절반은 느뵈-슈워츠 경계 조건에, 나머지 절반은 라몽 경계 조건에 속한다. 또한, 짝수 의 경우 라몽 바닥 상태(인 상태)가 하나 존재한다.

처음 몇 개의  최소 모형은 다음과 같다. NS 비라소로 1차장 가운데, 진공 () 및 를 가하여 얻을 수 있는 것들은 생략하였다.
 k  중심 전하 c  NS 1차장  R 1차장  설명 1  7/10  1/10  7/16, 3/80 삼중 임계 이징 모형 ( 비초대칭 최소 모형)의  불변 부분 2  1  1/16, 1/6, 1  3/8, 1/24, 9/16, 1/16 반지름이 인 원 위의 시그마 모형.   최소 모형과 같음 3  81/70  3/70,  9/10, 3/70, 8/7,  3/14  27/80, 269/560, 29/560, 31/16, 73/112, 9/112 4  5/4  1/32, 1/12, 5/32, 1/4, 5/6, 33/32, 5/4, 3  5/96, 1/16, 3/32, 5/16, 41/96, 9/16, 23/32, 29/16, 67/32

 𝒩=2 초등각 최소 모형 
 초등각 장론의 경우, 유니터리 최소 모형들은 다음과 같다.

이들은

잉여류로 정의할 수 있다. 이 경우 의 중심 전하는 이며 의 중심 전하가 이므로, 올바른 중심 전하를 얻는다.

 장들의 목록 
 최소 모형에 포함되는 비라소로 1차장들은 세 개의 수 로 정해지며,
여기서

이며,

이면 같은 등각장을 나타낸다. 가 짝수인 경우는 느뵈-슈워츠 (NS) 경계 조건에, 홀수인 경우는 라몽 (R) 경계 조건에 속한다. 만약

이라면, 이에 대응하는 R대칭 전하  및 등각 무게 는 다음과 같다.

스펙트럼 흐름에 따라, 장들은 다음과 같이 변환한다.

이에 따라

이 된다.

 NS 장 
NS 경계 조건의 초1차장들은

에 대응하며, 총 개가 있다.

 최소 모형의 장 가운데, 손지기장(, 인 장)은 , 인 것들이며, 반손지기장(, 인 장)은 , 인 것들이다. 이들은 (진공을 제외하고) 각각 개가 있다. 라몽 바닥 상태(인 장)는 인 것들이며, 이 경우 이다. 이들은 총 개가 있으며, 이들은 진공을 포함한 손지기장과 대응한다.

손지기장들의 경우,  코호몰로지를 취하여 환으로 만들 수 있다. 이 손지기환은 다항식환의 몫환

이다. 여기서 은 에 대응한다.

 R 장 
R 경계 조건의 초1차장들은

에 대응하며, 이 가운데 인 경우는 라몽 바닥 상태이다. NS장과 마찬가지로 총 개의 라몽 초1차장이 존재하며, 이 가운데 개는 라몽 바닥 상태, 개는 바닥 상태가 아닌 다른 라몽 초1차장이다.

 예 
처음 몇 개의  최소 모형들은 다음과 같다. NS 1차장 가운데, 진공 및 수록된 것들에  또는 를 가하여 얻을 수 있는 것은 생략하였다.
 k  중심 전하 c  진공을 제외한 (반)손지기장의 전하 q   기타 NS 장   R 바닥 상태 q  기타 R 장   설명 1  1  ±⅓  (없음)  ±⅙  (⅜,±½) 반지름이 인 원 위의 시그마 모형.   최소 모형과 같음 2  3/2  ±¼, ±½  (½,0)  0, ±¼  (5/16,±½), (9/16,±¼), (9/16,±¾) 3  9/5  ±⅕, ±⅖, ±⅗  (⅖,0), (7/10,±⅕)  ±1/10, ±3/10  (11/40,±½), (19/40,±3/10), (19/40,±7/10), (27/40,±1/10), (27/40,±9/10), (7/8,±1/2) 4  2  ±⅙, ±⅓, ±½, ±⅔  (⅓,0), (7/12,±⅙), (⅔,±⅔), (¾,±½), (⅚,±⅓), (1,0), (4/3,±⅔)  0, ±⅙,  ±⅓  (생략)

 예 
 c=½ 최소 모형 
 최소 모형은 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다. 하나는 이징 모형의 임계점이며, 다른 하나는 자유 마요라나-바일 페르미온 이론이다.

