모듈러 산술

수론에서 모듈러 산술() 또는 합동 산술(合同算術)은 정수의 합과 곱을 어떤 주어진 수의 나머지에 대하여 정의하는 방법이다. 정수환의 몫환 의 환 구조로 생각할 수 있다.

 정의 
이 2 이상의 정수라고 하자. 정수환 의 주 아이디얼 에 대한 몫환 의 원소들은 과 일대일 대응하며, 이는 정수를 으로 나눈 나머지로 생각할 수 있다. 즉, 환 준동형

을, 정수를 에 대한 나머지로 대응시키는 함수로 여길 수 있다.

임의의 두 정수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립하면 와 가 법 에 대하여 합동(法에 對하여 合同, )이라고 한다.
 인 정수 가 존재한다.
 이다. 즉, 와 는 의 같은 동치류에 속한다.
이는 기호로는

이라고 한다. 정수의 합동은 동치 관계를 이룬다.

 성질 
 덧셈 · 뺄셈 · 곱셈 
은 가환환이므로, 임의의 가환환에서와 마찬가지로 덧셈 · 뺄셈 · 곱셈을 정의할 수 있으며, 덧셈과 곱셈은 결합 법칙 · 교환 법칙을 따르고, 또한 분배 법칙이 성립한다. 이 환 준동형이므로, 임의의 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.


마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.


마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.



 중국인의 나머지 정리 

의 소인수 분해가

라고 하자. 그렇다면 중국인의 나머지 정리에 따르면 다음과 같은 가환환의 동형이 존재한다.

즉, 두 개 이상의 소인수를 갖는 수에 대한 모듈러 산술은 그 소인수들(의 거듭제곱)에 대한 합동류들을 성분별로 취급하는 것과 같다.

 나눗셈 
일반적으로, 은 체가 아니므로, 모듈러 산술에서 나눗셈은 일반적으로 정의되지 않는다. 다만, 만약 이 소수라면 은 체를 이루며, 이 경우 0이 아닌 모든 수의 역수가 존재한다.

합성수 에 대한 모듈러 산술의 경우, 오직 과 서로소인 수만이 가역원이다 (역수를 정의할 수 있다). 이는 오일러의 정리에 따라

이기 때문이다 (는 오일러 피 함수). 즉, 개의 합동류 가운데 오직 개만이 가역원이며, 가역원 의 역원은 이다.

 홀수 소수의 거듭제곱 
2가 아닌 소수 에 대하여, 의 가역원들은 총

개가 있으며 (는 오일러 피 함수), 그 가역원군은 순환군이다.

 2의 거듭제곱 
에 대하여, 의 가역원군은 다음과 같다.

 일반적 합성수 
일반적 합성수의 경우, 가역원군은 중국인의 나머지 정리에 따라서

이다.

 아이디얼 
에서도 정수환의 경우와 마찬가지로 아이디얼과 소 아이디얼 및 극대 아이디얼의 개념을 정의할 수 있다.
의 아이디얼은 모두 의 약수에 의하여 생성되는 주 아이디얼이다. 즉,  ()의 꼴이다.

이 아이디얼들 가운데, 소 아이디얼인 것은 가 소수인 경우이다. 즉, 의 소 아이디얼은 의 소인수들의 주 아이디얼들이다. 에서 극대 아이디얼의 개념과 소 아이디얼의 개념은 서로 일치한다. 즉, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이며, 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

따라서, 의 크룰 차원은 다음과 같다.

이는 대수기하학적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 의 소인수 분해가

라면, 중국인의 나머지 정리에 따라서

이다. 이는 가환환의 범주에서의 곱이므로, 아핀 스킴의 범주에서의 쌍대곱이 된다. 즉,

가 된다. 각 는 하나의 소 아이디얼 을 갖는 국소환이며, 따라서 위상 공간으로서는 한원소 집합이다. 즉, 아핀 스킴 은 위상 공간으로서 의 각 소인수에 대응하는 개의 점들로 구성된 공간이다.

(만약 일 경우, 이는 정수환의 스펙트럼이므로, 1차원이다. 일 경우, 자명환의 스펙트럼은 공집합이다.)

 예 
14와 20 그리고 −4는 법 6에 대하여 합동이다. 이를 식으로 나타내면

이다.

 같이 보기 
 중국인의 나머지 정리

 외부 링크 








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분류:유한환