곱 (범주론)

범주론에서 곱()은 곱집합이나 곱공간의 개념을 일반화한 개념이다. 항등사상 이외의 사상을 포함하지 않는 그림의 극한이다.

 정의 
범주 의 대상의 집합 를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 곱은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.
 대상 
 각 에 대하여, 사상 . 이들을 사영 사상()이라고 한다.
이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 와 사상 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 가 존재한다.
.
즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한 가 존재한다.
파일:CategoricalProduct-01.png
이 때, 를 곱이라 부르고 로 표현한다.

 대각 사상 

대상 와 기수 가 주어졌다고 하자. 만약 개의 들의 곱 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 로부터 유도되는 사상

이 존재한다. 이를 대각 사상(對角寫像, )이라고 한다.

 예 
각종 범주에서의 곱은 다음과 같다.
 범주  곱 집합의 범주   곱집합  위상 공간의 범주   곱공간  군의 범주   직접곱  아벨 군의 범주   직접곱  (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치) 체 에 대한 벡터 공간의 범주   직접곱  (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치) 환 에 대한 왼쪽 가군의 범주   직접곱  (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치) 집합과 이항관계의 범주   분리합집합 

 같이 보기 
 쌍대곱
 극한 (범주론)
 귀납적 극한

 참고 문헌 

  Chapter 5.

 Definition 2.1.1 in 

분류:극한 (범주론)