영 타블로

조합론과 표현론에서, 영 타블로(, 복수 )는 대칭군과 일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 군 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다.

 정의 
페러스 그림()은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈수록 그 길이들이 같거나 더 짧다.
섬네일|center|페러스 그림의 예. 열의 길이는 5, 4, 1이다.

영 타블로()는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다.
섬네일|center|영 타블로의 예.

표준 영 타블로()는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.
 각 행에서 오른쪽으로 갈수록 숫자가 항상 증가한다.
 각 열에서 밑으로 갈수록 숫자가 항상 증가한다.
준표준 영 타블로()는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.
 각 행에서 오른쪽으로 갈수록 숫자가 항상 감소하지 않는다.
 각 열에서 밑으로 갈수록 숫자가 항상 증가한다.

주어진 페러스 그림에서, 번째 칸의 고리 길이() 는  또는 인 칸 들 (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들, 주어진 칸 자체도 포함) 의 개수이다.
섬네일|center|페러스 그림의 각 칸의 고리 길이들

 표현론에서의 응용 
 대칭군 
대칭군 의 복소수 기약 표현은 총 개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다.
 각 칸의 숫자는  가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다.
이 경우,  기약 표현의 차원은 다음과 같다.

예를 들어, 의 기약 표현들은 다음과 같다.
 페러스 그림  고리 길이  S4 표현 차원 □□□□  4321  1 □□□□  4211  3 □□□□  3221  2 □□□□  4121  3 □□□□  4321  1

 선형군과 유니터리 군 
일반선형군 의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.
 각 열의 길이는  이하다.
이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다.
 각 칸의 숫자는  가운데 하나다.
이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다.

특수선형군 의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.
 각 열의 길이는  미만이다.
주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다.

특수 유니터리 군 의 복소화는 특수선형군 이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소수 기약 표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다.
 페러스 그림  고리 길이  SU(n) 표현 차원 ·  ·  1 □  1   □□   21   □□   21   □□□  321   □□□  311   □□□  321  
이들 표현들은 N차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 N차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면
 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다.
 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다.
예를 들어,
i⃞ j⃞ k⃞l⃞ m⃞
의 꼴의 영 타블로는

꼴의 텐서에 대응한다. 이는

의 꼴의 (반)대칭성을 가진다.

 직교군 
의 경우, 을 사용해 표현을 분류할 수 있다. 이 경우, 의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.
 각 열의 길이가 
만약 이 짝수이고, 길이가 인 열이 존재한다면, 같은 영 타블로에 두 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대(, SD) 및 반자기쌍대(, ASD)로 일컬어진다.

주어진 페러스 그림에 대응하는  텐서 표현의 차원은 다음과 같다. 번째 열의 길이를 , 번째 행의 길이를 라고 하자 (). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 내용 함수()을 정의하자.

그렇다면  텐서 표현의 차원은 다음과 같다.

만약 이 짝수이며 길이가 인 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 위 공식의 ½이다.

영 타블로의 각 칸은 차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우
 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 한 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다.
 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다.
예를 들어,
i⃞ j⃞ k⃞l⃞ m⃞
의 꼴의 영 타블로는

꼴의 텐서에 대응하며,

꼴의 (반)대칭성을 가진다.

의 경우, 과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 감마 행렬 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기된다. 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자.
 페러스 그림   고리 길이  내용  SO(n) 표현 차원  페러스 그림  Spin(n) 표현 차원 () ·  ·  ·  1  · (s)   □  1  +0     □ (s)   □□   21  +2 −1    □□ (s)   □□   21  +0−1    □ (s)□   □□□  321  +4 −1 +0    □□□ (s)   □□□  311  +2 −2+0   □□ (s)□   □□□  321  +0−1−2   □ (s)□□  

예를 들어, 의 기약 표현들은  영 타블로 또는  영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
 스핀  0  ½  1  1½  2  2½  3  3½ 차원 1  2  3  4  5  6  7  8 SU(2) 영 타블로 ·  □  □□  □□□  □□□□  □□□□□   □□□□□□  □□□□□□□□ SO(3) 영 타블로 ·  · (s)  □  □ (s)  □□  □□ (s)  □□□  □□□ (s)

마찬가지로, 의 기약 표현들은  영 타블로 또는  영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
 차원  1  4    6  10   SU(4) 영 타블로 ·  □  □□□  □□  □□  □□□□□□ SO(6) 영 타블로 ·  · (s)  · ()  □   □ (SD)□□  □ (ASD)□□
마찬가지로, 의 기약 표현들은 다음과 같다.
 스핀  (0, 0)  (½, 0)  (0, ½)  (½, ½)  (1, 0)  (0, 1)  (1, ½)  (½, 1)  (1½, 0)  (0, 1½)  (1, 1)  (1½, ½)  (½, 1½)  (2, 0)  (0, 2) SU(2) 영 타블로 (·, ·)  (□, ·)  (·, □)  (□, □)  (□□, ·)  (·, □□)  (□□, □)  (□, □□)  (□□□, ·)  (·, □□□)  (□□, □□)  (□□□, □)  (□, □□□)  (□□□□, ·)  (·, □□□□) SO(4) 영 타블로 ·  s    □  □ (SD)□  □ (ASD)□  □ (s)  □ ()  □ (s)□  □ ()□  □□ □□ (SD)  □  □□ (ASD)  □  □□ (SD)  □□  □□ (ASD)  □□

 심플렉틱 군 
짝수 에 대하여, 의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다. 이 경우

을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. 이 경우, 의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.
 각 열의 길이가  이하이다.
이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는  표현의 차원은 다음과 같다. 페러스 그림 의 행의 길이가 이며, 열의 길이가 라고 하자. 우선, 다음과 같은 내용 함수()를 정의하자.

그렇다면  표현의 차원은 다음과 같다.

영 타블로의 각 칸은 차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우
 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다.
 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, 에 의한 축약이 모두 0이다.
예를 들어,
i⃞ j⃞ k⃞l⃞ m⃞
의 꼴의 영 타블로는

꼴의 텐서에 대응하며,

꼴의 (반)대칭성을 가진다.

 페러스 그림  고리 길이  내용  USp(n) 표현 차원 ·  1 □  1  0   □□   21  +0 +1   □□   21  −2+1  □□□  321  +0 +1 +2   □□□  311  −2 +0+2    □□□  321  −4+0+1  

예를 들어, 의 표현들은 다음과 같다.
 차원 1  4  5  10  14  16 SO(5) 영 타블로 ·   · (s)  □  □□  □□  □ (s) USp(4) 영 타블로 ·  □  □□  □□ □□□□  □□□

 역사 
영국의 수학자 앨프리드 영()이 1900년에 도입하였다.

 참고 문헌 






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분류:표현론
분류:대칭함수