분해체

대수적 수론에서, 주어진 다항식의 분해체(分解體, )는 그 다항식을 완전히 인수 분해할 수 있는 체의 확대 중 가장 작은 것이다.

 정의 
가 체라고 하고, 가 하나의 변수에 대한 차 다항식이라고 하자. 그렇다면 의 에 대한 분해체 는 다음을 만족시키는 의 확대이다.
 다항식 가 로 완전 인수 분해된다.
 은 위 성질은 만족시키는 체의 확대 가운데 그 차수가 가장 작다.
이 성질은 만족시키는 체의 확대는 (동형인 것을 제외하면) 유일함을 보일 수 있다.

 구성 
체  및 기약 다항식 에 대하여, 다음과 같은 체의 확대 가 존재한다.

여기서 는 에 의해 생성되는 의 소 아이디얼이다. 는 주 아이디얼 정역이고, 주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이며, 극대 아이디얼에 대한 몫환은 체를 이루므로, 이 체임을 알 수 있다. 또한, 은 의 근이므로, 는 에서 하나 이상의 근을 가지며, 은 의 -기저를 이룬다. 그러나 는 의 분해체가 아닐 수 있다.

이제, 체 에 대한, 차 다항식 의 분해체 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 의 기약 인자 를 고른다.



이는 의 선택에 (체의 확대의 동형을 무시하면) 관계없음을 보일 수 있다.

 예 
복소수체 는 실수체 에 대하여 기약 다항식 의 분해체다. 즉,

이다.

유리수체 에 대하여 기약 다항식 의 분해체는

이다.

 같이 보기 
 최소 다항식
 정규 확대
 갈루아 확대

 외부 링크 



분류:체론