위상환

수학에서 위상환(位相環, )은 환의 구조가 주어진 위상 공간이다.

 정의 
위상환 은 위상 공간과 환의 구조가 둘 다 주어져, 환의 대수적 연산들이 연속 함수인 경우다. 즉, 다음 연산들이 연속 함수여야 한다.
 덧셈 
 덧셈의 역 
 곱셈 
따라서, 위상환은 아벨 위상군을 이룬다.

위상체(位相體, )는 위상 공간과 체의 구조가 둘 다 주어져, 체의 대수적 연산들이 연속 함수인 경우다. 즉, 다음 연산들이 연속 함수여야 한다.
 덧셈 
 덧셈의 역 
 곱셈 
 곱셈의 역 
위상체는 위상환의 특별한 경우다.

은 위상환과 연속 환 준동형의 범주이다. 은 하우스도르프 완비 위상환과 연속 환 준동형의 범주이다.

 완비화 
하우스도르프 완비 위상환의 범주 는 위상환의 범주 의 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자

는 왼쪽 수반 함자

를 갖는다. 이를 위상환의 (하우스도르프) 완비화()라고 한다.

구체적으로, 위상환 의 아벨 위상군으로서의 하우스도르프 완비화  위에 다음과 같은 환 구조를 주자.

그렇다면 는 하우스도르프 완비 위상환을 이루며, 표준적인 연속 군 준동형

은 환 준동형이다. 이를 위상환 의 하우스도르프 완비화라고 한다.

환의 (어떤 아이디얼에 대한) 완비화는 위상환 완비화의 특수한 경우이다.

 같이 보기 
 위상 벡터 공간

 외부 링크 





분류:위상적 대수학
분류:환론