각운동량 연산자

양자역학에서 각운동량 연산자(角運動量演算子, )는 특정한 교환자 관계를 만족하는 세 개의 연산자 , , 이다. 두 종류의 각운동량 연산자가 있는데, 고전적인 각운동량을 양자화하여 얻는 각운동량 연산자를 궤도 각운동량(軌道角運動量, )이라고 하고, 고전적인 값과 관계없는 양자역학 고유의 각운동량 연산자를 스핀 각운동량()이라고 한다.

 정의 
각운동량 연산자 는 다음과 같은 교환 관계를 만족하는 일련의 연산자를 말한다.
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여기서 는 레비치비타 기호다. 풀어 쓰면 다음과 같다.

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각운동량 성분 사이에는 교환 법칙이 성립하지 않으므로, 불확정성 원리에 따라 각운동량의 여러 성분을 동시에 측정할 수 없다.

성분 연산자와 각운동량 연산자의 제곱 사이에는 다음과 같은 교환 관계가 성립한다.
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위 둘 사이에서는 교환 법칙이 성립하기 때문에 두 물리량을 동시에 측정할 수 있다. 위 두 교환 관계는 수소 원자에서 전자가 가질 수 있는 각운동량을 결정짓는 데 매우 큰 역할을 하게 된다. 위 교환 관계에 의하면, 각운동량에 대한 4개의 물리량중 성분 하나와 크기만을 동시에 정확히 알 수 있다. 통상적으로, 정확히 측정되는 성분을 z성분으로 잡는다.

 각운동량 사다리 연산자 
각운동량에 대하여 다음과 같은 사다리 연산자 , 를 정의할 수 있다.
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이 두 연산자들은 파동 함수의 상태를 다른 상태로 바꾸어 주는 연산자들이다. 순서대로 각운동량 올림 연산자, 각운동량 내림 연산자로 불린다.

각운동량 올림 연산자와 내림 연산자 사이에는 아래와 같은 관계들이 있다.

이 외에 각운동량 올림 연산자와 내림 연산자에 대한 교환 관계로 아래와 같은 관계가 있다.

 각운동량의 고윳값과 고유함수 
위의 교환 관계에 따라, 3차원 공간에서 각운동량의 성분 하나와 각운동량의 크기만을 동시에 정확히 측정할 수 있다. 때문에, 각운동량 연산자의 고유함수는 이 둘을 통해 정의한다. 보통 각운동량 성분 연산자로 를 택한다. 자세한 계산은 생략하고 이에 대한 고윳값 방정식은 다음과 같다.

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은  중 하나의 수를 갖는다. 궤도 각운동량의 경우,  (통상적으로 로 표기)는 음이 아닌 정수()이다. 스핀 각운동량이나 궤도 및 스핀 각운동량의 합의 경우에는 는 음이 아닌 정수 또는 반정수({lang|half-integer}) 이다.

고유함수에 각운동량 올림 연산자 또는 내림 연산자를 작용시키면, 다음과 같이 고유함수의 값이 변하게 된다.

 궤도 각운동량 
궤도 각운동량 연산자는 고전역학의 각운동량 를 양자화한 연산자로, 다음과 같다.
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여기서,
: 궤도 각운동량 연산자
: 위치 연산자
: 운동량 연산자
이다. 공식은 고전적인 경우와 보기에 같지만 이 공식은 더 이상 고전적인 값이 아니라 파동 함수에 작용하는 에르미트 연산자이다.

위치로 식은 표현할 땐, 운동량 연산자가 가 되므로 궤도 각운동량은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

정의는 위와 같지만, 계산의 불편 때문에 각운동량 연산자의 제곱 과 데카르트 좌표계에서의 성분에 대한 연산자  ,  , 가 더 자주 쓰인다.

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이를 대입하면 궤도 각운동량 연산자가 각운동량 교환 관계를 만족한다는 사실을 확인할 수 있다.

 스핀 각운동량 

 참고 문헌 
 Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.), Prentice Hall, 
 Liboff, Richard L. (2002), Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 

 같이 보기 
 각운동량
 구면 조화 함수
 라플라스-룽게-렌츠 벡터
 클렙슈-고르단 계수
 퍼지 구

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분류:각운동량