호프 대수

수학에서 호프 대수()는 곱셈과 쌍대곱셈()이 정의되고, 두 구조가 앤티포드()라는 연산을 통해 호환되는 결합 대수이다.

 정의 
R가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. R계수를 가진 호프 대수 H는 다음과 같은 구조를 갖춘다.
 (곱셈 ) 
 (단위원 ) 
 (쌍대곱셈 ) 
 (쌍대단위원 ) 
 (앤티포드 ) 
이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다. (, )
 는 에 대한 가군이고,  모두 R-선형 변환이다.
 는 결합법칙을 만족시키고, 단위원을 갖춘 대수다. 즉,
 (결합법칙) 
 (단위원의 존재) 
 은 쌍대결합법칙을 만족시키고, 쌍대단위원을 갖춘 쌍대대수다. 즉,
 (쌍대결합법칙) 
 (쌍대단위원의 존재) 
 대수 구조와 쌍대대수 구조가 서로 호환돼, H는 이중대수()를 이룬다. 즉,
 (곱셈과 쌍대곱셈의 호환성) . 여기서 이다.
 (곱셈과 쌍대단위원의 호환성) 
 (쌍대곱셈과 단위원의 호환성) 
 (단위원과 쌍대단위원의 호환성) 
 (앤티포드) 

마지막 공리는 다음과 같은 가환 그림()으로 나타낼 수 있다.
250px

 역사와 어원 
하인츠 호프의 이름을 땄다.
 예 
   조건  쌍대곱  쌍대단위원  앤티포드 군대수    는 임의의 군   Δ(g) = g ⊗ g  ε(g) = 1 S(g) = g−1 텐서 대수 T(V)  V는 임의의 벡터 공간  Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (x ∈ V) ε(x) = 0   S(x) = −x (x ∈ V) 보편 포락 대수   는 리 대수  Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (x ∈ )  ε(x) = 0  S(x) = −x

 응용 
호프 대수의 개념은 이론물리학에서 특수한 대칭을 묘사하기 위하여 사용된다.

 역사 
호프 대수의 개념은 하인츠 호프가 1941년에 콤팩트 리 군의 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다.

 각주 

 같이 보기 
 양자군

 외부 링크 



분류:대수
분류:수학적 구조