슈바르츠 보조정리

복소해석학에서 슈바르츠 보조정리(-補助定理, )는 푸앵카레 원판 위의 정칙 함수의 성질을 다루는 보조정리이다.

 정의 
열린 단위 원판  위의 정칙 함수 가 을 만족시킨다고 하자. 슈바르츠 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 275-276쪽.
 임의의 에 대하여, 이다.

 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 인 가 존재하거나, 이다.
 임의의 에 대하여 이다. 여기서 는 인 상수이다. (즉, 는  위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수이다.)
이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 원점과의 거리를 증가시키지 않는다.

 증명 
함수 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 는 정칙 함수이다. 최대 절댓값 원리에 의하여, 임의의  및 에 대하여,

이며, 따라서

이다. 즉, 일 경우 이며 (0에서도 자명하게 성립한다), 또한 이다.

만약 인 가 존재하거나, 이라면, 는 에서 최댓값 1을 가지므로, 상수 함수이다. 즉, 임의의 에 대하여 인 가 존재하며, 이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.

만약 임의의 에 대하여 이며, 가 인 상수라면, 자명하게 임의의 에 대하여 이며, 또한 이다.

 따름정리 
 단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류 
열린 단위 원판  위의 쌍정칙 함수 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는 뫼비우스 변환이며, 다음과 같은 꼴이다.

여기서 는 이며 인 상수이다.

 단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류의 증명 
이는 슈바르츠 보조정리로부터 간단히 증명된다. 함수 를 다음과 같이 정의하자.

이는  위의 쌍정칙 함수이며, 이다. 따라서,

는  위의 쌍정칙 함수이며, 이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여,

이므로, 이다. 따라서, 임의의 에 대하여 인 가 존재하며, 이다. 즉, 에 대하여,

이다. 즉, 를 취하면 된다.

 슈바르츠-픽 보조정리 
열린 단위 원판  위의 정칙 함수 가 주어졌다고 하자. 슈바르츠-픽 보조정리(-補助定理, )에 따르면, 다음이 성립한다.
 임의의 에 대하여,

 임의의 에 대하여,

 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 이 존재한다.
 임의의 에 대하여 이다. 여기서 는 이고 인 상수이다. (즉, 는  위의 쌍정칙 함수이다.)
이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 두 점 사이의 쌍곡 거리

를 증가시키지 않는다.

 슈바르츠-픽 보조정리의 증명 
임의의 를 취하고, 다음과 같은 함수 을 정의하자.

이들은  위의 쌍정칙 함수이며, 이므로,

는 정칙 함수이며, 이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, 임의의 에 대하여,

이다. 이는 각각 첫 번째 및 두 번째 부등식과 같다. 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 이 존재하는 것은

가  위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수인 것과 동치이며, 이는 가 쌍정칙 함수인 것과 동치이다.

 역사 
독일의 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 땄다.

 같이 보기 
 보렐-카라테오도리 정리

 각주 

 외부 링크 




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