J-불변량

수학에서 -불변량(j-不變量, )은 모듈러 함수의 하나다. -불변량의 모든 유리 함수 또한 모듈러 함수이며, 모든 모듈러 함수는 -불변량의 유리 함수로 나타낼 수 있다.

 정의 
상반평면 에 대하여, 다음과 같은 함수들을 정의하자.

그렇다면 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.

이를 -불변량이라고 한다. 일부 문헌에서는  대신 을 사용하기도 한다.

 특별한 값 
특별한 점에서 -불변량의 값은 다음과 같다.
 τ i  exp(2πi/3)  exp(2πi/6)  i∞             j(τ) 1728  0  0  ∞  −153  −323  −963  −9603  −52803  −6403203
이 가운데, 7, 11, 19, 43, 67은 헤그너 수이다.

 헤그너 수와 라마누잔 상수 

가 헤그너 수라면 는 정수이다. 따라서, 그 푸리에 급수에 따라서

이다. 여기서 가 크다면

의 절댓값은 매우 작다. 따라서 푸리에 급수의 고차항을 버리고, 다음과 같은 근사식을 쓸 수 있다.

즉, 는 정수에 매우 가까운 초월수이다. 가장 큰 헤그너 수 을 사용하면

이다. 이는 스리니바사 라마누잔이 발견하였고, 라마누잔 수()라고 한다.

 푸리에 급수와 가공할 헛소리 
j-불변량의 푸리에 급수는 를 사용하여 적으면 다음과 같다 

이 계수들은 가장 큰 예외적 유한 단순군인 괴물군의 기약 표현들의 차원과 관계있다.

이 관계를 가공할 헛소리()라고 한다. 여기서 (가공할, 말도 안 되는)는 괴물 군()에 대한 말장난이다. 이 놀라운 관계는 원래 존 매케이(, 1939–)가 1970년대에 최초로 발견하였고, 존 호턴 콘웨이가 이러한 이름을 붙였다. 이 사실은 리처드 보처즈가 리치 격자(Leech lattice)에 축소화한 보손 끈 이론을 사용해 설명하였고, 이 공로로 필즈상을 수상하였다.

 같이 보기 
 바이어슈트라스 제타 함수
 자기동형 형식
 클래스 넘버 문제

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:모듈러 형식
분류:타원함수