대칭 관계

수학에서 대칭 관계(對稱關係, )는 두 대상 사이의 관계의 성립 여부가 두 대상의 순서와 무관한 이항 관계이다. 예를 들어, 형제자매 관계는 대칭 관계이지만, 조상과 자손의 관계는 대칭적이지 않다. 반사 관계인 대칭 관계는 그래프 이론의 연구 대상이다.

 정의 
집합  위의 이항 관계 가 다음 조건을 만족시키면, 대칭 관계라고 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 라면, 

 성질 
크기 의 유한 집합 위에는 총 개의 대칭 관계가 존재한다. 작은 에 대하여, 이는 다음과 같다 ().
1, 2, 8, 64, 1024, … 

 반사 대칭 관계 
집합  위의 반사 대칭 관계 에 대하여, 가 의 극대 클릭들의 집합이라고 하자. 즉, 는 다음 조건을 만족시키는 극대 부분 집합 들로 구성된다.
 임의의 에 대하여, 
그렇다면, 는 의 덮개이며, 다음 두 성질을 만족시킨다.
 (A) 임의의  및 에 대하여, 만약 라면, 이다.
 (B) 임의의 에 대하여, 만약 가 의 원소의 부분 집합이 아니라면, 의 원소의 부분 집합이 아닌 두 원소 집합 가 존재한다.
반대로, 조건 (A)와 (B)를 만족시키는 의 덮개 가 주어졌을 때,  위에 다음과 같은 이항 관계 를 정의하자.

그렇다면, 는 반사 대칭 관계이다. 는  위의 반사 대칭 관계들의 집합과 조건 (A)와 (B)를 만족시키는 의 덮개들의 집합 사이의 일대일 대응이며, 그 역함수는 이다. 즉, 반사 대칭 관계의 개념은 위 두 조건을 만족시키는 덮개의 개념과 동치이다.

 예 
모든 동치 관계는 대칭 관계이다.

순서체  위에서 다음과 같은 이항 관계 를 생각하자. (예를 들어, 는 유리수체 나 실수체 로 취할 수 있다.)

그렇다면 는  위의 반사 대칭 관계이다. 반면,  위에 이항 관계

를 정의하였을 때, 는 대칭 관계이지만, 반사 관계가 아니다.

 직교 
초등 기하학에서, 두 직선이 수직으로 만나는 관계는 대칭 관계를 이룬다. 보다 일반적으로, 임의의 체  및 -벡터 공간  및 쌍선형 형식 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 (직교의 대칭성) 만약 라면, 이다.
 는 대칭 쌍선형 형식이거나, 교대 쌍선형 형식이다.
 는 대칭 쌍선형 형식이거나, 반대칭 쌍선형 형식이다.

 같이 보기 
 추이적 관계
 반대칭관계

 참고 문헌 

분류:집합론