위상 끈 이론

이론물리학에서 위상 끈 이론(位相끈理論, )는 끈 이론의 단순한 종류의 하나이다. 이 경우, 끈의 세계면 위에 존재하는 이론은 통상적인 끈 이론과 달리, 국소적인 자유도를 갖지 않는다. 정확히 말하자면, 위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원 위튼형 위상 양자장론을 이룬다. A형과 B형 두 종류가 있으며, 이들은 서로 거울 대칭에 의하여 연관된다.

 전개 
위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원  초등각 장론이다. (이는 일반적인 끈 이론의  초대칭과 다르다.) 이 경우 R대칭은 U(1)V×U(1)A이다. 이 두 성분 가운데 하나를 로런츠 대칭 SO(2)=U(1)E과 대응시켜, 위상적 뒤틂(topological twist)을 가하여 위튼형 위상 양자장론을 만들 수 있다. U(1)V로 뒤틀면 A-모형(), U(1)A로 뒤틀면 B-모형()을 얻는다.

만약 세계면 이론이 등각 대칭을 갖지 않는다면 U(1)A 대칭은 깨지게 된다. 이 경우는 오직 A-모형만을 정의할 수 있다. 예를 들어, 과녁 공간이 (칼라비-야우 다양체이 아닌) 켈러 다양체인 시그마 모형의 경우, 오직 A-모형만이 존재한다.

반대로, 과녁 공간이 이고 초퍼텐셜을 가진 란다우-긴즈부르크 모형()의 경우, 초퍼텐셜이 특수한 형태가 아니라면 U(1)V 대칭이 고전적으로 깨지게 된다. 이 경우는 오직 B-모형만을 정의할 수 있다.

A-모형과 B-모형은 거울 대칭에 의하여 서로 연관된다.

 성질  A-모형  B-모형 뒤트는 대칭  U(1)V  U(1)A 과녁 공간의 조건  (일반화) 켈러 다양체  복소다양체 매장 사상 의 국소화 조건  정칙 함수  상수 함수 초대칭 D-막  특수 라그랑주 부분다양체()  정칙 부분다양체 손지기 환(chiral ring)  (a,c) 환  (c,c) 환 란다우-긴즈부르크 모형의 손지기 환  자명함   (초퍼텐셜 를 가진 차원 란다우-긴즈부르크 모형) 시그마 모형의 손지기 환   양자 코호몰로지(quantum cohomology)  (벡터 공간으로서 드람 코호몰로지 와 같지만 환 연산이 다름. 큰 부피 극한에서는 드람 코호몰로지로 수렴)  접다발의 외대수 다발의 돌보 코호몰로지  정칙 변칙의 존재 여부  없음  있음 (BRST 불변 관측가능량이 모듈러스 공간 위에서 정칙함수가 아닐 수 있음) 관련된 범주  후카야 범주(Fukaya category)  연접층의 범주

 위상 시그마 모형 
이 콤팩트 칼라비-야우 다양체라고 하고, 가 콤팩트 리만 곡면(=세계면)이라고 하자. 그렇다면  위에 2차원  시그마 모형을 다음과 같이 정의하자.
 는 매끄러운 함수이다. 여기서 은 의 (비정칙) 접다발의 전체 공간이며, 이 경우 이다.
이들은 손지기 초장

으로 포함하여 쓸 수 있다. (나머지 성분들은 보조장이거나,  및 의 도함수로 구성된다.)
이들은 R대칭에 대하여 다음과 같은 전하를 갖는다.
 장   U(1)V 전하  U(1)A 전하  스핀    0  0  −1   0  0  +1   −1  −1  −½   +1  −1   −½   −1  +1  +½   +1  −1  +½   0  0  0   +1  +1  +½    −1  −1  +½   +1  −1  −½   −1  +1  −½
즉, 초장 는 로런츠 스칼라이자 모든 R대칭에 대하여 중성이다. 기호에서 윗첨자 ±는 뒤틀기 전 로런츠 스핀을 나타내며, 아랫첨자 ±는 로런츠 스핀의 반대 부호이다.

이 시그마 모형의 두 가지 위상 뒤틂은 각각 다음과 같다.
 뒤틂         뒤틀기 이전 스핀 +½,   스핀 +½,   스핀 −½,   스핀 −½,  A뒤틂   스핀 +1,   스핀 0,   스핀 0,   스핀 −1,  B뒤틂  스핀 +1,   스핀 0,   스핀 −1,   스핀 0, 

 다른 이론과의 관계 
A모형의 관측 가능량들은 수학적으로 그로모프-위튼 불변량()이라는 이름으로 엄밀히 정의되며, 이는 양자 코호몰로지()를 정의한다.

 유효 이론 
일반적으로, (초)끈 이론은 낮은 에너지에서 (초)중력 유효 이론을 이룬다. A형 위상 끈 이론의 유효 이론은 켈러 중력()이라고 불리며, 특수한 경우 천-사이먼스 이론으로 해석할 수 있다. B형 위상 끈 이론의 유효 이론은 고다이라-스펜서 중력()이다.

 쌍대성 
고파쿠마르-바파 쌍대성()에 따르면, 코니폴드 위의 열린 끈 A모형은 U(N) 천-사이먼스 이론의 큰  극한과 같다. 이는 라제시 고파쿠마르와 캄란 바파가 발견하였다.

A모형 위상 끈 이론은 또한 통계역학의 결정 융해 모형과 서로 쌍대적이라고 추측된다.

 초대칭 게이지 이론 
A모형 위상 끈 이론은 4차원 또는 5차원  초대칭 게이지 이론의 프리퍼텐셜()을 계산하는 데 쓰인다. B모형 위상 끈 이론은 4차원  초대칭 게이지 이론의 초퍼텐셜()을 계산하는 데 쓰인다.

A모형 계산은 또한 BPS 블랙홀의 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 계산하는 데 쓰인다.

 역사 
에드워드 위튼이 1988년에 도입하였다.

 같이 보기 
 위상수학적 결함
 위상 양자장론
 위상수학적 양자 수
 각주 








 외부 링크 





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