완전체

추상대수학에서 완전체(完全體, )는 그 갈루아 이론이 특별히 단순한 체이다.

 정의 
체 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는 체를 완전체라고 하며, 완전체가 아닌 체를 불완전체()라고 한다.
 에 대한 기약 다항식은 분해 가능 다항식하다.
 의 모든 유한 확대는 분해 가능 확대이다.
 의 모든 대수적 확대는 분해 가능 확대이다.
 의 표수가 0이거나, 아니면 표수가 인 경우 모든 에 대하여 인 가 존재한다.
 의 표수가 0이거나, 아니면 표수가 인 경우 프로베니우스 사상 이 의 자기 동형 사상을 이룬다.

첫째·둘째·셋째 조건은 분해 가능 확대의 정의에 따라 자명하게 동치이다. 표수가 인 경우 프로베니우스 사상은 항상 의 단사 자기 준동형이므로, 넷째 조건과 다섯째 조건이 서로 동치이다.

첫째 조건 ⇒ 넷째 조건. 에 대한 기약 다항식이 분해 가능 다항식이며, 의 표수가 이며, 이며, 일 때, 임을 보이면 충분하다. 가 의 최소 다항식이라고 하자. 는 다항식

의 근이므로, 는 이 다항식을 나눈다.

이라고 하자. 는 기약 다항식이므로, 가정에 따라 분해 가능 다항식이다. 즉, 이다. 이므로, 이다.

넷째 조건 ⇒ 첫째 조건. 만약 의 표수가 0이라면, 임의의 기약 다항식 에 대하여, 이므로 는 분해 가능 다항식이다. 이제, 의 표수가 0이며, 프로베니우스 사상 이 전사 함수이며,

가 임의의 기약 다항식이며, 분해 가능 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면,

이다. 에 대하여, 이므로, 일 때 이다. 이제, 임의의 에 대하여, 인 를 잡자. 그렇다면,

이다. 이는 가 기약인 데 모순이다. 따라서, 에 대한 모든 기약 다항식은 분해 가능 다항식이다.

보다 일반적으로, 표수가 0이거나, 아니면 양의 소수 표수를 가지며 프로베니우스 사상이 자기 동형 사상을 이루는 가환환을 완전환(完全環, )이라고 한다. (이는 하이먼 배스가 도입한 "완전환" 개념과는 다른 개념이다.)

 완전 폐포 
양의 표수 의 체 에 대하여, 를 포함하는  속의 가장 작은 체를 완전 폐포(完全閉包, ) 라고 한다. 이는 에 모든 에 대한 제곱근을 첨가하여 얻는다.

보다 일반적으로, 소수 표수 의 가환환 의 완전 폐포 는 를 포함하는 가장 작은 완전환이다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.
임의의 표수 의 완전환  및 환 준동형 에 대하여, 가 되는 환 준동형 가 유일하게 존재한다.

이는 항상 존재하며, 체의 경우와 마찬가지로 모든 제곱근들을 첨가하여 얻는다.

 예 
대수기하학을 제외하고, 수학에서 등장하는 대부분의 체들은 완전체이다.
 표수가 0인 체는 완전체이다. 따라서, 실수체·복소수체·p진수체 등이 모두 완전체이다.
 모든 유한체  또한 완전체이다.
 모든 대수적으로 닫힌 체는 (표수가 0이 아니더라도) 완전체이다.
완전체가 아닌 체의 예로는 표수가 인 체 에 대한 유리 함수체 가 있다. 의 경우 가 존재하지 않기 때문이다.

 같이 보기 
 반완전환

 외부 링크 




분류:체론