파투 보조정리

실해석학에서 파투 보조정리()는 가측 함수의 열의 하극한의 르베그 적분과 르베그 적분의 하극한 사이에 성립하는 부등식이다.

 정의 
파투 보조정리에 따르면, 측도 공간  위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서 는 하극한이다.

다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.

그렇다면 각  및 에 대하여 이므로

이다. 이제 단조 수렴 정리에 따르면,

을 얻어, 증명이 끝난다.

 예 
 등식 
만약 이 같은 상수 함수의 열일 경우, 파투 보조정리는 등식이 된다.

 부등식 
실수선  위의 보렐 시그마 대수 와 그 위의 르베그 측도 를 생각하자.

가측 함수열

의 경우, 파투 보조정리의 좌변과 우변은 각각 0과 ∞이므로, 이는 등식이 아니다.

가측 함수열

의 경우도 파투 보조정리는 엄격한 부등식 0<1이다.

 역사 
프랑스의 수학자 피에르 파투()가 증명하였다.

 각주 

 외부 링크 





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