각의 3등분

수학에서 각의 3등분이란 주어진 각을 같은 크기의 세 각으로 나누는 일이다. 임의의 주어진 각을 3등분할 수 있는지 여부는 3대 작도 불가능문제 가운데 하나이다.

각의 삼등분 문제는 임의의 각을 삼등분하는 문제로, 임의의 크기의 각을 작도하는 사람이 자신이 의도한 크기의 각을 정확히 작도할 수 없기 때문에 일반적으로 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용하여 작도할 수 없다. 종이를 접거나 특수한 도구를 사용하여 주어진 각을 삼등분하는 각을 만들 수는 있지만, 이것은 눈금없는 자와 컴퍼스만을 이용한다는 문제의 조건에 어긋난다.

이 문제는 프랑스의 수학자 피에르 방첼(Pierre Wantzel)이 1837년에 60도를 삼등분하는 작도가 불가능함을 보임으로써 끝이 났다. 이것은 주어진 어떤 각도 삼등분할 수 없다는 뜻이 아니다. 직각을 비롯한 무한히 많은 각을 자와 컴퍼스만으로 삼등분할 수 있지만, 한편 자와 컴퍼스만으로 삼등분할 수 없는 각 또한 무수히 많다는 뜻이다. 예를 들어 60도의 경우 3배각 공식을 이용해 방정식으로 나타낼 경우 삼차 방정식의 형태로 나타낼 수 있고, 이 식에서의 양의 실수 해는 세제곱근이 들어가므로 60도를 3등분한 각인 20도는 작도할 수 없다.

임의의 각은 삼등분이 불가능하며, 특정 각의 경우에도 상술했듯 삼등분이 가능한 각과 불가능한 각이 있다. 삼등분이 가능한 각은 다음과 같다.
 직각은 삼등분 작도를 할 수 있다.
 삼등분 작도를 할 수 있는 각의 2배각과 절반각도 삼등분 작도가 가능하다.
 역으로, 삼등분 작도를 할 수 없는 각의 2배각과 절반각도 삼등분 작도를 할 수 없다.
 삼등분 작도를 할 수 있는 각의 3배각도 삼등분 작도를 할 수 있으나, 1/3 크기의 각은 삼등분 작도를 할 수 없을 경우도 있다. (예: 직각 → 30도)
 역으로, 삼등분 작도를 할 수 없는 각의 1/3 크기의 각은 삼등분 작도를 할 수 없으나, 3배각은 삼등분 작도를 할 수 있을 경우도 있다.

이 조건에 의하면 삼등분 작도가 가능한 각은 직각을 포함하여 45도, 22.5도, 11.25도, 135도, 67.5도, 33.75도 등이 있다. 즉, 9의 배수, 4.5의 배수, 2.25의 배수인 각이 삼등분 작도가 가능하다.

 작도 불가능성 
피에르 방첼이 처음 증명했다.

각 3θ가 주어졌을 때 각 θ를 구하는 것이므로, 이는 cos3θ 가 주어졌을 때 cosθ를 구하는 것으로서

cos3θ=4cos³θ-3cosθ

이므로, cosθ=x 라 놓으면

4x³-3x=cos3θ

 3등분을 하는 다른 방법 
작도의 조건을 만족하지 않는 방법으로는 각의 3등분을 할 수 있다.

 종이접기 작도 
종이접기를 통해 각의 삼등분을 할 수 있다.

 보조 곡선을 이용하는 법 
달팽이꼴 등의 3등분 곡선을 이용하여 3등분을 할 수 있다.

 눈금있는 자를 이용하는 방법 
작도와 달리 눈금있는 자를 이용하면 삼등분이 가능하다. 이를 뉴시스 작도라고 한다. 각의 3등분을 해주는 도구로는 작도할 수 없는 정십일각형의 작도가 가능한 등 3등분기보다 강력한 도구이다.

 토마호크 이용 
토마호크는 각의 삼등분을 해주는 도구의 하나이다.

 같이 보기 
 3대 작도 불가능 문제
 작도가능한 수

 외부 링크 


분류:기하학사
분류:수학 문제
분류:유클리드 평면기하학
분류:컴퍼스와 자 작도
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