열 방정식

물리학과 수학에서 열 방정식(熱方程式, )은 열 따위의 성질이 시간에 따라 전도되는 과정을 나타내는 2차 편미분 방정식이다. 열 방정식의 해는 때때로 열량 함수(caloric functions)로 알려져 있다. 열 방정식 이론은 열과 같은 양이 주어진 영역을 통해 확산되는 방식을 모델링할 목적으로 1822년 조제프 푸리에에 의해 처음 개발되었다.

열 뿐만 아니라 기체의 분산이나 브라운 운동, 금융학의 블랙-숄즈 방정식()을 다룰 때도 쓰인다.

 정의 
차원 유클리드 공간에서 실함수 가 온도 분포를 나타낸다고 하자. 만약 열이 열전도율 를 따라 전도된다면 는 다음과 같은 2차 편미분 방정식을 만족한다.

여기서 는 차원 공간에서의 라플라스 연산자다. 이 편미분 방정식을 열 방정식이라고 한다.

보다 일반적으로, 차원 리만 다양체 위에서의 열 방정식을 정의할 수 있다. 이 때는 는 라플라스-벨트라미 연산자가 된다.

 그린 함수 
열 방정식은 그린 함수를 통해 풀 수 있다. 열 방정식의 그린 함수는 열핵(熱核, )이라고 불리며, 다음과 같다.
.
이 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.

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여기서 은 차원 디랙 델타 함수다. 따라서 그린 함수를 사용하여 열 방정식의 초기 조건 문제를 풀 수 있다.

 같이 보기 
 열확산도
 푸리에의 법칙

 외부 링크 

 Derivation of the heat equation
 Linear heat equations: Particular solutions and boundary value problems - from EqWorld

분류:열역학
분류:편미분 방정식
분류:확산
분류:열전도