연환수

위상수학에서 연환수(連環數, )는 두 폐곡선이 서로를 감는 수이다. 이는 해석적인 방법으로 간단하게 계산할 수 있다.

 정의 
두 개의 성분으로 구성돼 있는 유향 연환()을 생각하자. 이 경우, 연환수는 한 폐곡선이 다른 폐곡선을 통과하는, 부호를 가진 정수이다. 그림으로 쉽게 설명할 수 있다.
140px140px140px연환수 −2연환수 −1연환수 0140px140px140px연환수 1연환수 2연환수 3

이는 두 개의 성분을 가진 유향 연환의 유일한 위상수학적 불변량이다.

 계산 알고리즘 
연환의 도표()가 주어지면, 다음과 같은 알고리즘으로 연환수를 쉽게 계산할 수 있다.

500px|가운데

연환 도표에서 위와 같은 교차점들의 수를 각각 , , , 라고 하자. 그렇다면 연환수 는 다음과 같다.

예를 들어, 다음과 같은 연환을 생각하자.

200px|가운데

이 경우
{| class="wikitable"
|-
! 교차점 !! 수
|-
| n1 || 3
|-
| n2 || 3
|-
| n3 || 1
|-
| n4 || 1
|}
이므로 연환수는 이다.

 가우스 적분 
연환수는 또한 해석적으로도 계산할 수 있다. 이 공식을 가우스 연환 적분()이라고 하며, 다음과 같다. 두 폐곡선에 임의의 매개변수를 주어

으로 쓰자. 그렇다면 와 의 연환수 는 다음과 같다.

이는 다음과 같이 유도할 수 있다. 폐곡선에 매개변수를 가하면, 다음과 같은 가우스 사상 
을 정의할 수 있다.

이는 원환면에서 구면으로 가는 연속함수이며, 그 브라우어르 차수가 연환수와 일치함을 쉽게 확인할 수 있다. 브라우어르 차수는 공역이 몇 번 감기는지를 세는 위상수학적 불변량인데, 이는 해석적으로 쉽게 계산할 수 있다. 즉, 함수를 정의역에 대하여 적분한 뒤, 이를 공역의 넓이로 나누면 된다. 여기서 (단위) 구면의 넓이는 이므로 가우스 연환 적분 공식을 쉽게 유도할 수 있다.

 고차원 연환수 
고차원에서도 연환수를 정의할 수 있다. 차원 다양체  속에 차원 부분다양체 과 차원 부분다양체 가 있다고 하자. 또한, , 의 호몰로지류가 꼬임 부분군에 속한다고 하자. 즉, 양의 정수 가 존재해,

이라고 하자. 그렇다면 이들 사이의 연환수를 정의할 수 있다. 이 경우, 이는 가우스 적분으로 계산할 수 있다. 가우스 사상

을 정의하면, 연환수는 가우스 사상의 브라우어르 차수이다.

이는 단순히 두 호몰로지류의 교차수(intersection number)이다. 다음과 같은 사슬 , 를 정의하자.

또한, 푸앵카레 쌍대성을 사용해

인 코호몰로지류 를 정의할 수 있다. 그렇다면 연환수는

이다.

 외부 링크 





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