추측

수학에서 추측(推測, )은 참으로 여겨지지만 아직 증명되지 않은 명제를 말한다. 리만 가설이나 페르마의 추측(1995년 앤드루 와일스가 증명하여 현재는 정리가 됨)과 같은 명제들은 이를 증명하려는 시도 과정에서 새로운 수학 분야가 개척되는 등 수학사에 지대한 영향을 끼쳤다.

 추측의 해결 

 증명 
형식 수학은 '증명 가능한' 진리를 기반으로 한다. 수학에서는 어떤 추측을 지지하는 사례가 아무리 많더라도, 단 하나의 반례만으로도 그 추측이 거짓임이 입증될 수 있다. 따라서 지지 사례의 단순한 나열은 추측이 참임을 확증하는 데 불충분하다. 수학 저널들은 종종 기존보다 더 넓은 범위에서 반례를 탐색한 연구팀의 결과를 싣기도 한다. 예를 들어, 특정 정수 수열의 종료 여부를 묻는 콜라츠 추측은 1.2 × 1012(1조 2천억)까지의 모든 정수에 대해 성립함이 확인되었다. 그러나 이러한 광범위한 탐색 후에도 반례를 찾지 못했다는 사실이 추측의 증명이 될 수는 없다. 추측이 거짓이라 하더라도 그 최소 반례가 매우 큰 수일 가능성이 존재하기 때문이다.

그럼에도 불구하고 수학자들은 아직 증명되지 않은 추측이라도 강력한 증거가 뒷받침된다면 이를 받아들이기도 한다. 이러한 증거에는 추측이 참일 때 나타날 결과들을 미리 검증해보거나, 이미 알려진 결과들과 강력한 상호 연결성을 갖는 것 등이 포함된다.

추측은 거짓일 가능성이 논리적으로 불가능함을 보였을 때 비로소 증명된 것으로 간주된다. 여러 수학적 증명 기법을 이용해 추측을 증명하는 것이 가능하다.

반례가 될 수 있는 경우의 수가 유한할 때 적용 가능한 증명 방법 중 하나는 "무차별 대입(brute force)"이다. 이 접근법은 가능한 모든 경우를 검토하여 반례가 없음을 보인다. 경우의 수가 방대한 경우, 모든 경우의 수에 대한 증명을 위해 컴퓨터 알고리즘을 사용하여 모든 사례를 확인해야 할 수도 있다. 1976년과 1997년에 컴퓨터를 이용해 무차별 대입 증명으로 해결한 4색 정리는 처음에 그 타당성을 의심받았으나, 2005년 정리 증명 소프트웨어에 의해 결국 검증되었다.

추측이 증명되면 더 이상 추측이 아니라 정리가 된다. 기하화 정리(푸앵카레 추측을 해결함), 페르마의 마지막 정리 등 많은 중요한 정리들이 한때는 추측이었다.

 반증 
반례가 발견되어 거짓임이 증명된 추측은 때때로 '거짓 추측'이라 불린다(예: 오일러 거듭제곱 합 추측, 폴리야 추측). 오일러 추측의 경우, n=4일 때 발견된 첫 번째 반례는 수백만에 달하는 수였으나, 이후 그보다 작은 최소 반례가 발견되었다.

 독립적인 추측 
모든 추측이 참 또는 거짓으로 판명되는 것은 아니다. 특정 무한 집합의 상대적 크기를 확인하려는 연속체 가설은 집합론의 표준 공리계인 ZFC 공리계와 독립적임이 밝혀졌다. 따라서 이 명제나 그 부정 명제 중 어느 것을 새로운 공리로 채택하더라도 무모순인 체계를 만들 수 있다(이는 마치 유클리드의 평행선 공준을 참으로 가정하느냐 거짓으로 가정하느냐에 따라 서로 다른 기하학 체계가 성립하는 것과 유사하다).

