페어리 수열

수론에서, 차 페어리 수열()은 0과 1 사이의, 분모가  이하인 기약 분수들의 증가 수열이다.

 정의 
양의 정수 에 대하여, 차 페어리 수열() 은 다음과 같은 유리수들을 오름차순으로 나열한 수열이다.

페어리 수열은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

 이 주어졌을 때, 을 다음과 같이 구성한다. 먼저 의 모든 항을 에 추가한다. 이제 인 임의의 이웃하는 두 항 와  사이에 를 추가한다. (이 경우 는 이미 기약이다.)

 표 
처음 몇 페어리 수열은 다음과 같다.

 성질 
 길이 
페어리 수열의 길이는 다음과 같다.

왜냐하면 의 길이와 의 길이의 차는 분모가 인 기약 진분수의 개수이며, 이는 오일러 피 함수 과 같기 때문이다. 여분의 1은 이 진분수가 아닌 1/1을 포함시킨 데서 온다.

 이웃한 항 
페어리 수열 의 이웃한 두 항 와 에 대하여,

이다. 즉, 이웃하는 두 항의 차는 이다.

페어리 수열 의 연속된 세 항 에 대하여,

이다. 이 성질과 위 성질은 서로를 쉽게 유도한다.

식

에서 각각 와 를 소거하면

를 얻는다. 두 식을 나눈다.

페어리 수열 의 이웃한 두 항  및 그 사이의 유리수

에 대하여, 항상

이다.

페어리 수열 의 이웃한 두 항 의 중앙값

의 분모는 항상 보다 크다.

또한 중앙값 은 차 페어리 수열 에 처음 등장하며, 항상 두 항 사이에 있다.

 실수의 유리 근사 
가 임의의 실수라고 하자. 가 차 페어리 수열의 이웃하는 두 항이며 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

 (후르비츠 정리) 

 점근적 성질 
임의의 에 대하여,

이 차 페어리 수열이라고 하자. (.)

리만 가설은 다음 명제와 동치다.

또한 리만 가설은 다음 명제와도 동치다.

 역사 
1802년에 프랑스의 기하학자 샤를 아로()가 도입하였다. 이후 1816년에 영국의 지질학자 존 페리 1세()가 이 수열을 재발견하였고, 이에 대한 추측을 발표하였다. 이 추측은 곧 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.

 참고 문헌 

 외부 링크 






 같이 보기 
 하디-리틀우드 원 방법

분류:수론