아벨 변환

수학에서 아벨 변환(-變換, ) 또는 아벨 보조정리(-補助定理, ) 또는 아벨 부분합 공식(-部分合公式, ) 또는 부분 합산(部分合算, )은 두 수열의 곱의 합을 다른 두 수열의 곱의 합으로 바꾸는 방법이다. 부분 적분의 이산적 형태다.

 정의 
아벨 변환에 따르면, 임의의 자연수  및 두 묶음의 복소수  및 에 대하여,

라고 하였을 때, 다음 등식이 성립한다.

보다 일반적으로, 가환환  및 -가군 , ,  및 -쌍선형 변환 이 주어졌을 때, 임의의 자연수  및 두 묶음의 가군 원소  및  및

에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

이는 단순히 식을 전개하고 재배열하여 증명할 수 있다.

 응용 
아벨 변환을 사용하여, 급수의 수렴과 관련된 여러 명제들을 증명할 수 있다. 그 중 일부는 다음과 같다.
 교대급수 판정법
 디리클레 판정법
 아벨 판정법
 크로네커 보조정리

 예 
 등차수열의 합 
처음 개의 양의 정수의 합

을 구하자.

라고 하자. 그렇다면 첫 번째 수열의 부분합은

이다. 따라서, 등차수열의 합에 아벨 변환을 가하면 다음을 얻는다.

우변의 급수를 이항하고 양변을 2로 나누면, 처음 개의 양의 정수의 합

을 얻는다.

 제곱수의 합 
제곱수의 합

을 생각하자.

라고 하였을 때, 등차수열의 합의 공식에 따라

이다. 아벨 변환을 가한 결과는 다음과 같다.

이다. 따라서, 제곱수의 합은

이다.

마찬가지로, 임의의 거듭제곱수의 합을 아벨 변환을 통하여 귀납적으로 구할 수 있다.

 교대급수 
교대급수

는 교대급수 판정법에 따라 수렴한다. 이 교대급수의 부분합에 대하여 아벨 변환을 직접 적용해 보자.

로 놓자. 그렇다면

이다. 따라서 아벨 변환을 적용한 결과는 다음과 같다 (는 바닥 함수).

여기에 극한 를 취하면 다음을 얻는다.

새로운 급수는 비교 판정법에 의하여 수렴하므로, 교대급수 역시 수렴한다.

 역사 
닐스 헨리크 아벨의 1826년 논문의 한 정리의 증명에 처음 등장한다.

 같이 보기 
 아벨 극한 정리
 아벨의 합 공식

 참고 문헌 

 외부 링크 





분류:총합법
분류:미적분학
분류:보조정리