가해군

군론에서 가해군(可解群, )은 아벨 군들만을 사용한 군의 확대로 나타낼 수 있는 군이다.

 정의 
어떤 군 가 다음과 같은 꼴의 정규부분군열

을 가지고, 또한 모든 가 아벨 군이라면  를 가해군이라고 한다.

어떤 군 가 다음과 같은 꼴의 정규부분군열

을 가지고, 또한

이며 모든 가 순환군이라면 를 초가해군(超可解群, )이라고 한다. 모든 초가해군은 가해군이나, 그 역은 성립하지 않는다.

 성질 
 함의 관계 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
아벨 군  ⊊ 데데킨트 군  ⊊ 멱영군 ⊊ 가해군
초가해군 ⊊ 가해군
유한 생성군의 경우, 추가로 다음 포함 관계가 성립한다.
멱영군  ⊊ 초가해군

 연산에 대한 닫힘 
군 와 정규 부분군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 가해군이다.
 과 몫군 은 모두 가해군이다.
(초가해군이나 멱영군의 경우, 첫째 조건은 둘째 조건을 함의하나, 그 역은 성립하지 않는다.)

유한군 의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 가해군이다.
 임의의 에 대하여, 는 가해군이다.
(증명은 매우 복잡하다. 증명은 파이트-톰프슨 정리를 사용하는데, 이에 대한 증명 역시 매우 길다.)

가해군의 부분군은 가해군이다. 두 가해군의 반직접곱은 가해군이다. (특수한 경우로, 유한 개의 가해군의 직접곱은 가해군이다.) 두 가해군의 화환곱은 가해군이다.

 필요충분조건 
군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 가해군이다.
 유도열이 유한하다. 즉, 인 자연수 이 존재한다.

유한군 의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 가해군이다.
 임의의 소수 집합 에 대하여, 홀 -부분군이 존재한다.
 임의의 소수 에 대하여, 홀 -부분군이 존재한다.
 쉴로브 기저가 존재한다.

 예 
모든 아벨 군은 (자명하게) 가해군이다. 모든 멱영군은 가해군이다. 모든 유한 생성 멱영군은 초가해군이다.

 가해 유한군 
가해군이 아닌 가장 작은 군은 (크기가 60인) 교대군 이다. 다시 말해, 크기가 59 이하인 모든 군은 가해군이다. 가해군이 아닌 군들의 가능한 크기는 다음과 같다. 
60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, …
초가해군이 아닌 가장 작은 군은 (크기가 12인) 교대군 이다. 초가해군이 아닌 군들의 가능한 크기는 다음과 같다. 
12, 24, 36, 48, 56, 60, 72, 75, 80, 84, 96, 108, 112, 120, 132, …
주어진 크기의 초가해군의 수는 다음과 같다. 
1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 14, …
즉, 예를 들어 크기가 4인 초가해군은 두 개(4차 순환군 및 클라인 4원군)가 있다.

파이트-톰프슨 정리에 따르면, 크기가 홀수인 모든 유한군은 가해군이다.

번사이드 정리에 따르면, 크기가

의 꼴인 유한군은 가해군이다. 여기서 는 소수이고, 는 음이 아닌 정수다.

 가해 리 군 
리 대수가 가해 리 대수인 연결 리 군은 가해군을 이룬다. 예를 들어, 실수 또는 복소수 상삼각 행렬들의 리 군은 가해 리 군이다.

모든 유한 차원 연결 가해 리 군은 유클리드 공간과 미분동형이다.

 역사 
가해군의 개념은 갈루아 이론에서 최초로 등장하였다. 갈루아 이론에서, 갈루아 군이 가해군인 갈루아 확대는 거듭제곱근으로 풀 수 있기 때문에 이러한 이름이 붙었다. 오늘날 가해군의 개념은 갈루아 이론뿐만 아니라 군론 전반적으로 널리 쓰인다.

 같이 보기 
 가해 리 대수

 참고 문헌 


 외부 링크 








분류:군론