이 경우, 만약 어떤 증명이 해당 명제를 사용한다면, 연구자들은 종종 그 가설을 가정하지 않는 새로운 증명을 찾고자 노력한다(마치 평행선 공준 없이 다른 기하학의 공리만으로 증명하려는 것과 같다). 다만 선택 공리는 예외적인데, 대다수의 연구자들은 선택 공리 자체를 연구하는 경우가 아니라면 자신의 연구 결과가 선택 공리를 필요로 하는지 여부를 크게 문제 삼지 않는다.

 조건부 증명 
어떤 추측이 다른 명제들을 증명하는 데 가정으로 빈번하게 사용될 때, 이를 흔히 '가설(hypothesis)'이라 부른다. 예를 들어 수론의 리만 가설은 소수의 분포 등을 예측하는 데 쓰인다. 리만 가설이 참이라는 점을 의심하는 수론 학자는 거의 없다. 실제로 리만 가설이 언젠가 증명될 것을 예상하고, 일부 수학자들은 이 추측이 참이라는 전제하에 성립하는 조건부 결과들을 증명해 왔다. 이를 조건부 증명이라고 하며, 이때 가정된 추측은 해당 정리의 전제 조건이 된다.

그러나 이러한 "증명"들은 가설이 거짓으로 밝혀지면 모두 무너기 때문에, 이런 유형의 추측에 대한 진위 검증은 수학계의 지대한 관심사이다.

 주요 예시 

 페르마의 마지막 정리 

수론에서 페르마의 마지막 정리(과거에는 페르마의 추측으로 불림)는 2보다 큰 정수 에 대하여 방정식 을 만족하는 세 양의 정수 , , 가 존재하지 않는다는 정리이다.

이 정리는 1637년 피에르 드 페르마가 아리스메티카의 여백에 처음 추측으로 남겼는데, 그는 "나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, 책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다."고 주장했다. 1994년 앤드루 와일스가 증명에 성공하고 1995년에 공식 출판함으로써 수학자들의 358년에 걸친 노력이 결실을 맺었다. 이 난제를 해결하는 과정은 19세기 대수적 수론의 발전과 20세기 모듈러성 정리의 증명을 촉진했다. 이는 수학의 역사에서 가장 주목할 만한 정리 중 하나이며, 증명되기 전에는 기네스 세계 기록에 "가장 어려운 수학 문제"로 등재되기도 했다.

 4색 정리 

섬네일|미국 주 지도(호수 제외)의 4색 채색 예시

수학에서 4색 정리는 평면을 인접한 구역들로 나누어 만든 도형인 '지도'를 칠할 때, 인접한 두 구역이 서로 다른 색을 갖도록 하는 데 4가지 색이면 충분하다는 정리이다. 여기서 두 구역이 '인접하다'는 것은 꼭짓점(세 개 이상의 구역이 만나는 점)이 아닌 경계선을 공유한다는 뜻이다. 예를 들어 미국 지도에서 유타주와 애리조나주는 인접해 있지만, 유타주와 뉴멕시코주는 애리조나 및 콜로라도와 함께 한 점만을 공유하므로 인접하지 않다.

뫼비우스는 1840년 강의에서 이 문제를 언급했다.W. W. Rouse Ball (1960) The Four Color Theorem, in Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, New York, pp 222-232. 구체적인 추측은 1852년 10월 23일Donald MacKenzie, Mechanizing Proof: Computing, Risk, and Trust (MIT Press, 2004) p103 프랜시스 구스리가 잉글랜드의 주 지도를 칠하려다 4가지 색만 있으면 된다는 사실을 발견하면서 처음 제안되었다. 5가지 색이면 충분하다는 5색 정리는 증명이 비교적 간단하여 19세기 후반에 증명되었으나, 4가지 색으로 충분함을 증명하는 것은 훨씬 난해했다. 1852년 첫 제안 이후 수많은 잘못된 증명과 반례들이 등장했다.

