호지 쌍대

미분기하학에서 호지 쌍대(Hodge雙對, )는 미분 형식을 그 여차원의 미분 형식으로 변환시키는 연산이다. 기호는 별표(). 호지 별표()로도 부른다.

 정의 
가 차원 유향 리만 다양체 또는 준 리만 다양체이고, 가 그 위에 정의된 차 미분 형식이라고 하자 (). 그렇다면, 준 리만 계량의 음악 동형을 통하여, 차 미분 형식을 차 완전 반대칭 텐서로 대응시킬 수 있다.

지표로 쓰면 이는 다음과 같다.

이제, 의 호지 쌍대는 다음과 같다.

여기서
 는 차 완전 반대칭 텐서와 차 미분 형식 사이의 내부곱이다.
 는 준 리만 계량 및 방향으로 정의되는 부피 형식이다.
지표로 쓰면,

이므로,

이다. 여기서 은 차원 레비치비타 기호이다.

 벡터 값 미분 형식의 호지 쌍대 
보다 일반적으로, 유향 준 리만 다양체  위의 벡터 다발 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 값의 차 미분 형식 에 대하여 마찬가지로 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

즉, 성분으로 쓰면 다음과 같다.

 성질 
 쌍대성 
가 차원 준 리만 다양체 위에 정의된 차 미분 형식이라고 하자. 그렇다면

이다. 특히, 만약 이 짝수라면, 이는 선형 변환

을 정의한다. 만약 인 경우, 가운데 차수 미분 형식은 자기 쌍대 미분 형식()

과 자기 반쌍대 미분 형식()

으로 분해된다.

만약 인 경우, 이는 가운데 차수 미분 형식의 실수 벡터 공간에 복소구조를 정의한다.

 내적 
이제, 다음과 같은 내적을 생각하자.

이는 물론 수렴하지 않을 수 있다. 그러나 부분 공간

위에서 이 연산은 잘 정의되며, 이에 대한 완비화를 취하면 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이를 로 표기하자. (인 경우 이는 르베그 공간 과 같다.) 이에 대하여 마찬가지로 쐐기곱을

로 정의할 수 있다.

그렇다면, 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.

즉, 이 경우 호지 쌍대 연산은 힐베르트 공간의 내적과 쐐기곱 사이의 변환이다.

 공미분 
미분 형식의 공미분() 는 미분 형식의 차수를 1 증가시키는 연산으로, 외미분 에 대응하는 연산이다. 이는 다음을 만족한다.
.
따라서 이는 다음과 같이 쓸 수 있다. 가 차 형식이라면,

이다.

공미분은 외미분과 마찬가지로 항등식 을 만족시킨다.

미분 형식에 대한 라플라스-벨트라미 연산자 는 공미분을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
.

 역사 
윌리엄 밸런스 더글러스 호지가 호지 이론의 일부로서 도입하였다.

 외부 링크 



분류:미분 형식
분류:리만 기하학
분류:쌍대성이론