균등 수렴

해석학 및 일반위상수학에서 균등 수렴(均等收斂, ) 또는 고른 수렴 또는 평등 수렴(平等收斂) 또는 일양 수렴(一樣收斂)은 함수열이 모든 점에서 “동일한 속도”로 주어진 함수로 수렴하는 성질이다. 점별 수렴보다 더 강한 개념이며, 점별 수렴이 보존하지 않는 여러 성질을 보존한다. 예를 들어, 연속 함수의 열의 균등 극한은 연속 함수다.

 정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 집합 
 균등 공간 
 함수의 그물 
 함수 
만약 이들이 다음 조건을 만족시킨다면, 이 로 균등 수렴한다고 하며, 를 의 균등 극한이라고 한다.
 임의의 측근 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 이 존재한다.
 임의의  및 에 대하여, 
이는 흔히

라고 쓴다. 예를 들어, 만약 가 실수선이며, 함수의 그물 이 실수 값 함수의 열이라면, 이 조건은 다음과 같다.
 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 이 존재한다.
 임의의  및 에 대하여, 

사실, 균등 수렴은 함수 집합 의 균등 수렴 위상에서의 수렴이다. 특히, 인 경우, 균등 수렴은  위에 균등 거리 함수

로부터 유도되는 위상에 대한 수렴이다.

 성질 
 함의 관계 
집합 를 정의역으로 하고 균등 공간 를 공역으로 하는 함수의 그물 이 함수 로 균등 수렴한다면, 은 로 점별 수렴한다.

집합 를 정의역으로 하고 아벨 위상군 를 공역으로 하는 함수열 의 급수 이 균등 수렴한다면, 는 상수 함수 로 균등 수렴한다.

집합 를 정의역으로 하고 완비 균등 공간 를 공역으로 하는 함수의 그물 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.
 은 균등 수렴한다.
 은 (의 균등 수렴 균등 구조에 대하여) 코시 그물이다. 즉, 임의의 측근 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 이 존재한다.
 임의의  및 에 대하여, 
(표준적인 균등 구조를 갖춘) 실수선 은 완비 균등 공간이다. 또한, 함수의 열 은 그물의 특수한 경우다. 이 경우, 코시 그물 조건은 다음과 같다.
 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 이 존재한다.
 임의의  및 에 대하여, 
만약 의 완비성을 가정하지 않는다면, 균등 수렴하는 함수 그물은 코시 그물이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 가 한원소 집합인 경우를 생각할 수 있다.

균등 수렴을 위한 다양한 수렴 판정법이 존재한다.
 바이어슈트라스 M-판정법
 균등 수렴에 대한 디리클레 판정법
 균등 수렴에 대한 아벨 판정법

 연속 함수의 보존 
위상 공간 를 정의역으로 하고 균등 공간 를 공역으로 하는 연속 함수의 그물 이 함수 로 균등 수렴한다면,  역시 연속 함수다.

임의의  및 임의의 측근 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 을 찾아야 한다.
 임의의 에 대하여, 
다음을 만족시키는 측근 을 고르자.

가정에 따라, 다음을 만족시키는 이 존재한다.
 임의의  및 에 대하여, 
은 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 이 존재한다.
 임의의 에 대하여, 
이에 따라, 임의의 에 대하여,

이므로

이다.

반대로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 콤팩트 공간 
 연속 함수의 단조 그물 . 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
 (연속 함수의 그물) 모든 은 연속 함수다.
 (단조 그물) 임의의  및 에 대하여, 
 연속 함수 
디니 정리에 따르면, 만약 이 로 점별 수렴한다면, 은 로 균등 수렴한다. 이는 가 콤팩트 공간이라고 가정하지 않으면 참이 아니다. 예를 들어, 연속 함수의 단조열  ()은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 단조 그물의 가정 역시 필수적이다. 예를 들어, 연속 함수의 열 은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다.

임의의 양의 실수 가 주어졌다고 하자. 임의의 에 대하여,

라고 정의하자. 은 콤팩트 공간 의 닫힌집합이며, 따라서 콤팩트 집합이다. 임의의 에 대하여,

이므로, 이다. 따라서 은 하향 집합을 이룬다. 임의의 에 대하여, 이 로 수렴하므로, 인 이 존재한다. 즉, 이다. 칸토어 교점 정리에 따라, 인 이 존재한다. 하향성에 따라, 임의의 에 대하여 이다. 즉, 은 로 균등 수렴한다.

 적분과의 호환 
리만 적분 가능 함수의 열 이 함수 로 균등 수렴한다면,  역시 리만 적분 가능 함수이며, 또한

이다.

 미분과의 호환 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 미분 가능 함수의 열 
 함수 
또한, 이들이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 이 존재하는 가 존재한다.
 은 로 균등 수렴한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
 은 어떤 미분 가능 함수 로 균등 수렴한다.


 정칙 함수의 보존 
복소평면의 열린집합 를 정의역으로 하는 복소수 값 정칙 함수의 열 이 함수 로 균등 수렴한다면, 는 정칙 함수다. 이는 모레라 정리의 따름정리다.

 예 
함수열

을 생각하자. 만약

라면, 은 0으로 균등 수렴한다. 반면, 만약

라면, 은 함수

로 점별 수렴하지만, 균등 수렴하지 않는다.

 참고 문헌 


 외부 링크 



분류:해석학 (수학)
분류:일반위상수학
분류:급수
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