자이베르그 이중성

양자장론에서 자이베르그 이중성(זייברג二重性, )은 서로 다른 4차원  초대칭 게이지 이론의 저에너지 유효 이론이 일치하는 현상이다. 즉, 이 두 이론들은 재규격화군 흐름에 의하여 같은 등각 장론 부동점으로 흘러가고, 이 등각 장론은 서로 다른 두 고에너지 이론에 대응하는, 서로 다른 두 개의 변수 집합으로 기술할 수 있다.

 역사 
나탄 자이베르그가 1994년 발견하였다.

 전개 
 원래 이론과 이중 이론 
다음과 같은 4차원  SU(N) 초대칭 게이지 이론을 생각하자.
 SU(Nc) 벡터 초장 (글루온과 글루이노)
 F개의 기본 표현 오른손 초장  및 왼손 초장  (쿼크와 스쿼크)
이에 대응하는 이중 이론은 다음과 같은 초장을 포함하는 4차원   초대칭 게이지 이론이다.
 초퍼텐셜은 0이다. 특히, 쿼크 질량은 0이다.
이에 대응하는, 다음과 같은 이중 4차원  SU(Ñ) 초대칭 게이지 이론을 생각하자.
 SU(Ñ) 벡터 초장 (이중 글루온과 이중 글루이노)
 F개의 기본 표현 오른손 초장  및 왼손 초장  (이중 쿼크와 이중 스쿼크)
  맛깔 표현의 손지기 초장  (중간자)
 초퍼텐셜 .
그렇다면 자이베르그 이중성에 따라, 인 경우, 이 두 이론의 저에너지 재규격화군 부동점은 서로 같다.

두 이론의 대칭군은 로 같으며, 이에 대한 장들은 다음과 같다.
+ 원래 이론의 기본 입자와 합성 입자 기호  설명  SU(N)  SU(F)L  SU(F)R  중입자수 U(1)B R대칭 U(1)R   글루온 (벡터 초장)  딸림표현  1  1  0  0   왼손 스쿼크 (손지기 초장)   □  □  1   1/Nc     왼손 반스쿼크 (반손지기 초장)    1    −1/N     중간자 (손지기 초장)  1  □    0     중입자 (손지기 초장)  1    1  1     초공간 반가환 좌표  1  1  1  0  1   초공간 반가환 좌표  1  1  1  0  −1

+ 이중 이론의 기본 입자와 합성 입자  기호  설명  SU(Ñ)  SU(F)L  SU(F)R  중입자수 U(1)B R대칭 U(1)R   이중 글루온 (벡터 초장)  딸림표현  1  1  0  0   이중 왼손 스쿼크  (손지기 초장)  □  □  1   1/(F−N)     이중 왼손 반스쿼크 (반손지기 초장)   □  1    −1/Ñ     중간자 (손지기 초장)  1  □    0     중입자 (손지기 초장)  1    1  1     초공간 반가환 좌표  1  1  1  0  1   초공간 반가환 좌표  1  1  1  0  −1

