슈어 보조정리

슈어 보조정리()는 군 표현론에서 기약 표현 사이의 군의 작용과 가환하는 선형사상은 가역 사상이거나 0이라는 보조정리다.

 정의 
가 환이고, 과 이 에 대한 단순 가군이라고 하자. 그렇다면 가군 준동형 은 가역 사상이거나 상수 함수 0(영 사상)이다. 이 사실을 슈어 보조정리라고 한다.

 군에 대한 슈어 보조정리 
가 군이고, 가 벡터 공간이고, 가 군의 표현이라고 하자. 그렇다면 는 로 인하여 군환 에 대한 가군을 이룬다. 이 때, 가 단순 가군임과  가 기약 표현임은 필요충분조건이다. 따라서, 이 경우 슈어 보조정리에 따르면 두 기약 표현 사이, 군 작용과 가환하는 선형 변환 (가군 준동형 사상)은 가역 사상이거나 영 사상이다. 물론, 두 기약 표현의 차원이 같을 경우에만 가역 사상일 수 있다.

 응용 
슈어 보조정리는 군 표현론에서 다음과 같이 쓰인다. 체  위의 단위 결합 대수 가 주어졌다고 하고, -벡터 공간 가  위의 단순 가군이라고 하자. 그렇다면, 의 자기 사상환

을 생각할 수 있다. 슈어 보조정리에 따라서 는  위의 나눗셈환이다. 이 유한 차원 -벡터 공간이며, 가 비가산 대수적으로 닫힌 체 (예를 들어, 복소수체 )라면,  그 위의 나눗셈환은  자체밖에 없으며, 따라서 이다. 다시 말해, 의 모든 원소와 가환인  위의 선형 변환은 항등 함수의 스칼라배 밖에 없다.

특히, 가 복소수 리 대수  위의 보편 포락 대수라고 하고, 의 복소수 기약 표현 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 슈어 보조정리에 따라 의 카시미르 불변량 (보편 포락 대수의 중심) 는  위에 항등 함수의 스칼라배이다. 따라서, 복소수체 위의 리 대수의 기약 표현은 카시미르 불변량의 값으로 분류된다.

 역사 
이사이 슈어가 1905년 발표하였다.

 같이 보기 
 슈어 보수행렬
 각주 

 외부 링크 




분류:표현론
분류:보조정리