라그랑주 정리 (군론)

군론에서 라그랑주 정리()는 유한군의 부분군의 크기가 원래 군의 크기의 약수라는 정리다.

 정의 
임의의 군  및 부분군 가 주어졌다고 하자. 라그랑주 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

여기서 는 의 왼쪽 잉여류들의 집합의 크기이며 (이는 오른쪽 잉여류들의 집합의 크기와 같다), 와  사이의 곱셈은 기수의 곱셈이다. 특히, 가 유한군일 경우, 는 의 약수이다.

보다 일반적으로, 군 의 부분군 과 이에 대한 부분군 에 대하여, 다음이 성립한다.

라그랑주 정리는 (가 무한군일 수 있는 경우) 선택 공리와 동치이다. 물론, 유한군의 경우 이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다.

 증명 
우선, 임의의 에 대하여, 이다. 이는 함수

가 전단사 함수이기 때문이다.

또한 의 왼쪽 잉여류들의 집합 는 의 분할을 이룬다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 인 가 존재한다.

인 를 취하면

이다. 이에 따라, 는  속 서로 다른 왼쪽 잉여류들의 분리 합집합이다.

선택 공리에 의하여, 임의의 왼쪽 잉여류 에 대하여, 인 군의 원소 를 취하는 함수 가 존재하며, 이 경우 임의의 에 대하여 이다. (가 유한군일 경우 이러한 함수의 존재는 수학적 귀납법에 의하여 증명할 수 있으므로 선택 공리가 필요하지 않다.) 따라서,

가 성립한다.

만약 가 유한군이라면, 위 등식의 , , 는 모두 양의 정수이므로, 는 의 약수가 된다.

 따름정리 
유한군 의 임의의 원소 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 의 위수 는 의 약수이다. 이는 가 순환 부분군 의 크기이기 때문이다. 특히, 항상 가 성립한다. 여기서 는 의 항등원이다. 이를 이용하면 페르마 소정리나 오일러 정리를 쉽게 도출해낼 수 있는데, 임의의 양의 정수 에 대하여, 과 서로소인 정수의 합동류들은 곱셈에 대하여 군이 되고, 이 군의 크기가 오일러 피 함수 에 대하여 이 되기 때문이다.

소수 크기의 군은 순환군이자 단순군이다. 즉, 유한군 에 대하여, 가 소수라고 하자. 그렇다면 인 를 취할 수 있으며, 이므로 이거나 이다. 그러나 이므로 이므로 이며, 즉 는 로 생성된 순환군이다. 마찬가지로, 임의의 부분군 에 대하여, 이거나 이며, 만약 이라면 , 만약 라면 이다. 즉, 는 자명 부분군이나 자기 자신이 아닌 부분군을 갖지 않으며, 특히 는 단순군이다.

 역의 반례 
유한군 와 양의 정수 가 주어졌고, 가 의 약수라고 할 때, 크기가 인 의 부분군이 존재할 필요는 없다. 예를 들어, 4차 교대군 의 크기는 12이며, 6은 12의 약수이지만, 는 크기가 6인 부분군을 갖지 않는다. 그러나, 쉴로브 정리에 따르면, 가 소수의 거듭제곱일 경우 크기가 인 의 부분군은 항상 존재한다.

 역사 
라그랑주는 이 정리를 1771년 논문인 《방정식의 대수적 해법에 관한 고찰(Réflexions sur la résolution algébrique des équations)》에서 언급하였으나 증명은 하지 않았다.agrange, J. L. (1771) "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" (part II), Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, pages 138-254 이 정리가 최초로 완전하게 증명된 것은 이탈리아 수학자 피에트로 아바티 마레스코티(Pietro Abbati Marescotti)의 1803년 출판된 글에서였다.P. Abbati (1803) "Lettera di Pietro Abbati Modenese al socio Paolo Ruffini da questo presentata il di 16. Décembre 1802", Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze, vol. 10 (part 2), pages 385-409. 이 정리는 이후에 코시 정리가 탄생하는 데 영감을 주기도 하였다.

 각주 

 외부 링크 



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