후르비츠의 정리 (나눗셈 대수)

후르비츠의 정리(Hurwitz's theorem, -定理)는 독일 수학자 아돌프 후르비츠의 이름이 붙은 추상대수학의 정리로, 후르비츠가 1898년 증명하였다. 다음과 같은 내용이다.

 항등원이 있는 실수 혹은 복소수 위의 노름이 주어진 나눗셈 대수로서, 그 노름이 항상 을 만족하는 것은 항상 (대수로서) 실수, 복소수, 사원수, 팔원수 중 하나와 동형이다.JA Nieto and LN Alejo-Armenta (2000). "Hurwitz theorem and parallelizable spheres from tensor analysis". Arxiv preprint hep-th/0005184. arXiv:hep-th/0005184.Kevin McCrimmon (2004). "Hurwitz's theorem 2.6.2". A taste of Jordan algebras. Springer. p. 166. . "Only recently was it established that the only finite-dimensional real nonassociative division algebras have dimensions 1,2,4,8; the algebras were not classified, and the proof was topological rather than algebraic."

페르디난트 게오르크 프로베니우스에 의해 시작된 실수체 위의 나눗셈 대수를 분류하는 문제는Georg Frobenius (1878). "Über lineare Substitutionen und bilineare Formen". J. Reine Angew. Math. 84: 1–63. 후르비츠가 이 정리 등으로 이어받아 발전시켰고Hurwitz, A. (1898). "Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln (On the composition of quadratic forms of arbitrary many variables)" (독일어). Nachr. Ges. Wiss. Göttingen: 309–316. JFM 29.0177.01., 막스 초른이 교대환(alternative ring)의 연구로 이에 대한 일반적인 결과를 얻었다.Max Zorn (1930). "Theorie der alternativen Ringe". Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 8: 123–147.

아돌프 후르비츠는 이 정리를 즉시 응용하여 브라마굽타-피보나치 항등식, 오일러의 네 제곱수 항등식이나 데겐의 여덟 제곱수 항등식과 같은 항등식은 미지수가 여덟 개보다 더 많은 경우에 대해서는 성립할 수 없다는 사실을 증명하기도 했다.Joe Roberts (1992). "Square identities". Lure of the integers. Cambridge University Press. .

 각주 

 같이 보기 
 프로베니우스 정리 (대수학)
 웨더번 정리
 아르틴-초른 정리
 데겐의 여덟 제곱수 항등식

분류:비결합대수
분류:이차 형식
분류:표현론
분류:대수학 정리
분류:합성 대수