토렐리 정리

대수기하학에서 토렐리 정리(Torelli定理, )는 리만 곡면이 그 야코비 다양체에 의하여 결정된다는 정리다. 즉, 리만 곡면의 모듈라이 공간에서 야코비 다양체로의 사상은 단사 함수이다. K3 곡면과 칼라비-야우 다양체의 경우에도 유사한 정리가 존재한다.

 정의 
종수가 인 리만 곡면들의 모듈러스 공간 는 (인 경우) 차원 복소 공간이다. 차원 복소 주극성화 아벨 다양체의 모듈러스 공간

은 차원 복소 공간이다. 주기 사상(period mapping)에 의하여, 주어진 종수 의 리만 곡면 로부터 그 야코비 다양체

를 정의할 수 있다. 야코비 다양체는 차원 아벨 다양체이므로, 이는 리만 곡면 모듈러스 공간 에서 아벨 다양체 모듈러스 공간 로 가는 사상

를 정의한다. 토렐리 정리에 따르면, 이는 단사 함수이다.

 예 
종수가 인 경우, 와  둘 다 하나의 점이므로 토렐리 정리는 자명하다.

인 경우,

이다. (종수 1의 리만 곡면과 1차원 아벨 다양체 둘 다 타원 곡선이다.) 이 경우 주기 사상은 단사 함수일 뿐만 아니라 전단사 함수이다.

종수가 인 경우에도 이다. 이 경우, 의 폐포는  전체이다.

종수가 인 경우 이다. 이 경우, 는 진부분집합이며, 이를 결정짓는 문제를 숏키 문제()라고 한다.

 역사 
루제로 토렐리()가 1913년 증명하였다.

 각주 

 외부 링크 


분류:대수기하학
분류:대수기하학 정리
분류:복소기하학 정리