킬링 형식

리 군 이론에서, 킬링 형식(Killing形式, )은 리 대수 위에 자연스럽게 존재하는 대칭 쌍선형 형식이다. 리 대수의 딸림표현의 곱의 대각합이다.

 정의 
 추상적 정의 
가환환  위의 리 대수 가 주어졌다고 하고, 또한 가 유한 차원 -자유 가군이라고 하자. 이제, 의 딸림표현

를 생각하자. 그렇다면, 의 킬링 형식

는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.

여기서 대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

 리 초대수의 경우 
보다 일반적으로, 체  위의  리 초대수 가 주어졌다고 하고, 또한 가 유한 차원 -초벡터 공간이라고 하자. 이제, 의 딸림표현

를 생각하자. 그렇다면, 의 킬링 형식

는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.

여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

 성분을 통한 정의 
체 위의 유한 차원 리 대수 의 기저 를 잡고, 이에 대한 구조 상수가

라고 하자. 그렇다면, 의 킬링 형식은 다음과 같다.

 성질 
킬링 형식은 대각합의 순환성()에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이룬다.

킬링 형식은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.

 리 초대수의 킬링 형식 
체  위의 유한 차원 리 초대수 의 킬링 형식 는 다음과 같은 성질을 갖는다.

단순 리 대수의 경우와 달리, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수는 킬링 형식이 0일 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.





나머지 단순 리 초대수는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.

 직합 
체  위의 두 유한 차원 리 (초)대수 , 에 대하여, 그 직합 의 킬링 형식은 다음과 같다.

 실수체 위의 리 대수 
만약 가 단순 리 대수라면 위 항등식을 만족하는 모든 형식은 킬링 형식의 스칼라배이다.

리 대수가 반단순 리 대수인 필요 충분 조건은 그 킬링 형식이 비퇴화 쌍선형 형식인 것이다. 이를 카르탕 조건(Cartan條件, )이라고 한다.

실수체 위의 콤팩트 리 대수의 킬링 형식은 항상 음의 정부호 쌍선형 형식이다.

 예 
 아벨 리 대수 
임의의 체  위의 유한 차원 아벨 리 대수 의 킬링 형식은 항상 0이다.

 행렬 리 대수 
임의의 체  및 자연수 에 대하여, 일반 선형 리 대수 의 킬링 형식은 다음과 같다.

또한, 특수 선형 리 대수 의 킬링 형식은 다음과 같다.

증명:
편의상, 의 기저 가 번째 성분만이 1이며, 나머지 성분이 모두 0인 행렬이라고 하자. 그렇다면,

이다. 이제, 야코비 항등식에 의하여,

이다. 따라서,

라고 놓으면,

가 된다. 따라서,

이다.

특수 선형 리 대수의 경우, 표준적인 분해

아래, 아벨 리 대수 의 킬링 형식이 0이므로, 이는 일반 선형 리 대수의 경우의 표현을 그대로 사용할 수 있다. (물론, 이 경우 둘째 항이 0이 된다.)

행렬 리 대수의 경우, 킬링 형식은 다음과 같다.
 리 대수  설명  킬링 형식 gl(n, ℂ)  n×n 복소수 행렬  2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y) sl(n, ℝ) n×n 무대각합 복소수 행렬  2n tr(XY) su(n)  n×n 반에르미트 행렬  2n tr(XY) so(n, ℝ)  n×n 반대칭 실수 행렬  (n−2) tr(XY) so(n, ℂ)  n×n 반대칭 복소수 행렬  (n−2) tr(XY) sp(2n, ℝ)  2n×2n 실수 해밀턴 행렬  (2n+2) tr(XY) sp(2n, ℂ)  2n×2n 복소수 해밀턴 행렬  (2n+2) tr(XY)

 리 대수의 계량과 이중 콕서터 수 
단순 리 대수의 경우, 통상적으로 계량을 긴 근의 길이가 가 되게 규격화한다. 이 경우 짧은 근의 길이는 Bn, Cn, F4인 경우 1 또는 G2의 경우 이다. 이렇게 규격화할 경우, 계량 형식은 다음과 같다.
 리 대수  행렬 표현  규격화 계량 형식 su(n)   n×n 반에르미트 행렬  − tr(XY) so(n, ℝ)  n×n 반대칭 행렬  − ½tr(XY) usp(2n) 2n×2n 반에르미트 해밀턴 행렬   − tr(XY) n×n 사원수 반에르미트 행렬   − tr(XY + YX) e6  27×27 반에르미트 행렬  − (9/4) tr(XY) e7  56×56  반대칭 행렬  − (3/2) tr(XY) e8  248×248 반대칭 행렬  − (41/10) tr(XY) f4  26×26 반대칭 행렬  − (4/3) tr(XY) g2  7×7 반대칭 행렬  − (5/8) tr(XY)

이렇게 계량 형식을 규격화하면, 3차원 초구로부터의 임의의 연속 함수 에 대하여 항상

이다.

이렇게 규격화한 계량 형식을 로 놓으면,

이다. 여기서 는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수()이다. (이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다.) 이는 다음 표와 같다.
 리 대수 an  bn  cn  dn  e6  e7  e8  f4  g2 다른 이름 SU(n+1)  SO(2n+1)  USp(2n)  SO(2n) — 이중 콕서터 수  n+1  2n−1  n+1  2n−2  12  18  30  9  4

 역사 
엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다. 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 땄다.

 같이 보기 
 킬링 벡터장
 각주 

 외부 링크 





분류:리 대수
분류:이차 형식