상 (수학)

수학에서 상(像, )은 어떤 함수에 대한 정의역의 원소(들)에 대응하는 공역의 원소(들)이다. 반대로, 원상(原像, ) 또는 역상(逆像, )은 어떤 함수에 대한 공역의 원소(들)에 대응하는 정의역의 원소(들)이다.

 정의 
정의역이 , 공역이 인 함수 를 생각하자. 정의역의 원소 의, 함수 에 대한 상은 공역의 원소 이다. 정의역의 부분 집합 의, 함수 에 대한 상은 공역의 부분 집합

이다.

공역의 원소 의, 함수 에 대한 원상은 정의역의 부분 집합

이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분 집합이라는 데 주의하자. 공역의 부분 집합 의, 함수 에 대한 원상은 정의역의 부분 집합

이다.

정의역의 상을 치역이라고 한다. 반대로, 공역의 원상은 항상 정의역이다.

상과 원상의 표기는 다음과 같이 여러 가지가 있다.
 상  원상            

 성질 
 합성 
임의의 함수  및 에 대하여, 그 합성 의 상과 원상은 다음과 같다.

즉, 상은 함자

를 정의하며, 원상은 함자

를 정의한다.

 단조성 
임의의 함수 에 대하여, 다음이 성립한다.
 만약 라면, 
 만약 라면, 
즉, 임의의 함수 에 대하여,

는 (범주로 본) 멱집합 격자 사이의 두 함자를 이룬다.

 상과 원상 사이의 관계 
임의의 함수 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
 임의의 에 대하여,

 만약 가 단사 함수라면, 
 임의의 에 대하여,

 만약 가 전사 함수라면, 
 임의의  및 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.


이에 따라, 임의의 함수 에 대하여, 와 는 서로 수반 함자이다.

 기타 성질 
그 밖에도, 임의의 함수 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
 정의역 속의 집합족 에 대하여,

 공역 속 집합족 에 대하여,

 정의역의 두 부분 집합 에 대하여,

 공역의 두 부분 집합 에 대하여,

 외부 링크 







분류:함수와 사상
분류:집합론의 기본 개념