 이징 모형 표현 
(외부 자기장이 없는) 2차원 이징 모형은  대칭을 가지며, 낮은 온도에서는 모든 스핀이 위 또는 아래로 정렬돼 있는 상을 보이지만 높은 온도에서는 무질서 상을 보인다. 이 두 상 사이에는 2차 상전이가 존재하며, 이 임계 온도에서 이징 모형은  최소 모형으로 나타내어진다.

2차원 이징 모형에서, 각 스핀이 이라고 하자. 그렇다면 평균 스핀 장을 생각할 수 있다. 그 2점 함수는

의 꼴을 갖는다. 여기서 는 두 점 사이의 거리이다. 또한, 평균 에너지 장

를 생각하자. 여기서 는 와 근접한 모든 에 대한 합이다. 그렇다면 2점 함수

를 정의할 수 있다. 이 경우, 임계 지수 와 는  최소 모형에 포함된, 진공이 아닌 나머지 두 장의 등각 무게를 정의한다. 즉, 평균 스핀 장은 무게가 인 스칼라장에, 평균 에너지 장은 인 스칼라장에 대응한다.

 자유 페르미온 
2차원 마요라나-바일 스피너장 는 하나의 반가환수 성분을 갖는다. 이 장은 운동 방정식에 따라서

와 같은 꼴로, 정칙 성분과 반정칙 성분의 합으로 분해된다. 이 경우, 는 무게가 인 장이며, 는 무게가 인 장이다.

스피너장의 경우, 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건과 라몽(R) 경계 조건을 줄 수 있다. 이 두 경계 조건 사이를 전환하는 연산자가 존재하며, 뒤틀림장()이라고 한다. 정칙 성분의 뒤틀림장은 , 반정칙 성분의 뒤틀림장은 이다.

정칙 자유 페르미온의 이론은  정칙 최소 모형을 이룬다. 비정칙 자유 페르미온의 이론에서, 보손장들만으로 구성된 부분 이론을 취하면 이는 임계 이징 모형과 같게 된다. 즉, 이 경우 는 무게 인 스칼라장이 되며, 뒤틀림장도 마찬가지다. 이는 보손화의 기초적인 예이다.

 c=7/10 최소 모형 
 최소 모형은 삼중 임계 이징 모형()의 임계점 근처 현상을 나타낸다. 삼중 임계 이징 모형에서 각 스핀은 의 값을 가지며, 이 경우 해밀토니언은

이다. 이 이론에서는 온도  및 (입자수 에 대응하는) 퓨가시티 를 조절할 수 있다. 만약 퓨가시티가 이라면, 이는 이징 모형과 같으며, 일정한 온도 에서 2차 상전이가 존재한다. 반대로, 이며 인 경우 어떤 에서 1차 상전이가 존재한다. (이라면 두 개의 독립된 바닥 상태가 존재하지만, 라면 입자수 밀도가 0으로 가 하나의 바닥 상태가 존재하기 때문이다.) 따라서, 와 를 둘 다 조절한다면, 1차 상전이가 2차 상전이로 바뀌는 시점이 존재한다. 이를 삼중 임계 이징 모형의 삼중점()이라고 하며, 삼중점에서의 임계 현상은  최소 모형으로 나타내어진다.

이 경우, 각 등각 1차장들은 다음과 같이 대응한다.
 무게   설명 (0,0)  진공 (3/80,3/80)  평균 스핀 (자기화)  (7/16,7/16)  자기화 준밀도() (1/10,1/10)  에너지 밀도 (3/5,3/5)  양공 밀도() = 에너지 밀도의 초대칭짝 (3/2,3/2)  에너지 준밀도() = 초전류

 c=1 초대칭 최소 모형 
  초대칭 최소 모형은 반지름이 인 원 위의 시그마 모형으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 주기 경계 조건과 호환되는 스칼라장 의 지수들은 다음과 같다.

이 경우, 과 이 짝수라면 느뵈-슈워츠 경계 조건, 홀수라면 라몽 경계 조건에 해당한다.

이 이론에서  초등각 대수의 표현은 다음과 같다.

이 경우, NS 및 R 장들은 다음과 같이 대응된다. 아래 표에서 항상 , 이다.
    NS (반)손지기장    라몽 바닥 상태    라몽 상태   
이 밖의 다른 상태들은 위 상태들에 를 가하여 얻어진다. 예를 들어, 는 에 를 가하여 얻는다.

이 모형에, 와 같은 오비폴드를 취하자. 그렇다면 R대칭 전하가 부호만 다른 장들이 서로 같은 장이 되고, 또 오비폴드로 인하여 뒤틀린 장들이 추가된다. 이렇게 하면,   초대칭 최소 모형을 얻는다.

 각주 




 외부 링크 


분류:등각 장론
분류:격자 모형