자연 변환

범주론에서 자연 변환(自然變換, )은 두 함자 사이에 범주적 구조를 보존하는 변환이다. 함자의 범주에서의 사상으로 생각할 수 있다.

 정의 
가 (공변) 함자라고 하자. 그렇다면 와  사이의 자연 변환 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 모든 대상 에 대하여, 사상 
이 데이터는 다음 성질을 만족하여야 한다. 모든 사상  ()에 대하여,
.
즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.
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마찬가지로, 반변함자  사이의 자연 변환도 정의할 수 있다.

자연 동형 사상(自然同形寫像, )은 모든 가 동형 사상을 이루는 자연 변환 이다. 두 함자 사이에 자연 동형 사상이 존재하는 경우, 두 함자가 자연 동형(自然同形, )이라고 한다.

 연산 
세 함자  사이의 두 자연 변환 , 의 합성

은 자연 변환이다. 두 함자  사이의 자연 변환  및 함자 에 대하여,

는 자연 변환이다. 두 함자  사이의 자연 변환  및 함자 에 대하여,

는 자연 변환이다.

 예 
군론에서, 군 의 반대군 은 그 군 연산의 순서를 뒤집은 군이다. 이 "뒤집기"는 함자 를 이룬다. (여기서 는 군과 군 준동형의 범주다.) 이 함자는 항등함자 와 자연 동형이다. 이는 군의 반대군을 "자연스럽게" 정의할 수 있다는 것으로 해석할 수 있다.

(실수 또는 복소수) 유한 차원 벡터 공간 는 그 쌍대 공간 과 항상 동형이다. 그러나 이에 해당하는 함자는 항등 함자와 자연 동형이지 않다. 이는 쌍대 공간을 정의하기 위해서는 기저를 골라야 하는데, 임의의 벡터 공간의 경우 자연스러운 기저를 정의할 수 없기 때문이다. (물론 기저는 항상 존재하나, 이를 자연스럽게 정의할 수 없다.) 물론, 유한 차원 내적공간의 범주의 경우, 쌍대 공간을 정의할 수 있는 데이터가 있으므로 쌍대 함자는 항등 함자와 자연 동형이다.

 역사 
사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1945년에 도입하였다. 이 논문은 범주론의 시초로 여겨진다. 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다.

 같이 보기 
 초자연 변환
 보편 성질

 참고 문헌 



 외부 링크 



분류:함자