 초대칭 게이지 이론의 상 
F개의 기본 표현 디랙 페르미온을 포함하는, 4차원  SU(N) 초대칭 게이지 이론을 생각하자. 이 경우, 저에너지 유효 이론은 다음과 같은 상들을 가질 수 있다.
 인 경우 (물질이 없는 경우) 이론은 색가둠을 보이며, 낮은 에너지 자유도는 무색의 글루볼이다.
 인 경우 양자역학적인 진공이 존재하지 않는다.
 인 경우 이론은 색가둠을 보인다. 이 경우 저에너지 자유도는 무질량 강입자(중간자와 중입자)이다. 이 경우 손지기 대칭 SU(F)L×SU(F)R이 변칙적으로 부분군으로 깨지며, 정확히 어떤 군이 살아남는지는 모듈러스 공간 위치에 따라 다르다. 이 경우 이중 이론은 무질량 강입자들을 기본 입자로 하고, 게이지 대칭이 없는 손지기 유효 이론(chiral effective theory)이다.
 인 경우에도 이론은 색가둠을 보인다. 그러나 이 경우 손지기 대칭이 깨지지 않으며, 고전적 모듈러스 공간이 양자역학적인 보정을 받지 않는다. 이중 이론은  경우와 마찬가지인 손지기 유효 이론이다.
 인 경우, 이론은 자유 자기 상에 있다. 즉, 낮은 에너지에서 결합 상수가 로그 꼴로 발산하고, 반대로 자기 결합 상수는 점근 자유성을 보인다. 낮은 에너지에서 자유 입자는 무질량 중간자와 분수 중입자수 및 자하를 가진 솔리톤이다. 즉, 중입자들이 여러 솔리톤들로 분해된다. 이 입자들은 이중 이론의 기본 입자들에 해당한다.
 인 경우, 재규격화군 흐름에 자명하지 않은 저에너지 부동점이 존재한다. 즉, 저에너지 유효 이론은 일종의 초등각 장론이다. 이 경우 이론은 쿨롱 상에 있다. 이 경우를 등각 창()라고 한다.
 인 경우, 이론은 점근 자유성을 상실하고, 자유 전기 상에 있다. 이 경우 쿼크, 스쿼크, 글루온, 글루이노 등 유색 입자들은 가둠을 받지 않고 자유롭다. 높은 에너지에서 이 이론은 란다우 극을 보여, 결합 상수가 무한대로 발산하며, 이론이 더 이상 일관적이지 않게 된다.

자이베르그 이중성은 인 경우에 적용된다. 이 경우 원래 이론과 이중 이론의 상들은 다음과 같다.
 맛깔 수   원래 이론의 상  이중 이론의 상  원래 저에너지 자유도  이중 저에너지 자유도     가둠 상  (게이지 대칭 無)  복합 입자인 무질량 중간자와 중입자  기본 입자인 중간자와 중입자     자유 자기 상  자유 전기 상  무질량 중간자, 분수 중입자수의 자기 홀극 솔리톤  이중 글루온 , 중간자 , 이중 쿼크 ,      쿨롱 상  쿨롱 상         자유 전기 상  자유 자기 상  글루온 , 스쿼크 ,   무질량 중간자, 분수 중입자수의 자기 홀극 솔리톤

 원래 이론과 이중 이론의 관계 
자이베르그 이중성은 S-이중성의 일종이다. 즉, 원래 이론에서 결합 상수가 큰 경우, 이중 이론에서 결합 상수가 작게 된다. 구체적으로, 다음과 같은 대응 관계가 성립한다.
 원래 이론의 글루온은 이중 이론에서 게이지 자기장이 된다. 즉, 이는 전기-자기 이중성의 일종이다.
 원래 이론의 쿼크는 이중 이론의 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극이 된다. 반대로, 이중 이론의 쿼크는 원래 이론의 자기 홀극이다.
 합성 입자인 원래 이론의 중간자 들은 이중 이론에서 기본 입자 으로 대응된다.
 합성 입자인 원래 이론의 중간자 들은 이중 이론에서도 합성 입자 가 된다. 그러나 중입자에 포함되는 쿼크 수는 물론 다르다 (원래 이론의 경우 N, 이중 이론의 경우 Ñ).
 원래 이론의 가둠 상은 이중 이론의 힉스 상이 된다.
 두 이론의 대역적인 대칭 은 일치한다. 대응되는 장들은 이 대칭에 대하여 같은 양자수들을 가진다.
 두 이론의 게이지 대칭은 일반적으로 서로 다르다. 그러나 게이지 대칭은 낮은 에너지에서 (가둠 또는 힉스 메커니즘을 통해) 관찰할 수 없으므로 이는 일치하지 않아도 된다.
이중 이론에서 중간자가 기본 입자로 존재하는 것은 손지기 섭동 이론(, χPT)에서 기본 중간자장 를 도입하는 것과 유사하다.

