푸비니 정리

해석학에서 푸비니 정리(-定理, ) 또는 푸비니-토넬리 정리(-定理, )는 이중 적분은 두 번의 일변수 적분을 통해 구할 수 있고, 이는 두 변수에 대한 적분의 순서와 무관하다는 정리이다.

 정의 
 추이 측도로 유도된 측도의 경우 
다음이 주어졌다고 하자.
 시그마 유한 측도 공간 
 가측 공간 
 시그마 유한 추이 측도 
그렇다면, 곱 가측 공간  위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도 가 존재하며, 이는 시그마 유한 측도를 이룬다.

구체적으로 이 측도는 다음과 같다.

또한, 일반화 푸비니 정리(一般化-定理, )에 따르면, 다음이 성립한다.
 임의의 음이 아닌 가측 함수 에 대하여, 다음 함수는 가측 함수이다.

 임의의 가측 함수 에 대하여, 만약 의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 가 -적분 가능하다면, 거의 모든 에 대하여, 는 -적분 가능하다.)

 곱측도의 경우 
두 시그마 유한 측도 공간 와 가 주어졌다고 하자. 또한 가 곱측도 공간이라고 하자. 푸비니 정리에 따르면, 다음이 성립한다.
 임의의 음이 아닌 가측 함수 에 대하여, 다음 두 함수는 가측 함수이다.

 임의의 가측 함수 에 대하여, 만약 의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다.  (특히, 만약 가 -적분 가능하다면, 거의 모든 에 대하여 는 -적분 가능하며, 거의 모든 에 대하여 는 -적분 가능하다.)

이는 추이 측도에 대한 결과에서 다음 두 추이 측도를 취하여 얻는 특수한 경우이다.

 리만 적분 

직사각형  위에 정의된 함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 는  위에서 리만 적분 가능하다.
 임의의 에 대하여, 는  위에서 리만 적분 가능하다.
 임의의 에 대하여, 는  위에서 리만 적분 가능하다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
 와 는  위에서 리만 적분 가능하다.


다르부 적분의 정의에 따라, 임의의 에 대하여 리만 적분

가 존재한다는 가정 아래 다음 부등식이 성립함을 보일 수 있다.

여기서 와 은 각각 다르부 상적분과 다르부 하적분을 나타낸다. 따라서 만약 추가로 가 에서 리만 적분 가능할 경우 위 네 식이 모두 같아지므로 리만 적분

가 존재하며

이다. 남은 절반의 증명은 유사하다.

 이상 적분 

확장된 실수  및 실수  및 함수 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
 는 연속 함수이다.
 이상 적분 는  위에서 균등 수렴한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
 이상 적분 가 존재한다.

그 밖에도 다양한 꼴의 이상 적분에 대하여 유사한 결론이 성립한다.

 역사 
이탈리아의 수학자 귀도 푸비니의 이름이 붙어 있다.

 같이 보기 
 카발리에리의 원리
 쿠라토프스키-울람 정리

 각주 

 외부 링크 








분류:미적분학 정리
분류:실해석학 정리
분류:측도론 정리