삼각 적분 함수

삼각 적분 함수()은 삼각 함수의 변형의 적분들을 묶어서 말하는 것이다. 일반적인 삼각 함수의 적분은 적분표에서 볼 수 있으나 약간만 변형해도 비초등함수가 됨이 알려져 있다.

 사인 적분 함수 
섬네일|오른쪽|0 ≤ x ≤ 8π에 대한 Si(x)의 그래프
여러 다른 사인 적분 함수의 정의에는 다음이 있다.

 은의 에서 시작하는 정적분이며, 은 의 에서 끝나는 정적분이다.

여기서 는 싱크 함수혹은 0번째 구면 베셀 함수이다.

이면 디리클레 적분이 된다.

 코사인 적분 함수 
섬네일|오른쪽|0 < x ≤ 8π에 대한 Ci(x)의 그래프.
여러 다른 코사인 적분 함수의 정의에는 다음이 있다.

은 에서 끝나는 의 정적분이다.
다음이 성립한다.

 쌍곡사인 적분 함수 
쌍곡사인 적분 함수는 다음과 같이 정의된다.

그리고 이 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

 쌍곡코사인 적분 함수 
쌍곡 코사인 적분함수는 다음과 같이 정의된다.

여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다.

 전개 
삼각 적분 함수의 계산을 위해 다양한 전개가 사용된다.

 점근 전개(asymptotic expansion) 

이 급수는 점근 전개(asymptotic expansion)이고 발산한다. 하지만 인 경우에도 근사값을 구하는데 이용할 수 있다.

 수렴 급수 

이 급수는 모든 복소수 에 대해 수렴하며,  이어도 점점 느리게 수렴하지만 고정밀도의 계산을 하려면 많은 항이 필요하다.

 지수 적분 함수의 허수부와 관계 
아래의 함수는 지수 적분 함수라고 불리며


Si 와 Ci와 관련이 있다.:

x에 음수를 넣지 않는한, 두 함수는 해석적이다. 유효한 구간의 면적은 x의 실수부가 양수인  구간으로 확장할 수 있다. 이 범위를 벗어나면, 의 정수배 항이 등장한다.

일반화된 지수 적분 함수에 허수를 대입했을 때는 다음과 같다.



이것은 아래 식의 실수부이다.



비슷하게



 같이 보기 
 지수 적분 함수
 로그 적분 함수

 신호 처리 
 Gibbs phenomenon
 Ringing artifacts

 각주 




 , Appendix B.
 Sine Integral Taylor series proof. 

분류:특수 함수
분류:적분
분류:특수 초기하함수