원래 이론이 가둠 상에 있는 경우, 이중 이론에서의 이중 글루온은 힉스 메커니즘을 통해 무게를 얻게 된다. 이는 벡터 중간자인 로 중간자에 해당한다. 로 중간자가 힉스 메커니즘을 거친, 숨겨진 맛깔 게이지 대칭에 대한 게이지 보손이라는 가설은 오래된 개념으로, 이미 1960년대부터 거론되어 왔다. 자이베르그 이중성을 도입하면 이를 엄밀하게 해석할 수 있다.

 시험 
자이베르그 이중성은 여러 가지로 확인해 볼 수 있다.
 두 이론은 같은 대칭군을 가진다. 또한, 이들을 게이지화하려 할 경우, 이에 대한 변칙들이 일치한다 (변칙 일치 조건).
 두 이론의 무색 합성 입자(중입자와 중간자)들이 같은 양자수들을 가진다.
 두 이론의 모듈러스 공간이 일치한다.
 이는 끈 이론에서 하나니-위튼 전이에서와 유사한 D-막 교차점 유효 이론으로 설명할 수 있다.

+ 변칙 일치 조건 변칙 원래 이론 이중 이론                  

 다른 게이지 군의 자이베르그 이중성 
SO(N)과 USp(2N) 게이지 군의 경우에도 자이베르그 이중성이 존재한다.

 특수직교군 
SO(N)의 경우, 자이베르그 이중성은 다음과 같다. 이중 초대칭 게이지 이론은 SO(Ñ) 게이지 군을 가지고, 이 경우

이다.
+ 원래 이론의 기본 입자와 합성 입자 기호  설명  SU(N)  SU(F)  R대칭 U(1)R   글루온 (벡터 초장)  □□  1  0   스쿼크 (손지기 초장)   □  □     중간자  1  □□     중입자  1       혼합(hybrid) 중입자  1       혼합(hybrid) 중입자  1    

+ 이중 이론의 기본 입자와 합성 입자  기호  설명  SU(Ñ)  SU(F)  R대칭 U(1)R   이중 글루온 (벡터 초장)  □□  1  0   이중 스쿼크  (손지기 초장)  □       중간자 (손지기 초장)  1  □□     중입자  1       혼합(hybrid) 중입자  1       혼합(hybrid) 중입자  1    
이 경우 무색 입자들은 다음과 같이 대응한다.
 입자  원래 이론  이중 이론 중간자     중입자     중입자     중입자    

 심플렉틱 군 
USp(2N)의 경우, 자이베르그 이중성은 다음과 같다. 이중 초대칭 게이지 이론은 USp(2Ñ) 게이지 군을 가지고, 이 경우

이다.

+ 원래 이론의 기본 입자와 합성 입자 기호  설명  USp(2N)  SU(2F)  R대칭 U(1)R   글루온 (벡터 초장)  □□  1  0   스쿼크 (손지기 초장)   □  □     중간자  1  □□  

+ 이중 이론의 기본 입자와 합성 입자  기호  설명  USp(2Ñ)  SU(2F)  R대칭 U(1)R   이중 글루온 (벡터 초장)  □□  1  0   이중 스쿼크  (손지기 초장)  □       중간자 (손지기 초장)  1  □□  

심플렉틱 군의 경우 중입자가 존재하지 않는다. 이는 레비치비타 기호가 심플렉틱 형식들로 나타내어지기 때문이다. 즉, 중입자 연산자는 중간자 연산자들로 나타낼 수 있다.

 예외적 군 
예외적 리 군의 경우에 대해서는 아직 확실히 알려진 바가 없다.

 끈 이론에서의 해석 
자이베르그 이중성은 끈 이론에서 하나니-위튼 전이와 같은 꼴로 해석할 수 있다.

 각주 

 외부 링크 






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