유니모듈러 격자

유니모듈러 격자()는 행렬식이 ±1인 격자이다.

 정의 
격자() 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 은 자유 유한 생성 아벨 군이다.
 는 정수 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식이다.
유니모듈러 격자는 다음 조건을 만족시키는 격자 이다.
 이 차원이라고 하자. 의 기저 을 잡았을 때,  대칭 정수행렬 을 로 정의하자. 그렇다면 이다. (행렬 은 기저의 선택에 따라 달라지지만, 그 행렬식은 바뀌지 않는다.)
짝 유니모듈러 격자()는 모든 에 대하여 이 짝수인 격자다. 짝 유니모듈러 격자가 아닌 유니모듈러 격자를 홀 유니모듈러 격자()라고 한다.

 분류 
유니모듈러 격자는 정부호(definite)와 부정부호(indefinite) 두 종류가 있다. 부호수가 인 부정부호 격자 의 경우, (동형을 무시하면) 오직 하나의 홀 유니모듈러 격자

가 존재한다. 구체적으로 이는 에 의해 주어진다. 부정부호수에서 짝 유니모듈러 격자가 존재할 필요충분조건은

이며, 이 경우 (동형을 무시하면) 오직 하나의 짝 유니모듈러 격자

가 존재한다. 이는 구체적으로

이다. 또한, 은 E8 격자와 동형이다.

정부호 유니모듈러 격자는 분류하기가 더 어렵다.
 7차원 이하의 경우 유일한 홀 정부호 유니모듈러 격자 가 존재한다. 짝 유니모듈러 격자는 존재하지 않는다.
 짝 유니모듈러 격자가 존재하는 최소 차원은 8차원이다. 이 차원에서는 E8 격자가 존재하며, 이는 E8 리 군의 근계로 생성된다.
 8차원 다음으로 짝 유니모듈러 격자가 존재하는 차원은 16차원이며, 이 차원에서는 두 개의 짝 유니모듈러 격자가 존재한다. 이는 과
 24차원에서는 총 24개의 짝 유니모듈러 격자가 존재하며, 이들을 니마이어 격자()라고 한다. 이 가운데 근이 없는 격자는 리치 격자 하나밖에 없다.

차원이 26 미만인 정부호 유니모듈러 격자는 모두 분류되었고, 다음과 같다. 홀 유니모듈러 격자의 수는 , 짝 유니모듈러 격자의 수는 이다.
 차원 홀격자 근이 없는 홀격자 짝격자 근이 없는 짝격자 0  0  0  1  1 1  1  0   2  1  0   3  1  0   4  1  0   5  1  0   6  1  0   7  1  0   8  1  0  1 (E8 격자)  0 9  2  0   10  2  0   11  2  0   12  3  0   13  3  0   14  4  0   15  5  0   16  6  0  2 (E82, D16+)  0 17  9  0   18  13  0   19  16  0   20  28  0   21  40  0   22  68  0   23  117  1 (짧은 리치 격자)   24  273  1 (홀 리치 격자)  24 (니마이어 격자)  1 (리치 격자) 25  665  0   26  ≥2307  1   27  ≥14179  3   28  ≥327972  38   29  ≥37938009  ≥8900   30  ≥20169641025  ≥82000000   31  ≥5000000000000</sup>  ≥800000000000</sup>   32  ≥80000000000000000</sup>  ≥10000000000000000</sup>  ≥1160000000  ≥10900000

 참고 문헌 




분류:이차 형식
분류:격자점