극한 비교 판정법

미적분학에서 극한 비교 판정법(極限比較判定法, )은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 두 양항 급수의 항의 비가 0이 아닌 실수로 수렴한다면, 두 급수의 수렴 여부는 같다.

 정의와 증명 
두 양의 실수 항 급수 과 이 주어졌다고 하자 (). 또한, 극한

가 존재하며, 0이 아닌 양의 실수라고 하자. 그렇다면, 두 급수는 둘 다 수렴하거나, 둘 다 발산한다. 이를 극한 비교 판정법이라고 한다.

극한 비교 판정법은 비교 판정법의 따름정리다. 가정에 따라, 충분히 큰 에 대하여

이다. 즉, 충분히 큰 에 대하여

이다. 만약 이 수렴한다면, 비교 판정법에 따라  역시 수렴하며, 따라서 은 수렴한다. 반대로, 만약 이 수렴한다면,  역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라  역시 수렴한다. 즉, 두 급수의 수렴 여부는 동치다.

보다 일반적으로, 두 음이 아닌 실수 항 의 급수 과 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 항상 상극한과 하극한

이 존재하며, 항상 이다. 그렇다면, 다음이 성립한다.
 만약 이며, 이 수렴한다면,  역시 수렴한다.
 만약 이며, 이 수렴한다면,  역시 수렴한다.
특히, 만약 라면, 두 급수의 수렴 여부는 같다. 만약 극한 이 존재한다면, 이다. 따라서 이는 이전 결과를 일반화한다.

덜 일반적인 결과의 증명과 마찬가지로, 충분히 큰 에 대하여

이라는 사실과 비교 판정법으로부터 증명될 수 있다.

 예 
 기하급수와의 비교 
급수 를 생각하자. 기하급수 가 수렴하고

이므로, 원래 급수는 수렴한다.

 조화급수와의 비교 
급수 를 생각하자. 이를 조화급수와 비교하면

을 얻는다. 조화급수 는 발산하므로, 원래 급수도 발산한다.

마찬가지로, 급수 는

이므로 발산한다.

 기타 
급수 를 생각하자. 급수 는 수렴한다. (적분 판정법 또는 코시 응집 판정법을 사용할 수 있다.) 두 급수의 항의 비의 극한은

이다. 극한 비교 판정법에 따라, 원래 급수는 수렴한다.

급수 를 생각하자. (이는 음의 실수 항들로 이루어진다.) 0으로 수렴하는 두 수열  및 에 대하여, 편의상

을 으로 쓰자. 그렇다면,

이다. 이 수렴하므로, 원래 급수는 수렴한다.

 같이 보기 
 수렴판정법
 비교 판정법
 참고 문헌 


 외부 링크 


분류:수렴판정법