사유한군

수학에서 사유한군(射有限群, )은 유한군의 사영 극한으로 얻어지는 위상군이다.

 정의 
위상군 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상군을 사유한군이라고 한다.
 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간이다. 즉, 스톤 공간이다.
 하우스도르프 콤팩트 공간이며, 열린 부분군들로 구성된 의 국소 기저가 존재한다.
 하우스도르프 콤팩트 공간이며, 열린 정규 부분군들로 구성된 의 국소 기저가 존재한다.
 이산 유한군들의 사영 극한과 동형이다.

위상군 가 이산 유한군들의 사영 극한이라고 하자. 그렇다면 는 이 이산 유한군들의 (곱위상이 주어진) 직접곱의 (부분공간 위상이 주어진) 부분군이다. 이산 유한군들은 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간이므로, 는 하우스도르프 완전 분리 공간이다. 이 이산 유한군들의 직접곱은 콤팩트 공간이며, 는 (연속 함수들에 대한 일련의 등식들로 정의되므로) 그 닫힌집합이다. 따라서, 는 콤팩트 공간이다.

위상군 가 하우스도르프 공간이며, 콤팩트 공간이며, 완전 분리 공간이라고 하자. 임의의 열린 근방 에 대하여, 인 열린 부분군 를 찾으면 충분하다. 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간의 작은 귀납적 차원은 0이므로, 는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 가지며, 인 열린닫힌집합 가 존재한다. 이제,

라고 하자. 자명하게 이며 이므로, 가 열린집합임을 보이면 충분하다.

이므로, 가 열린집합임을 보이면 충분하다. 의 정의에 따라, 임의의  및 에 대하여, 이므로, 인 열린 근방  및 가 존재한다. 는 의 에서의 열린 덮개이며, 는 콤팩트 공간의 닫힌집합이므로 콤팩트 공간이다. 따라서, 유한 부분 덮개 가 존재한다. 그렇다면,

는 열린집합이며, 이다. 즉, 는 열린집합이다.

임의의 열린 부분군 에 대하여,

이며, 가 콤팩트 위상군이므로, 의 지표는 유한하다. 의 켤레 부분군들의 수는 의 정규화 부분군의 지표 이므로, 역시 유한하다. 이제,

라고 하자. 은 의 정규 부분군이며, 이다. 또한, 유한한 수의 열린집합의 교집합이므로, 열린집합이다.

가 의 열린 정규 부분군들의 집합이라고 하자. 이 위에 다음과 같은 부분 순서를 주자.

이에 따라 는 부분 순서 집합을 이루며, 또한 이는 상향 원순서 집합이다.

이제, 다음과 같은 함자

를 생각하자.
 임의의 열린 정규 부분군 의 상은 (몫위상을 준) 위상군 이다. (임의의 위상군의 몫군은 몫위상에 대하여 위상군을 이룬다.)
 인 열린 정규 부분군 의 순서쌍의 상은 표준적인 전사 연속 군 준동형 이다.
은 콤팩트 공간 의 연속 함수에 대한 상이므로 콤팩트 공간이며, 이 열린집합이므로 이산 공간이다. 즉, 은 이산 유한군이다.

이제,

가 이 함자의 사영 극한이라고 하자. 표준적인 전사 연속 군 준동형

들을 생각하자. 사영 극한의 보편 성질에 따라, 연속 군 준동형

이 존재한다. 가 위상군의 동형임을 보이면 충분하다. 그런데 와  모두 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, 가 전단사 함수임을 보이면 충분하다.
 는 단사 함수
 이다. 이 1의 국소 기저이며, 가 하우스도르프 공간이므로, 이다.
 는 전사 함수
 임의의 에 대하여, 이다. 모든 은 콤팩트 공간 의 닫힌집합이다. 임의의 유한 집합 에 대하여, 이며 이라고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여, 이다. 즉, 이며, 들은 유한 교집합 성질을 만족시킨다. 따라서, 이다.

 성질 
다음 성질들이 성립한다.
 (무한할 수도 있는 개수의) 사유한군들의 (곱위상이 주어진) 직접곱은 사유한군이다. 사유한군의 닫힌 부분군은 사유한군이다.
 사유한군의 부분군이 열린집합일 필요충분조건은 이 부분군이 유한 지표의 닫힌집합이라는 것이다.

콤팩트 공간의 곱공간 및 닫힌집합은 콤팩트 공간이다. 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간의 곱공간 및 임의의 부분 집합은 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간이다. 따라서, 사유한군들의 직접곱 및 닫힌 부분군은 사유한군이다.

콤팩트 위상군에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 동치이다. 특히, 이는 사유한군에서도 성립한다.

 사유한 완비화 
임의의 군 의 사유한 완비화(射有限完備化, ) 는 다음과 같다.

즉, 의 모든 유한 지표 정규 부분군 에 대한 몫군들의 사영 극한이다. 는 자연스럽게 사유한군을 이룬다. 또한, 자연스러운 군 준동형 가 존재하며, 이 준동형의 상은 의 조밀 집합이다. 일반적으로 이는 단사 함수가 아니다.

또한, 일반적으로 사유한 완비화 연산은 멱등이 아니다. 즉, 일 수 있다.

사유한 완비화는 사유한군의 범주 와 군의 범주  사이의 망각 함자

의 왼쪽 수반 함자

를 이룬다.

사유한 완비화 는 다음 조건을 만족시키는 원소

들로 구성된 (이산 위상의 곱위상의 부분공간 위상을 부여한) 위상군으로 여길 수 있다.
 임의의 유한 지표 정규 부분군 에 대하여, 
그렇다면, 사유한 완비화 함자에서, 군 준동형

의 상은 다음과 같은 위상군의 사상이다.

 예 
모든 이산 유한군은 사유한군이다.

p진 정수 는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군 들의 사영 극한으로 정의된다. 정수군 의 사유한 완비화는 모든 p진 정수군의 직접곱과 동형이다.

사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 구체적으로, 갈루아 확대 가 주어지면 를 고정시키는 체 자기 동형 사상들의 군 는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대 들의 사영 극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.

대수기하학의 에탈 기본군은 사유한군이다. (그러나 대수적 위상수학의 기본군들은 일반적으로 사유한군이 아니다.)

 참고 문헌 



 외부 링크 








분류:위상군
분류:대수적 수론