1−2+3−4+…

섬네일
1−2+3−4+…는 다음과 같은 식으로 표현되는 무한급수이다.

위 급수는 발산한다. 즉, 위 급수의 부분합 수열 {1, -1, 2, -2, ...}이 극한값을 가지지 않는다는 뜻이다. 실제로 이 수열이 진동하며 발산한다는 것을 쉽게 이해할 수 있다.

 역설 
1. 로 두고 다음과 같은 합을 생각하자.
 S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . 
 S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .  
 S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .  
 S =       + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . 
--------------------------------------------
4S = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . 
그러므로, 이다.

2. 다음과 같은 식이 성립한다:

이제 양변을 미분하면,

이므로,

이다.

위 식에 을 대입하면, 다음을 얻는다.

 역설에 대한 해설 
 무한급수는 일반적으로 합의 순서를 임의로 바꿀 수 없다. 이 경우, 4개의 S를 더할 때 1+(-2+1+1)+(3-2-2+1)+...처럼 합의 순서를 바꾸었다고 볼 수 있는데, 이렇게 하는 것은 안 된다.
 주어진 식 은 일 때만 수렴한다. 그러므로 을 대입하여 모순이 발생하는 것은 당연하다.

분류:수학의 역설
분류:발산 급수