부분파 방법

물리학에서 부분파 방법(部分波方法, )은 산란 문제를 구면 조화 함수에 대한 성분인 부분파(部分波, )로 분해하여 푸는 방법이다.

 전개 
파수 를 가지고 방향으로 움직이는 입사 평면파 파동 함수 가 원점 근처에 국한된 구면 대칭 퍼텐셜 에 의하여 으로 산란된다고 하자.
.
퍼텐셜은 원점 근처에 국한되어 있으므로, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 파동 함수는 진공 슈뢰딩거 방정식

을 따른다. 구면좌표계에서 진공 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해는 다음과 같은 구면 베셀 함수 , 와 구면 조화 함수 의 곱들의 선형결합이다.
.
여기서 과 은 미지의 계수이다.

레일리 공식()에 따라

이고,
 ()
은 산란된 구면파를 나타내므로, 평면파의 산란을 나타내기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 부여하여야 한다.
.
따라서

이다. 여기서 각각의  성분을 부분파라고 하고, 을 부분파 산란 진폭이라고 한다.

부분파 방법은 퍼텐셜 근처에서의 슈뢰딩거 방정식을 위와 같은 가설 풀이를 대입하여 푸는 것이다. 이렇게 하여 부분파 산란 진폭 을 구하면 그 총 산란 진폭 는

와 같이 주어진다. 이로부터 총 산란 단면적 와 미분 단면적 를 다음과 같이 구할 수 있다.

.

 낮은 에너지에서의 근사 
퍼텐셜의 "크기"가 대략 라고 하자. 즉, 가 대략 다음과 같은 꼴이다.

이런 경우에는 이므로, 다음과 같은 경계 조건을 부여한다.
.
이에 따라

이다.

이제, 입사 파동 함수의 에너지 가 퍼텐셜의 크기에 비하여 아주 작다고 하자. 즉,

라고 하자. 그렇다면
 ()
 ()
이므로,

이다. 따라서 이므로 인 항이 다른 항보다 매우 크다. 즉, 매우 작은 에너지에서는 인 부분파만 고려하면 된다.

 위상 변화 
위에서 정의한 부분파 진폭 은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 가진다.
.
여기서 을  부분파의 위상 변화()라고 한다.

 같이 보기 
 베셀 함수
 헬름홀츠 방정식
 운죌트의 정리

 참고 문헌 




분류:양자역학
분류:산란 이론