하이포사이클로이드

기하학에서 하이포사이클로이드(hypocycloid)는 큰 원 안에서 작은 원을 굴렸을 때 작은 원 위의 정점이 그리는 궤적을 말한다. 직선 위에서 원을 굴렸을 때 얻어지는 사이클로이드와 비교된다.

 성질 

작은 원의 반지름이 r, 큰 원의 반지름이 R = kr일 때, 매개 방정식을 써서 다음과 같이 표현할 수 있다.

또는 다음과 같이 쓸 수 있다:

k가 정수이면, 곡선은 닫힌 곡선이 되며, k 개의 뾰족점을 가진다. 특수한 경우로 k=2일 때, 곡선은 직선 모양이 되며, 이 때 카르디노 원이라 한다.

k가 유리수인 경우, k = p/q 꼴로 단순화시킬수 있다면, p 개의 뾰족점을 가진다.

k가 무리수이면, 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 R − 2r인 원 사이의 공간을 모두 채운다.

각각의 반지름이 r인 하이포 사이클로이드 곡선은 반지름이 R인 원 안에서 중력퍼텐셜에 대한 최속강하곡선이다.

 예 

 군 이론과의 관계 
정수 값 k를 가진 하이포사이클로이드, 즉 k개의 뾰족점을 가진 하이포사이클로이드는 k+1개의 뾰족점을 가진 다른 하이포사이클로이드 안에서 꼭 맞게 움직일 수 있으며, 이때 작은 하이포사이클로이드의 점들은 항상 큰 것과 접촉한다. 이 움직임은 ‘굴림’처럼 보이지만, 미끄러짐이 포함되기 때문에 고전역학적 의미에서의 정확한 굴림은 아니다.

하이포사이클로이드의 형태는 특수 유니터리 군인 SU(k)와 관련될 수 있는데, 이는 행렬식이 1인  k x k  유니터리 행렬로 구성된다. 예를 들어, SU(3)에 속하는 행렬의 대각선 성분 합으로 가능한 값들은 복소평면에서 세 개의 뾰족점을 가진 하이포사이클로이드(델토이드) 내부의 점들에 정확히 해당한다. 마찬가지로, SU(4) 행렬의 대각선 성분 합은 아스트로이드 내부의 점들을 제공한다. 이러한 방식으로 계속된다.

이 결과를 통해, SU(k)가 SU(k+1)의 부분군으로 포함된다는 사실을 이용하여, k개의 뾰족점을 가진 에피사이클로이드가 k+1개의 뾰족점을 가진 것 안에서 꼭 맞게 움직인다는 것을 증명할 수 있다.

 유도 곡선 
하이포사이클로이드의 축폐선은 하이포사이클로이드 자체의 확대된 버전이며, 하이포사이클로이드의 신개선은 하이포사이클로이드의 축소된 복사본이다.

하이포사이클로이드의 중심을 극점으로 하는 페달 곡선은 장미곡선이다.

하이포사이클로이드의 이소프틱 곡선도 하이포사이클로이드이다.

 대중 문화 속의 하이포사이클로이드 
하이포사이클로이드와 유사한 곡선들은 스피로그래프 장난감을 이용하여 그릴 수 있다. 특히, 스파이로그래프는 히포트로코이드와 에피트로코이드를 그릴 수 있다.

Steelmark를 기반으로 한 피츠버그 스틸러스의 로고는 세 개의 아스트로이드(네 개의 뾰족점을 가진 하이포사이클로이드)를 포함하고 있다. NFL.com의 주간 칼럼 "Tuesday Morning Quarterback"에서 Gregg Easterbrook은 종종 스틸러스를 "하이포사이클로이드"라고 부른다. 칠레의 축구 팀 CD 후아치파토는 스틸러스의 로고를 기반으로 그들의 문장을 디자인했으며, 그 결과 하이포사이클로이드를 포함하고 있다.

Drew Carey가 처음 진행한 시즌의 “The Price Is Right” 세트는 세 개의 주요 문, 거대한 가격표, 그리고 턴테이블 영역에 아스트로이드를 특징으로 한다. 2008년부터 방송이 고화질로 전환되면서 문과 턴테이블의 아스트로이드는 제거되었고, 현재는 거대한 가격표 소품에만 남아 있다.

 같이 보기 
 에피사이클로이드

 외부 링크 





분류:곡선