축소환

환론에서 축소환(縮小環, )은 0이 아닌 멱영원을 갖지 않는 환이다. 즉, 0이 아닌 원소의 제곱이 항상 0이 아닌 환이다.

 정의 
(곱셈 단위원을 갖는) 환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 축소환이라고 한다.
 0이 아닌 모든 원소는 멱영원이 아니다. 즉, 임의의 0이 아닌 원소  및 양의 정수 에 대하여, 이다.
 임의의 0이 아닌 원소  및 양의 정수 에 대하여, 이다.
 (유한 개 또는 무한 개의) 영역들의 직접곱의 부분환이다. (0개의 환의 직접곱은 자명환이다.)

 축소 스킴 
축소환의 개념은 대수기하학에서 중요한 역할을 한다. 대수기하학에서, 멱영원은 무한소 함수로 해석된다. 즉, 거듭제곱을 하면 0이 되는 (즉, 무시할 수 있는) 무한소의 값을 갖는 함수이다.

축소 아핀 스킴()은 축소환의 스펙트럼과 동형인 아핀 스킴이다. 축소 스킴()은 축소 아핀 스킴으로 덮을 수 있는 스킴이다.

모든 대수다양체는 (정의에 따라) 축소 스킴을 이룬다.

 성질 
 함의 관계 
다음 함의 관계가 성립한다.
 체  ⇒  정역 ⇓   ⇓  ⇘나눗셈환  ⇒  영역  ⇒  축소환 ⇓   ⇓   ⇓ 左·右 원시환  ⇒  소환  ⇒  반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.
 체    정역 ⇕   ⇕나눗셈환  ⇒  영역  ⇒  축소환 ⇕   ⇕   ⇕ 左·右 원시환    소환    반소환

 닫힘 성질 
축소환들은 부분환·직접곱·국소화에 대하여 닫혀 있다. 즉, 축소환의 부분환·국소화 및 축소환들의 곱 역시 축소환이다.

 영근기 

가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 축소환이다.
 영근기가 영 아이디얼이다.
가환환 에 대하여, 영근기에 대한 몫환은 가환 축소환을 이룬다.

 예 
자명환은 (자명하게) 축소환이다.

모든 정역은 축소환이다. 즉, 정수환 이나 모든 체는 축소환이다. 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 는 정역이 아니지만 축소환이다.

축소환이 아닌 환으로는 예를 들어 체 에 대하여  ()가 있다. 이 경우, 이므로 은 멱영원을 이룬다.

가 축소환일 필요충분조건은 이 제곱인자를 갖지 않는 것이다.

 각주 

 외부 링크 








분류:환론