4색 정리는 1976년 케네스 아펠과 볼프강 하켄에 의해 결국 증명되었다. 이는 컴퓨터를 이용하여 증명된 최초의 주요 정리이다. 아펠과 하켄은 4색 정리에 대한 최소 크기의 반례가 존재한다면, 그 반례는 반드시 1,936개의 특정 지도 패턴 중 하나를 포함해야 함을 보였다. 그들은 컴퓨터 프로그램을 통해 이 패턴들이 포함된 지도는 4색으로 칠할 수 있음을 확인했다. 즉, 최소 반례가 존재한다면 이 패턴 중 하나를 포함해야 하므로 칠할 수 있어야 하는데, 이는 최소 반례가 존재하지 않음을 의미한다. 처음에 이 컴퓨터를 이용한 증명은 사람이 직접 검증할 수 없기 때문에 수학자들에게 즉각 받아들여지지 않았다. 이후에는 대부분 컴퓨터를 이용한 증명을 받아들였으나, 여전히 일부 의구심은 남아있다.

 주추측 (Hauptvermutung) 
기하학적 위상수학에서 주추측(Hauptvermutung)은 삼각화 가능 공간의 임의의 두 삼각화가 공통 세분(두 삼각화 모두의 세분이 되는 단일 삼각화)을 갖는다는 추측이다. 1908년 슈타이니츠와 티체가 처음 추측했다.

이 추측은 현재 거짓임이 밝혀졌다. 비다양체(non-manifold)에 대한 반례는 1961년 존 밀너가 라이데마이스터 비틀림을 사용하여 찾아냈다.

다양체의 경우, 차원이 일 때는 참이다. 인 경우는 각각 1920년대와 1950년대에 티보르 라도와 에드윈 E. 모이즈가 증명했다.

 베유 추측 

수학에서 베유 추측은 유한체 위에서의 대수적 다양체의 점의 개수로부터 유도된 생성함수(국소 제타 함수라 함)에 관하여 가 제안한, 수학계에 큰 영향을 미친 일련의 추측들이다.

q개의 원소를 가진 유한체 위의 다양체 V는 유한 개의 유리점을 가지며, 그 체를 포함하는 qk개의 원소를 가진 모든 확대체 위에서도 점들을 가진다. 생성 함수는 qk개의 원소를 가진 (본질적으로 유일한) 체 위에서의 점의 개수 Nk로부터 유도된 계수를 갖는다.

베유는 이러한 제타 함수들이 유리 함수여야 하고, 일종의 함수 방정식을 만족하며, 그 영점들이 제한된 위치에 있어야 한다고 추측했다. 마지막 두 성질은 리만 제타 함수와 리만 가설을 의식적으로 모델링한 것이다. 유리성은 에 의해, 함수 방정식은 에 의해 증명되었으며, 리만 가설의 유사체는 에 의해 증명되었다.

 푸앵카레 추측 

수학에서 푸앵카레 추측은 4차원 초구의 경계인 3차원 초구의 위상수학적 특징에 관한 정리이다. 이 추측은 다음과 같이 진술된다.

이와 동치인 다른 형태는 위상동형보다 느슨한 개념인 호모토피 동치를 사용한다. 즉, 3차원 다양체가 3차원 구면과 호모토피 동치라면, 그것은 반드시 3차원 구면과 위상동형이라는 것이다.

1904년 앙리 푸앵카레가 처음 제기한 이 추측은, 국소적으로는 일반적인 3차원 공간처럼 보이지만 연결되어 있고 크기가 유한하며 경계가 없는 공간(닫힌 3차원 다양체)에 관한 것이다. 푸앵카레 추측은 이러한 공간이 공간 내의 모든 고리를 한 점으로 연속적으로 수축시킬 수 있다는 성질(단일 연결)을 가진다면, 그 공간은 필연적으로 3차원 초구일 수밖에 없음을 주장한다. 더 높은 차원에 대한 비슷한 결과는 이미 알려져 있었다.

