사드의 정리

실해석학에서 사드의 정리(Sard-定理, )는 매끄러운 함수는 거의 모든 곳에서 임계점을 갖지 않는다는 정리다.

 정의 
사드의 정리에 따르면, 두  미분 가능 다양체 ,  사이의  함수 에 대하여, 만약

이라면 의 임계점(인 점)의 집합은 르베그 측도에 대하여 영집합이다.

 증명 
국소좌표계를 사용하여, 편의상 이고 으로 가정할 수 있다. 따라서, 사드의 정리는 다음 명제로부터 쉽게 증명할 수 있다.Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001
 n차원 유클리드 공간의 열린 부분집합 G에서 으로 가는 n변수 함수 f = (f1, ..., fn)가 있다고 하자.
 만약, f가 미분가능한 G의 점들을 임의로 모은 집합 E에 대하여 적당한 음이 아닌 실수 상수 에 대하여 f의 야코비안 행렬식이 를 만족한다면, E에서  이 성립한다.(여기서 는 외측도의 기호)
이 명제에서 을 취하면 사드의 정리가 되므로, 이 명제를 증명하면 곧바로 사드의 정리를 증명할 수 있다. 이 명제는 다음과 같은 단계에 의해 증명할 수 있다.
 우선 E에서 임의의 양수 k에 대하여 적당한 양수 l이 존재하여 (0, l]에 속하는 모든 수 m에 대해 부등식  이 성립한다는 것을 증명한다.
 다음으로, E가 유계라고 가정할 수 있음을 증명한다.
 E가 유계라 가정하면, 적당한 열린 집합 H가 존재하여 임의의 양수 k에 대해 E ⊂ H ⊂ G와  을 만족한다.
 1을 이용하면 임의의 x ∈ E에 대해 적당한 l(x) > 0이 존재하여 (0, l(x)]에 속하는 모든 m에 대해 B(x, m) ⊂ H이고,  을 얻는다.
 E에 속하는 x와 (0, l(x)/5]에 속하는 m에 대하여 B(x, m)은 E에 대한 비탈리 조건을 만족한다. 따라서, 비탈리 덮음 보조정리를 이용하면 F에 속하는 적당한 교차하지 않는 열린 공들 B1, B2, ...에 대하여 어떤 영집합을 제외하면  이 성립한다.
 이상으로부터  이 성립함을 증명한다.
 이상에서 분명히  이므로, 6의 부등식에서 s를 무한대로 가져가는 극한을 취하면  을 얻는데, k는 임의이므로 증명이 끝난다.

 역사 
미국의 수학자 아서 사드가 1942년에 증명하였고, 1965년에 일반화하였다.

 참고 문헌 

 외부 링크 



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