칸토어-르베그 정리

칸토어-르베그 정리(Cantor-Lebesgue theorem, -定理)는 조화해석학 및 실해석학의 정리로, 독일 수학자 게오르크 칸토어와 프랑스 수학자 앙리 르베그의 이름이 붙어 있다. 이 정리는 푸리에 급수의 수렴에 대한 필요조건을 제공한다.

 공식화 
E를 실수의 부분집합 [0, 2π)에 속하는 양측도의 가측 집합이라 하자. 만약 다음의 무한급수



가 E의 모든 점 x에서 수렴한다면, 다음이 성립한다.Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001, p.386.



 증명 
삼각 함수 항등식에 의해 사인 함수와 코사인 함수를 하나의 코사인 함수로 묶어서 다음과 같이 쓰자.



여기서  이므로, an나 bn 둘 중 하나라도 무한대에서 0으로 수렴하지 않는다면 cn는 0으로 수렴하지 않는다. 이를 가정하면, 무한급수의 수렴 필요조건에서 는 0으로 수렴해야 하므로, 적당한 수열  에 대하여



는 0으로 수렴하게 된다. 따라서  도 0으로 수렴한다. 이제 지배 수렴 정리를 이용하면,





을 얻는다. 그런데 이는 E가 양측도라는 조건에 모순이다.

 같이 보기 
 루진-당주아 정리

 각주 

 참고 문헌 
 Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001.

분류:푸리에 해석학
분류:실해석학
분류:해석학 정리