이차 수체

대수적 수론에서 이차 수체(二次數體, )는 차원이 2인 대수적 수체이다.

 정의 
이차 수체는 의 꼴인 대수적 수체이다. 여기서 는 이 아닌 (음 또는 양의) 제곱 인수가 없는 정수이다. 만약 이면 를 실수 이차 수체(實數二次數體, )라고 하고, 이면 복소 이차 수체(複素二次數體, )라고 한다. 이차 수체의 대수적 정수환의 원소를 이차 정수(二次整數, )라고 한다.

 성질 
 정수환 
이차 수체 의 대수적 정수환은 다음과 같다.

 판별식 
이차 수체 의 판별식은 다음과 같다.

이는 인 경우에는

이지만, 인 경우에는

이기 때문이다.

사실, 판별식이 인 이차 수체 의 대수적 정수환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 제곱수가 아닌 에 대하여, 는 이차 수체  속의, 판별식  정환()을 이룬다. 반대로, 이차 수체 속의, 판별식이 인 정환은 이것 밖에 없다.

 소수의 분기화 
체의 확대 에서, 유리 소수 는 확대에 따라서 다음과 같은 분기화를 보인다.
 만약 크로네커 기호 이라면, 는 에서 여전히 소 아이디얼이다.
 만약 크로네커 기호 이라면, 는 에서 두 개의 서로 다른 소 아이디얼의 곱이다.
 만약 라면, 는 의 어떤 소 아이디얼의 제곱이다.

 유수 
이차 수체의 유수는 매우 불규칙하다.

 실수 이차 수체 
유수가 인 실수 이차 수체 의 들의 목록은 다음과 같다.
 h  OEIS 번호  d 1   2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, … 2   10, 15, 26, 30, 34, 35, 39, 42, 51, 55, 58, 65, … 3   79, 142, 223, 229, 254, 257, 321, 326, 359, 443, … 4   82, 130, 145, 170, 195, 210, 219, 231, 255, 274, … 5   401, 439, 499, 727, 817, 982, 1093, 1126, 1327, …

 허수 이차 수체 
유수가 인 허수 이차 수체 의 들의 목록은 다음과 같다. 작은 에 대하여 이 목록은 유한하며, 특히 인 경우를 헤그너 수라고 한다.
 h  OEIS 번호  d 1   1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 2   5, 6, 10, 13, 15, 22, 35, 37, 51, 58, 91, 115, 123, 187, 235, 267, 403, 427 3   23, 31, 59, 83, 107, 139, 211, 283, 307, 331, 379, 499, 547, 643, 883, 907 4   14, 17, 21, 30, 33, 34, 39, 42, 46, 55, 57, 70, 73, 78, 82, 85, 93, 97, 102, 130, 133, 142, 155, 177, 190, 193, 195, 203, 219, 253, 259, 291, 323, 355, 435, 483, 555, 595, 627, 667, 715, 723, 763, 795, 955, 1003, 1027, 1227, 1243, 1387, 1411, 1435, 1507, 1555 5   47, 79, 103, 127, 131, 179, 227, 347, 443, 523, 571, 619, 683, 691, 739, 787, 947, 1051, 1123, 1723, 1747, 1867, 2203, 2347, 2683 6   26, 29, 38, 53, 61, 87, 106, 109, 118, 157, 202, 214, 247, 262, 277, 298, 339, 358, 397, 411, 451, 515, 707, 771, 835, 843, 1059, 1099, 1147, 1203, 1219, 1267, 1315, 1347, 1363, 1563, 1603, 1843, 1915, 1963, 2227, 2283, 2443, 2515, 2563, 2787

 각주 

 외부 링크 

 같이 보기 
 삼차 수체
 원분체
 이차 유수 상수

분류:대수적 수론
분류:체론