멱영군

군론에서, 멱영군(冪零群, , )은 아벨 군에 가까운 군이다. 구체적으로, 충분히 많은 수의 교환자를 취하면 단위원이 되는 군이다.

 정의 
군 의 하중심렬(下中心列, )

은 다음과 같다.

군 의 상중심렬(上中心列, )

은 다음과 같다.

상중심렬에서 은 군 의 중심 이다.

임의의 군 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다. 멱영군은 이 조건을 만족시키는 군이다.
 하중심렬이 유한하다. 즉, 인 음이 아닌 정수 이 존재한다.
 상중심렬이 유한하다. 즉, 인 음이 아닌 정수 이 존재한다.
이 경우, 두 조건을 만족하는 가장 작은 은 일치한다. 그렇다면, 를 n류 멱영군()이라고 한다.

 성질 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
아벨 군  ⊊ 데데킨트 군  ⊊ 멱영군 ⊊ 가해군
즉, 모든 아벨 군 및 데데킨트 군은 멱영군이며, 모든 멱영군은 가해군이다.

멱영군의 부분군은 멱영군이다. 멱영군의 몫군은 멱영군이다. 유한 개의 멱영군의 직접곱은 멱영군이다.

유한군 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 멱영군이다.
 임의의 부분군 에 대하여, 만약 라면, 이다.
 모든 쉴로브 부분군은 정규 부분군이다.
 유한 개의 p-군들의 직접곱으로 나타낼 수 있다.
 모든 극대 진부분군은 정규 부분군이다.
 모든 가능한 크기(라그랑주 정리)의 정규 부분군이 존재한다.
 차수가 서로소인 모든 두 원소는 가환한다.
모든 유한 멱영군은 초가해군이다.

멱영류에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 0류·1류 멱영군은 아벨 군이므로, 자명하게 초가해군이다. 이제, 모든 유한 류 멱영군이 초가해군이며, 가 유한 류 멱영군이라고 가정하자. 즉, 에서 끝나는 하중심렬

을 갖는다. 그렇다면, 몫군 의 하중심렬은

이므로, 은 류 멱영군이다. 귀납법의 가정에 따라, 은 초가해군이므로, 의 정규 부분군들의 열

이 존재하며, 각 은 순환군이다. 가 몫 준동형 에 대한 의 원상이라고 하자. 그렇다면

이며, 각 는 순환군이다. 이제,

이므로, 은 의 중심에 포함되며, 특히 아벨 군이다. 따라서, 의 합성열

에서, 각 는 (크기가 소수인) 순환군이다. 또한, 이 의 중심에 포함되므로, 각 는 의 정규 부분군이다. 따라서, 의 정규 부분군들의 열

이 존재하며, 모든 몫군은 순환군이다. 즉, 는 초가해군이다.

 예 
아벨 군은 0류 멱영군이다.

사원수군 은 2류 멱영군이다.

에 대하여, 정이면체군 은 류 멱영군이다. 에 대하여, 만약 이 2의 거듭제곱이 아니라면, 은 멱영군이 아니다.

 참고 문헌 






 외부 링크 





 같이 보기 
 가해군
 멱영 리 대수
 멱영 행렬

분류:군론