베로네세 매장

대수기하학에서 베로네세 매장(Veronese埋藏, )은 사영 공간을 모든 가능한 동차 단항식을 통하여 더 높은 차원의 사영 공간에 매장하는 방법이다.

 정의 
임의의 자연수 등급 가환환

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 정수 에 대하여 자연수 등급 가환환

을 정의할 수 있다. 베로네세 동형 사상은 다음과 같은 스킴의 동형 사상이다.

여기서 는 사영 스펙트럼이다. 특히, 만약 가  및 만으로 생성된다고 하고, 의 -가군으로서의 임의의 생성원 집합을 라고 하자. 그렇다면, 몫 환 준동형

이 존재하며, 이를 통하여 닫힌 몰입

이 존재한다. 이를 베로네세 매장이라고 한다.

 사영 공간의 경우 
가환환 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사영 공간 을 생각할 수 있다. 임의의 양의 정수 에 대하여,

이다. 이러한 단항식의 수는

이다. 는 이 다항식만으로 생성되므로, 이는 닫힌 몰입

을 정의한다. 이를 베로네세 매장()라고 한다.

 예 
 자명한 베로네세 사상 
차수 가 0일 경우, 베로네세 사상 는 상수 함수이며, 일 경우 베로네세 사상 은 항등 함수이다.

 유리 정규 곡선 
섬네일|오른쪽|뒤틀린 3차 곡선. 3차원 아핀 공간의 좌표를 로 잡으면, 푸른 곡면은 으로 정의되는 곡면이며, 붉은 곡면은 으로 정의되는 곡면이다. 뒤틀란 3차 곡선은 이 두 곡면의 교집합이다.
일 영우, 베로네세 사상

은 차원 사영 공간 속의 차 유리 곡선을 정의하며, 이를 유리 정규 곡선(有理正規曲線, )이라고 한다. 낮은 차수의 경우 이는 다음과 같다.
 인 경우 이는 항등 함수이다.
 인 경우, 라고 놓으면, 가 된다. 이는 사영 평면 속의 원뿔 곡선을 정의한다.
 인 경우, 라고 놓으면, 이며, 이는 뒤틀린 3차 곡선()이라고 한다. 이는 (아이디얼의) 완전 교차가 아닌 가장 간단한 대수다양체이다. 즉, 이를 정의하는 데 3개의 기약 동차다항식이 필요하며, 3개 가운데 하나를 생략하면 새 점들이 추가된다.
여기서 "정규"는 정규 스킴과는 상관없는 구식 용어이며, 매장을 정의하는 인자 선형계가 완비 선형계임을 뜻한다.

 베로네세 곡면 
사영 평면 를 5차원 사영 공간 에 매장한 것을 베로네세 곡면(Veronese曲面, )이라고 한다.

베로네세 곡면에서, 임의의 5개의 점을 고르자. 그렇다면, 5차원 사영 공간 속에서 이 5개의 점을 지나는 (여차원 1의) 유일한 초평면이 존재한다. 이 초평면을 정의하는, 에 대한 1차 동차다항식은 에 대한 2차 동차다항식을 이루며, 따라서 원래 사영 평면에서의 원뿔 곡선을 이루며, 이 원뿔 곡선은 베로네세 곡면의 5개의 점들을 지나간다. 즉, 이를 통해 평면에서 5개의 점은 (일반적으로) 유일한 원뿔 곡선을 결정함을 알 수 있다.

 역사 
이탈리아의 수학자 주세페 베로네세의 이름을 땄다.

 참고 문헌 


 외부 링크 




분류:대수기하학
분류:복소곡면
분류:대수곡면