유계 작용소

함수해석학에서 유계 작용소(有界作用素, )는 유계 집합을 항상 유계 집합에 대응시키는, 두 위상 벡터 공간 사이의 선형 변환이다. 두 노름 공간 사이의 경우, 유계 작용소의 개념은 연속 선형 변환의 개념과 일치한다.

 정의 
위상체  위의 두 위상 벡터 공간 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, -선형 변환 가 다음 조건을 만족시키면, 를 유계 작용소라고 한다.
 임의의 유계 집합의 상은 유계 집합이다.
즉, 이는 유계형 집합의 사상을 이룬다.

여기서, 위상 벡터 공간 의 부분 집합 이 다음 조건을 만족시킨다면 유계 집합이라고 한다.
 임의의 0의 근방 에 대하여, 인 가 존재한다.

와  사이의 유계 작용소들의 집합은 라고 한다. 이는 자연스럽게 -벡터 공간을 이룬다.

 균등 공간 구조 
위상체  위의 두 위상 벡터 공간 , 이 주어졌을 때,
  위에는 모든 유계 집합들로 구성된 덮개 가 존재한다.
  위에는 (덧셈 위상군으로서의) 균등 공간 구조가 존재한다.
이에 따라, 함수 집합  위에 균등 수렴 위상 및 균등 구조를 부여할 수 있으며, 그 부분 집합 에도 자연스럽게 균등 공간 구조 및 위상을 부여할 수 있다. 이에 따라 는 -위상 벡터 공간을 이룬다.

만약 이며 와 가 노름 공간일 경우, 이 위상은 작용소 노름으로 정의된 거리 위상과 같다.

 작용소 위상 
유계 작용소의 공간 위에 균등 위상 (또는 균등 위상에 대한 약한 위상) 대신, 다음과 같은 더 엉성한 위상인 강한·약한 작용소 위상을 부여할 수도 있다.

함수 집합 에 곱위상을 부여하면, 이므로 에 부분 공간 위상을 부여할 수 있다. 이를 강한 작용소 위상(強한作用素位相, )이라고 한다.

마찬가지로, 에 약한 위상을 부여한 것을 로 놓고, 함수 집합 에 곱위상을 부여하면, 부분 공간 위상 을 약한 작용소 위상(弱한作用素位相, )이라고 한다.

강한·약한 작용소 위상은 정의에 따라 의 노름이나 위상에 의존하지 않는다.

 성질 
 연속성과의 관계 
위상체  위의 두 위상 벡터 공간 ,  사이의 모든 연속 -선형 변환은 유계 작용소이다.
증명:
연속 -선형 변환 가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 집합  및 임의의 의 근방 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 는 의 근방이며, 가 유계 집합이므로 가 되는 스칼라 를 찾을 수 있다. 그렇다면 이다.

따라서 는 유계 집합이다.

만약 이며, 와 가 -노름 공간일 경우, 유계 작용소 · 연속 선형 변환 · 균등 연속 선형 변환 · 립시츠 연속 선형 변환의 개념이 서로 동치이다. (그러나 이는 일반적인 위상 벡터 공간에 대하여 성립하지 않는다.)

 작용소 노름 

만약 이며, 와 가 -노름 공간일 경우, 는 작용소 노름을 통해 노름 공간을 이룬다. 만약 가 바나흐 공간이라면,  역시 바나흐 공간을 이룬다.

 유계 작용소 공간 위의 위상의 관계 
자명하게 다음과 같은 관계가 성립한다.
{| style="text-align:center"
| 균등 수렴 위상 || ⊃ || 강한 작용소 위상
|-
| ∪ || || ∪
|-
| 균등 수렴 위상의 약한 위상 || || 약한 작용소 위상
|}
여기서 A ⊃ B는 A가 B보다 더 섬세한 위상이라는 뜻이다.

실수체 또는 복소수체 위의 두 노름 공간 사이의 유계 작용소 공간의 경우, 다음이 추가로 성립한다.
{| style="text-align:center"
| 균등 수렴 위상 || ⊃ || 강한 작용소 위상
|-
| ∪ || || ∪
|-
| 균등 수렴 위상의 약한 위상 || ⊃ || 약한 작용소 위상
|}
증명:
두 노름 공간  사이의 작용소열  및 가 주어졌다고 하자. 만약 가 로 약한 바나흐 위상에서 수렴할 경우, 약한 작용소 위상에서 수렴함을 보이면 족하다.

약한 바나흐 위상에서의 수렴은 다음과 같다.

약한 작용소 위상에서의 수렴은 다음과 같다.

즉, 임의의 에 대하여,

를 정의하면, 인 것을, 즉 (의 작용소 노름 위상에 대하여) 유계 작용소인 것을 증명하면 족하다. 그런데 이는

이므로

이다.

 예 
두 유한 차원 노름 공간 사이의 모든 선형 변환은 유계 작용소이다.

르베그 실수열 공간  위의 연산자

는 노름이 1인 유계 작용소이다.

라플라스 연산자

는 유계 작용소이다. 여기서 는 하디 공간이며, 는 Lp 공간의 하나이다.

 각주 




 외부 링크 







분류:함수해석학
분류:연속 함수