항 (논리학)

논리학에서, 항(項, )은 논의 영역 속의 대상으로 해석되는, 기호들의 정형(整形)적인 문자열이다. 변수 기호와 연산 기호를 통해 재귀적으로 구성되며, 논리식의 구성에 참여한다. 논리식과 마찬가지로, 항에 대하여 그 구조를 통한 귀납법과 재귀를 사용할 수 있다.

 정의 
항의 정의는 1차 논리의 언어의 정의의 일부이다.

부호수

의 1차 논리의 언어 를 구성하는 기호의 집합

을 생각하자. 기호의 문자열의 집합 의 부분 집합 이 다음 조건을 만족시키면, 항을 구성하는 연산들에 대하여 닫혀 있다고 하자.
 모든 변수 기호 에 대하여, 이다.
 모든 항 연산 기호  및 개의 원소 에 대하여, 이다. (특히, 인 경우 이다.)
예를 들어, 모든 기호의 문자열의 집합 은 항을 구성하는 연산들에 대하여 닫혀 있다. 모든 항을 구성하는 연산들에 대하여 닫혀 있는 집합들의 교집합을 생각하자. 이는 항을 구성하는 연산들에 대하여 닫혀 있으며, 그 가운데 가장 작다.

의 항은 이 교집합의 원소이다.

 성질 
 가독성 
모든 항 는 다음 두 경우 가운데 정확히 하나에 속한다.
 는 어떤 변수 기호 이다.
 어떤 연산 기호  및 개의 항 에 대하여, 는 이다.

두 경우에 동시에 속할 수 없음은 자명하다. 이제, 위 두 경우 가운데 적어도 하나 이상에 속하는 항의 집합을 생각하자. 이 집합은 항을 구성하는 연산들에 대하여 닫혀 있음을 쉽게 보일 수 있다. 항의 집합의 최소성에 따라, 이 집합은 항의 집합과 같다.

항의 가독성에 따라, 항에 대한 명제를 항의 구조에 대한 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다.

 유일 가독성 
항 의 접두 문자열(=그 처음 몇 기호로 구성된 부분 문자열) 가운데, 항인 것은  스스로밖에 없다.

의 (문자열로서의) 길이에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.

가 어떤 변수 기호인 경우, 의 접두 문자열은 빈 문자열과 뿐이며, 이 가운데 항은 밖에 없다.

이제, 어떤 연산 기호  및 개의 항 에 대하여 가 인 경우를 생각하자. 가 의 접두 문자열이며, 항이라고 하자. 그렇다면 는 빈 문자열이 아니며, 연산 기호 로 시작하므로, 어떤 개의 항 에 대하여 의 꼴이다. 만약 과 이 서로 다르다면, 귀납법의 가정에 따라 둘 중 하나는 다른 하나의 접두 문자열이므로 항이 아니며, 이는 모순이다. 따라서 과 은 서로 같다. 수학적 귀납법을 사용하여 모든 에 대하여 임을 보일 수 있다. 즉, 는 이다.

모든 항 는 다음 두 경우 가운데 정확히 하나에 속한다.
 는 어떤 유일한 변수 기호 이다.
 어떤 유일한 연산 기호  및 유일한 개의 항 에 대하여, 는 이다.

가 어떤 변수 기호인 경우, 이 변수 기호는 자명하게 유일하다.

이제, 가 변수 기호가 아닌 경우를 생각하자. 연산 기호  및 개의 항 에 대하여 가 이며, 연산 기호  및 개의 항 에 대하여 가 이라고 하자. 먼저, 와 는 의 첫 번째 기호이므로 서로 같다. 이제, 와 는 서로의 진(眞)접두 문자열(=스스로를 제외한 접두 문자열)일 수 없으므로, 수학적 귀납법을 사용하여 모든 에 대하여 임을 보일 수 있다. 즉, 는 유일 가독성을 만족시킨다.

항의 유일 가독성에 따라, 항에 대한 함수를 항의 구조를 통하여 재귀적으로 정의할 수 있다.

 참고 문헌 

 같이 보기 
 방정식
 수식

분류:수리논리학
분류:재작성 시스템