칸토어 교점 정리

일반위상수학에서 칸토어 교점 정리(Cantor交點定理, )는 점점 작아지는 (공집합이 아닌) 콤팩트 집합들의 열의 교집합은 공집합이 아니라는 정리이다.

 정의 
위상 공간  속의 콤팩트 닫힌집합들로 구성된 하향 집합 가 주어졌다고 하자. 칸토어 교점 정리에 따르면, 인 것은 인 것과 동치이다.
증명:
이라면 자명하게 이다. 반대로 이라고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여, 하향 집합의 정의에 따라

이다. 따라서

는 의 열린 덮개이다. 그런데 는 콤팩트 공간이므로, 유한 부분 덮개

를 찾을 수 있다. 그렇다면 하향 집합의 정의에 의하여 의 하계

를 찾을 수 있다. 그런데 덮개의 정의에 의하여

이므로 이다.
특히,  속의 콤팩트 닫힌집합들의 하강 열

은 하향 집합을 이루므로 위 정리가 성립한다. 만약 가 하우스도르프 공간이라면 모든 콤팩트 집합이 닫힌집합이므로, 닫힌집합 가정을 생략할 수 있다.

약간 다른 형태로, 집합  속의 부분 집합들의 족 이 다음 조건을 만족시킨다면 유한 교차성()을 만족시킨다고 한다.
 임의의 유한 부분 집합 에 대하여, 
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 콤팩트 공간이다.
  속의 임의의 닫힌집합들의 족 가 유한 교차성을 만족시킨다면, 이다.
이로부터 하향 집합에 대한 형태를 쉽게 유도할 수 있다.

 차분한 공간 
호프만-미슬러브 정리로부터, 칸토어 교점 정리의 차분한 공간 형태를 유도할 수 있다. 차분한 공간  속에서, 콤팩트 포화 집합들로 구성된 하향 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
  역시 콤팩트 포화 집합이다.
 만약 가 열린집합이며, 라면, 인 가 존재한다.
 만약 라면, 이다.

임의의 의 열린 근방 필터 는 열린집합 격자 의 스콧 열린 필터이다. 가 하향 집합이므로,

역시 스콧 열린 필터를 이룬다. 호프만-미슬러브 정리에 의하여, 그 교집합

는 콤팩트 포화 집합이다. 또한, 호프만-미슬러브 정리에 의하여, 는 이 교집합의 열린 근방 필터이다.

만약 가 열린집합이며, 라면, 이므로, 는 어떤 의 열린 근방이다. 만약 이라면, 는 어떤 의 열린 근방이며, 이 경우 이다.

T1 공간의 모든 부분 집합은 포화 집합이다. 따라서, 차분한 T1 공간의 경우 포화 집합 조건을 생략하여도 좋다.

 역사 
게오르크 칸토어가 증명하였다. 칸토어 집합은 이 정리를 사용하여 공집합이 아님을 보일 수 있다.

 각주 

 외부 링크 




분류:위상수학 정리
분류:일반위상수학
분류:미적분학 정리