르베그 공간

함수해석학에서 르베그 공간(Lebesgue空間, ) 또는 Lp 공간()은 절댓값의  제곱이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 동치류들로 구성된 노름 공간이다.

 정의 
측도 공간  및 음이 아닌 확장된 실수 가 주어졌다고 하고, 가 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 실수체 또는 복소수체라고 하자. 그렇다면, 르베그 공간 는 -위상 벡터 공간이며, 그 정의는 의 값에 따라 다음과 같다.

 Lp (0 < p ≤ ∞) 
 및 가측 함수 에 대하여 다음 기호를 정의하자.

그렇다면, 를 다음과 같은 집합으로 정의하자.

여기서 는 두 측도 공간  사이의 가측 함수의 집합이며, 의 경우 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 여긴다.

는 에 대한 벡터 공간을 이루며, 부분 공간

으로 몫공간을 취한 것을 르베그 공간 라고 한다.

이 위에는 "열린 공"들

을 기저로 하는 위상을 줄 수 있다. (물론, 이라면 이는 거리 공간이 아니므로 엄밀히 말해 열린 공이라고 일컬어질 수 없다.)

만약 이라면, 는  위의 완비 노름을 이루며, 는 -바나흐 공간을 이룬다. 그러나 만약 이라면 이는 (기호와 달리) 일반적으로 노름이 되지 못한다.

 L0 
인 경우, 은 모든 가측 함수 의 (동치류의) 공간이다. 즉, -벡터 공간 에

를 정의하였을 때

이다.

이 경우, 측도 수렴 위상을 부여하여 균등 공간이자 (균등 위상을 부여한) 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 즉, 이 경우 유사 거리 함수의 족

을 통해 균등 공간 구조를 부여한다.

 ℓp 
만약 가 (셈측도를 갖춘) 자연수의 이산 공간 일 경우,

로 쓴다. (셈측도는 공집합이 아닌 영집합을 갖지 않으므로, 이 경우 와 를 구분하지 않아도 된다.) 이 경우, 함수 는 값을 갖는 수열이 되고, 노름 은 다음과 같다.

 성질 
 민코프스키 부등식 
만약 일 경우, 는 민코프스키 부등식에 따라 노름을 이룬다.

만약 일 경우, 는 다음과 같은, 더 약한 부등식을 만족시킨다.

증명:
임의의 두 음이 아닌 실수 에 대하여

가 성립함은 미적분학으로 쉽게 확인할 수 있다. 그렇다면,

이다.

 바나흐·힐베르트 공간일 조건 
임의의 측도 공간  및  및 에 대하여, 다음이 성립한다.
 (리스-피셔 정리 ) 만약 라면 는 -바나흐 공간이다.
 만약 라면 는 -반사 바나흐 공간이다. (그러나  또는 인 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다.)
 만약 일 경우 는 -힐베르트 공간이다. (그러나 의 크기에 따라 이는 분해 가능 공간이 아닐 수 있다.)
 만약 이며 일 경우 는 가환 C* 대수이다. 만약 가 추가로 시그마 유한 측도를 갖추었다면, 이는 가환 폰 노이만 대수를 이룬다.

 연속 쌍대 공간 
임의의 측도 공간  및  및 에 대하여, 의 연속 쌍대 공간은 다음과 같다.

구체적으로, 이 동형 사상은

이다. 특히, 일 경우 는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다.

그러나 의 연속 쌍대 공간은 (선택 공리를 가정하면) 일반적으로 보다 훨씬 크다. 반면, 만약 가 시그마 유한 측도를 갖추었다면, 이다.

 포함 관계 
임의의 두 확장된 실수

가 주어졌다고 하자. 또한, 측도 공간  위에 다음과 같은 두 조건을 생각하자.
㈎ 
㈏ 
그렇다면, 다음과 같은 동치가 성립한다.
㈎ 
㈏ 
㈎와 ㈏가 동시에 성립 

대표적인 측도 공간에서 위 두 조건이 성립하는지 여부는 다음과 같다.
 측도 공간 ㈎ ㈏  유클리드 공간  위의 르베그 측도 () ❌   ❌ 유한 집합 위의 셈측도 ⭕  ⭕ 무한 집합 위의 셈측도 ❌   ⭕ 유클리드 공간 속의, 양의 유한 측도의 르베그 가측 집합 ⭕  ❌

 예 
 유한 집합 
가 유한 집합이며, 그 위에 셈측도를 부여하자. 그렇다면, 이 경우 임의의 에 대하여

이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은  위의 유한 차원 벡터 공간이며, 그 차원은 의 크기이다.

의 값에 따라,  위에 정의되는 노름은 서로 다르며, 다음과 같다.

만약 일 경우 이는 힐베르트 공간을 이루며, 이자 일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 바나흐 공간이다.

 수열 공간 
일 경우, 의 범위에 따라서, 수열 르베그 공간  공간의 성질은 다음과 같다.
 의 범위  의 성질   -위상 벡터 공간 (-국소 볼록 공간이 아님)   -바나흐 공간   분해 가능 -힐베르트 공간   -바나흐 공간

 디랙 측도 

집합  속의 원소 가 주어졌으며,

라고 하자. 그렇다면, 에 대하여, 는 다음과 같다.

 역사 
"르베그 공간"이라는 용어는 앙리 르베그의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 적분의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다.

 공간은 이미 19세기 푸리에 변환의 이론에서 등장하였다 (파르세발 정리). 이후 다비트 힐베르트가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "힐베르트 공간"으로 불리게 되었다.
힐베르트의 이론을 로 일반화하여, 리스 프리제시가 르베그 공간을 1910년에 도입하였다. 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호 를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성  ()을 증명하였다.

 같이 보기 
 소볼레프 공간

 각주 

 외부 링크 





분류:바나흐 공간
분류:급수
분류:측도론