아인슈타인-힐베르트 작용

일반 상대성 이론에서 아인슈타인-힐베르트 작용(Einstein-Hilbert作用, )은 아인슈타인 방정식을 오일러-라그랑주 방정식으로 가지는 작용이다. 스칼라 곡률의 시공간에 대한 적분이다. 알베르트 아인슈타인과 다비트 힐베르트가 발견하였다.

 정의 
아인슈타인-힐베르트 작용 는 다음과 같다.
.
여기서 은 스칼라 곡률이고, 이다. 여기서 는 중력 상수다.

필요하면 우주 상수를 더하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
.

장 방정식 유도
이론의 완전한 작용이  아인슈타인–힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 다음 항이 더해진 것으로 주어졌다고 하자: 

그러면 최소 작용 원리는 물리법칙을 유지하기 위해선 이 작용의 역 계량에 대한 변분이 영이 되어야 함을 시사한다.

이 방정식은 임의의 변분 에 대해 성립해야 하므로, 이는

가 운동 방정식임을 보여준다.
오른쪽 항은 에너지 스트레스 텐서에 비례한다.,

왼쪽 항을 계산하기 위해 우리는 리치 스칼라 의 변분과 계량의 행렬식이 필요하다. 이는 다음과 같은 교재에 잘 나와 있다..

리만 텐서, 리치 텐서, 리치 스칼라의 변분
리치 스칼라의 변분을 계산하기 위해 먼저 리만 곡률 텐서와 리치 텐서의 변분을 계산한다. 리만 곡률 텐서는 다음과 같다:

리만 곡률 텐서는 오직 레비치비타 접속 에 대해서만 달라지므로, 리만 텐서의 변분은 다음과 같이 계산된다:

이제,  가 두 접속의 차이이므로, 이는 텐서이며 이의 공변미분은

이제, 리만 곡률 텐서의 변분의 표현은 다음 두 항의 차이와 같음을 볼 수 있다:

리치 텐서에 대해서는 간단히 두 리만 텐서의 변분의 인덱스를 빼고 팔라티니 항등식을 얻는다:

리치 스칼라는 다음과 같이 정의된다:

그러므로, 이의 역 계량에 대한 변분 은

으로 주어진다.

두번째 줄에서 the metric compatibility of the covariant derivative, 과,  리치 곡률에 대해 앞서 얻었던 결과를 썼다.

 같이 보기 
 브랜스-딕 이론
 아인슈타인-카르탕 이론
 기번스-호킹-요크 항
 칼루차–클레인 이론
 참고 문헌 

 Hilbert, D. (1915)  Die Grundlagen der Physik (German original for free) (English translation for $25), Konigl. Gesell. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407

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