오일러 삼각형 정리

기하학에서 오일러 삼각형 정리(三角形定理, )는 삼각형의 외심과 내심 사이의 거리를 외접원과 내접원의 반지름을 통해 나타내는 정리이다.

 정의 
주어진 삼각형의 외접원의 반지름을 , 내접원의 반지름을 라고 하고, 외심과 내심 사이의 거리를 라고 하자. 오일러 삼각형 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

특히, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 정삼각형이다.

 증명 
삼각형 의 외심을 , 내심을 라고 하고, 를 지나는 외접원의 지름을 라고 하자. 의 이등분선의 연장선과 외접원의 교점을 이라고 하고, 의 연장선과 외접원의 교점을 라고 하자. 를 지나는 의 수선의 발을 라고 하자. 그렇다면 방멱 정리에 의하여

이며, 또한 맨션 정리에 의하여 이다. 삼각형 와 을 생각할 때, 호 의 원주각의 성질에 의하여

이고, 은 지름이므로

이다. 따라서 이 두 삼각형은 서로 닮음이며, 특히

가 성립한다. 이 결과들을 연립하면

를 얻는다.

 외부 링크 


분류:삼각형과 원에 대한 정리
분류:기하부등식