거의 한 세기에 걸친 노력 끝에, 그리고리 페렐만은 2002년과 2003년에 arXiv를 통해 이 추측의 증명을 제시했다. 이 증명은 리치 흐름을 사용하여 문제를 해결하려 했던 리처드 S. 해밀턴의 연구 프로그램을 계승한 것이다. 해밀턴은 '수술이 가미된 리치 흐름(Ricci flow with surgery)'을 도입하여 특이점이 발생할 때 이를 체계적으로 제거하려 했으나, 이 방법이 3차원에서 수렴함을 증명하지는 못했다. 페렐만은 이를 증명함으로써 푸앵카레 추측의 증명을 완성했고, 여러 수학자 팀이 페렐만의 증명의 올바름을 확인하였다.

푸앵카레 추측은 해결되기 전까지 위상수학에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나였다.

 리만 가설 

수학에서 이 제안한 리만 가설은 리만 제타 함수의 비자명 영점들의 실수부가 모두 1/2이라는 추측이다. 이 명칭은 유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설과 같이 밀접하게 관련된 유사체들에도 사용된다.

리만 가설은 소수의 분포에 대한 심오한 결과를 함의한다. 적절한 일반화와 함께, 많은 수학자들은 이를 순수 수학에서 가장 중요한 미해결 문제로 간주한다. 리만 가설은 골드바흐 추측과 함께 다비트 힐베르트가 제시한 23가지 미해결 문제 중 힐베르트의 8번째 문제에 포함되며, 클레이 수학연구소의 밀레니엄 문제 중 하나이기도 하다.

 P-NP 문제 

P-NP 문제는 컴퓨터 과학의 주요 미해결 문제이다. 알기 쉽게 설명하면, 답을 빠르게 검증할 수 있는 모든 문제가 답을 빠르게 구해낼 수도 있는 문제인지를 묻는 것이다. 학계에서는 대체로 '아니요'일 것이라 추측한다. 이 문제는 1956년 쿠르트 괴델이 존 폰 노이만에게 보낸 편지에서 처음 언급되었다. 괴델은 특정 NP-완전 문제가 이차 시간 또는 선형 시간 내에 해결될 수 있는지 물었다.Juris Hartmanis 1989, Gödel, von Neumann, and the P = NP problem, Bulletin of the
European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101–107 문제의 엄밀한 서술은 1971년 스티븐 쿡의 논문 "정리 증명 절차의 복잡성(The complexity of theorem proving procedures)"에서 이루어졌으며, 많은 이들이 이 분야의 가장 중요한 난제로 꼽는다.Lance Fortnow, The status of the P versus NP problem, Communications of the ACM 52 (2009), no. 9, pp. 78–86.  이는 클레이 수학연구소가 100만 달러의 상금을 걸고 선정한 7개의 밀레니엄 문제 중 하나이다.

 기타 추측 
 골드바흐 추측
 쌍둥이 소수 추측
 콜라츠 추측
 오일러 거듭제곱 합 추측: 18세기 오일러가 제안했으나 20세기 중반부터 여러 지수(n=4부터 시작)에 대한 반례가 발견되었다.
 하디-리틀우드 추측: 소수의 분포에 관한 한 쌍의 추측으로, 첫 번째는 앞서 언급한 쌍둥이 소수 추측을 확장한 것이다. 두 추측 모두 증명되거나 반증되지 않았으나, 두 추측이 동시에 참일 수는 없음이 증명되었다(즉, 적어도 하나는 거짓이어야 함). 어느 것이 거짓인지는 밝혀지지 않았으나, 널리 믿어지기로는 첫 번째 추측이 참이고 두 번째 추측이 거짓이라고 여겨진다.
 랭글랜즈 프로그램: 서로 다른 수학 분야(예: 수론과 리 군의 표현론)를 연결해 통일하는 거시적인 아이디어이다. 이 중 일부 추측은 증명되었다.

 다른 과학 분야에서 
칼 포퍼는 과학철학에서 "추측(conjecture)"이라는 용어를 선구적으로 사용했다. 추측은 가설과 관련이 깊은데, 과학에서 가설은 검증 가능한 추측을 의미한다.

 같이 보기 
 미래학
 수학의 미해결 문제 목록

 각주 

 인용 저작 

 외부 링크 

 Open Problem Garden
 Unsolved Problems web site


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