아벨 판정법

미적분학에서 아벨 판정법()은 급수의 수렴 판정법의 하나다. 이에 따르면, 수렴급수에 단조 유계 수열을 이루는 계수를 붙여도 수렴한다.

 정의 
 실수 항 급수 
두 실수 수열 , 이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 급수 은 수렴한다.
 은 단조수열이자 유계 수열이다.
아벨 판정법에 따르면, 급수

역시 수렴한다.

은 단조수열 유계 수열이므로, 어떤 실수로 수렴한다.

라고 하자. 는 단조수열이며, 0으로 수렴한다. 또한, 급수

이 수렴하므로, 부분합이 유계 수열이다. 디리클레 판정법에 의하여, 급수

는 수렴한다. 따라서, 급수

역시 수렴한다.

라고 하자. 임의의 에 대하여,

인 자연수 이 존재한다. 아벨 변환에 의하여, 임의의  및 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 급수

의 부분합은 코시 수열이다. 따라서 이 급수는 수렴한다.

 이상 적분 
실수 값 함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 는 임의의 에서 리만 적분 가능하며, 또한 이상 적분 는 수렴한다.
 는 단조함수이자 유계 함수이다.
그렇다면, 이상 적분

는 수렴한다.

가 단조 유계 함수이므로, 극한

가 존재한다. 함수 는 단조함수이며, 0으로 수렴한다. 이상 적분

가 수렴하므로,

는 유계 함수이다. 이상 적분에 대한 디리클레 판정법에 의하여, 이상 적분

는 수렴한다. 따라서, 이상 적분

역시 수렴한다.

이라고 하자. 임의의 에 대하여,

인 가 존재한다. 제2 적분 평균값 정리에 따라, 임의의 에 대하여, 어떤 가 존재하며, 다음이 성립한다.

따라서, 이상 적분

은 수렴한다.

 균등 수렴 
집합  및 두 실수 값 함수의 열 이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 함수 항 급수 는 균등 수렴한다.
 은 균등 유계 함수열이다. 또한, 임의의 에 대하여, 는 단조수열이다.
그렇다면, 함수 항 급수

역시 균등 수렴한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법의 직접적 증명을 조금 고치면 된다. 디리클레 판정법을 통한 증명은 더 이상 유효하지 않다. 구체적으로, 은 점별 극한 을 갖지만, 로 균등 수렴할 필요가 없다. 만약 가 한원소 집합이라면, 이는 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법이다.

 예 
아벨 판정법에 따라, 임의의 수렴급수

에 대하여, 다음 급수들 역시 수렴한다.

 참고 문헌 

 외부 링크 





분류:수렴판정법