기본 표현

리 군의 표현론에서 기본 표현(基本表現, )은 그 우세 무게가 다른 모든 우세 무게들의 집합의 기저를 이루는 표현이다. 주어진 군의 임의의 표현은 기본 표현들의 조합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

 성질 
모든 표현은 일련의 무게들로 나타낼 수 있다. 계수(, 카르탕 부분 대수의 차원)가 인 반단순 리 대수의 표현은 개의 무게를 가진다. 즉, 무게들은 차원 실수 벡터 공간의 원소다. 여기에 임의로 정분면()을 골라, 순서를 매길 수 있다. 그 가운데, 선택한 양근에 의하여 결정되는 단순 쌍대근의 쌍대 기저를 기본 무게(基本-, )고 한다. 기본 무게를 우세 무게로 가지는 표현을 기본 표현이라고 한다. 이에 따라 임의의 표현은 기본 표현들의 텐서곱의 최고 무게 성분으로 나타낼 수 있다. 기본 표현은 무게 공간의 기저를 이루므로, 기본 표현의 개수는 리 군의 계수와 같다.

 단순 리 군의 기본 표현 
 An = SU(n+1) (또는 그 복소화인 )의 경우, 기본 표현은 차 완전 반대칭 텐서  ()이다. 이 경우, 기본 무게는 ,  …, 의 꼴이다.
 Bn = Spin(2n+1)의 경우, 기본 표현은 차원 디랙 스피너와  ()이다. 이 경우, 기본 무게는  (스피너)와 , …, 이다. (물론 이므로 기본 표현이 아니다.)
 Cn = USp(2n)의 경우, 기본 표현은  ()의 최고 무게 기약 성분이다. 이는  ()차원이다. 물론 인 경우는 그냥 차원이다.
 Dn = Spin(2n)의 경우, 기본 표현은 차원 바일 스피너 두 개와  ()이다. 이 경우, 기본 무게는 와 , …, 이다.
 F4의 경우, 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현이다. 여기서 52차원 표현은 딸림표현이다.
 G2의 경우, 기본 표현은 7차원 표현과 14차원 표현이다. 여기서 14차원 표현은 딸림표현이다.
 E6의 경우, 기본 표현은 27, 27′, 78, 351, 351′, 2925차원 표현이다. 여기서 78차원 표현은 딸림표현이다.
 E7의 경우, 기본 표현은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750차원 표현이다. 여기서 133차원 표현은 딸림표현이다.
 E8의 경우, 기본 표현은 각각 248, 3875, 30380, 147250, 2450240, 6696000, 146325270, 6899079264차원 표현이다. 여기서 248차원 표현은 딸림표현이다.

 같이 보기 
 무게 (표현론)

분류:리 군
분류:표현론