베주 정리

대수기하학에서 베주 정리(Bézout定理, )는 두 평면 대수 곡선의 교차수는 그 두 곡선의 차수들의 곱과 같다는 정리이다.

 정의 
가 대수적으로 닫힌 체라고 하고, 와 가 에 대한 2차원 사영 공간 속에 존재하는, 서로 다른 기약(irreducible) 대수 곡선이라고 하자. 그렇다면 와 의 중복도를 고려한 교차수는 의 차수와 의 차수의 곱과 같다.

보다 일반적으로, 이 개의 변수를 가지는 동차다항식이라고 하자. 그렇다면 은 차원 사영 공간 속의 차원 초곡면을 정의한다. 이들의 (중복도를 고려한) 교차수는 들의 차수의 곱과 같다.

 증명 
x, y에 관한 방정식을 동차좌표로 쓰자.

ai와 bi는 x와 y에 대해 차수가 i인 동차다항식이다.

x와 y의 교차점은 연립 방정식의 해에 대응된다. 실베스터 행렬(Sylvester matrix)로부터 m=4와 n=3인 경우,

2차 다항식의 종결식으로 불리는 의 행렬식 는 Z에서 공통해를 가질 때 0이다. 의 항들의 차수는 항상 이다. 그래서 는 x와 y에 대해 차수가 mn인 동차다항식이다. 대수학의 기본 정리에 의해, |S|는 많아야 mn개의 선형 인자로 인수분해 될 수 있다. 따라서 최대 개의 해를 갖는다.

 예 
 1차 대수 곡선은 직선이다. 따라서, 두 직선의 교차수는 1이다. 만약 두 직선이 평행하다면, 이 교차점은 사영 공간에서 무한대에 위치한 점이다. 예를 들면, 사영 공간에서, x+2y=3과 x+2y=5를 동차다항식으로 표현하면, x+2y-3z=0과 x+2y-5z=0이 된다. 이를 풀면, x=-2y와 z=0을 얻게되고, 동차좌표인 (-2:1:0)을 얻게된다. z좌표가 0이므로 이 점은 무한대에 위치한 점이다.

 n차 곡선과 직선의 교차수는 이다. 이 특별한 경우는 n차 곡선이 대수학의 기본 정리를 따르기 때문이다. 예를 들어, y=x²인 차수가 2인 포물선과, y=ax인 차수가 1인 직선은 a≠0일 때 정확히 두 점에서 만나고, a=0일 때 중복도가 2인 원점에서 만난다.

 2차 대수 곡선은 원뿔 곡선이다. 따라서, 두 원뿔 곡선의 교차수는 4이다. 여기서, 일부 교차점은 중복도가 2 이상일 수 있다.

 역사 
아이작 뉴턴이 《프린키피아》 1권 6부 보조정리 28을 증명하는 과정에서 사실상 증명하였다. 에티엔 베주가 1779년 출판한 《대수방정식론》()에서 재발견하였다.

 외부 링크 



분류:대수기하학 정리
분류:평면기하학 정리
분류:결합기하학