ADM 형식

아노윗-데세르-미스너 수식 체계(Arnowitt-Deser-Misner數式體系, , 약자 ADM 수식 체계)는 일반 상대성 이론을 해밀턴 역학으로 표현하는 방법이다. 영역  시공간에 공간적 엽층을 준 뒤, 엽층의 각 잎의 (시공의 부분 다양체로서) 유도된 계량 텐서에 대하여 일반화 운동량을 정의한다. 잎의 계량 텐서 및 그 운동량에 포함되지 않는 (질량 껍질 밖) 자유도는 라그랑주 승수 꼴로 나타나, 이론에 제약을 준다.

 전개 
그리스 문자 첨자 는 차원 시공간을, 로마자 첨자 는 차원 공간만을 나타낸다. 여기서는 −+++ 계량 부호수를 쓴다. 편의상 로 놓자.

 계량 텐서의 분해 
차원에서, 일반 상대성 이론의 동적 변수는 대칭 텐서인 계량 텐서 의 개의 성분들이다. 그러나 일반 상대성 이론은 임의의 미분 동형 사상을 게이지 대칭으로 가지며, 이는 (국소적으로) 와 같은 꼴이므로, 의 성분 가운데 개는 게이지 변환을 통해 흡수될 수 있으며, 따라서 실제 동적인 장들은 그 가운데

개이다. 즉, 계량 텐서를 다음과 같은 꼴로 표시할 수 있다.

여기서 보조장 과 는 각각 경과장(經過場, ) 및 이동장(移動場, )이라고 불린다. 는 의 역행렬이다(특히, 의 역행렬의 성분이 아니다). 는 의 역행렬의 한 성분이다.

이 경우, 차원 계량 텐서의 행렬식은 다음과 같다.

즉, 경과장 은 차원 계량으로 측정한 차원 초부피 원소(야코비 행렬식)와 차원 계량으로 측정한 차원 부피 원소(야코비 행렬식)의 비이다.

이러한 분해는 전자기 퍼텐셜 의 분해와 마찬가지다. 전자기학에서 가 게이지 변환에 의하여 라그랑주 승수 보조장이 되는 것처럼, 과  역시 마찬가지 역할을 한다.

 운동량과 작용 
일반 상대성 이론은 아인슈타인-힐베르트 작용으로 나타낼 수 있다.

여기서 는 계량 텐서, 은 로 계산한 리치 스칼라다.

이제 편의상 인 경우만을 생각하자.
에 대한 일반화 운동량 를 계산하면 다음과 같다.

에 대하여 해밀토니언을 정의하자. 그렇다면 작용은 다음과 같다.

여기서

이다. 즉 과 는 라그랑주 승수가 되며, 그 운동 방정식에 따라 이다.

 성질 
 운동 방정식 
 및 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

보조장들에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

이들은 위상 공간의 제약을 나타내며, 전자기장의 가우스 법칙 제약과 유사하다. 보조장  및  자체는 임의로 값을 줄 수 있다. 이는 일반 상대성 이론에서 미분 동형 사상 대칭이 게이지 대칭이기 때문이다.

 위상 공간 
일반적으로, 차원 시공간 에서, ADM 수식 체계에 의한, 일반 상대성 이론의 위상 공간은  위의 매끄러운 올다발의 매끄러운 단면의 공간이다. 이 올다발의 올의 차원은 이다. 이는 다음과 같이 얻어진다.
{| class=wikitable
! 설명 !! 성분
|-
| 계량 텐서  및 그 일반화 운동량 || 
|-
| 에너지 제약  및 그 게이지 조건 ||  −2
|-
| 운동량 제약  및 그 게이지 조건 || 
|-
! 계 || 
|}

 역사 
섬네일|right|아노윗 (左) · 데세르 (中) · 미스너 (右). 2009년 사진
리처드 루이스 아노윗(, 1928~2014) · 스탠리 데세르(, 1931~) · 찰스 미스너(, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다.

 같이 보기 
 정준좌표
 각주 

분류:일반 상대성이론