시그마 콤팩트 공간

일반위상수학에서 시그마 콤팩트 공간(σ-compact空間, )은 콤팩트 공간의 개념의 여러 변형 가운데 하나이다.

 정의 
 시그마 콤팩트 공간 
위상 공간 가 다음 조건을 만족시키면, 시그마 콤팩트 공간이라고 한다.
 가산 개의 콤팩트 집합들의 합집합이다. 즉, 인 콤팩트 집합의 열 가 존재한다.

혹자는 시그마 콤팩트 공간의 정의에 국소 콤팩트 공간 조건을 추가로 가정한다.

 반콤팩트 공간 
위상 공간 가 다음 조건을 만족시키면, 반콤팩트 공간이라고 한다.
 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 가 존재한다.
 임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 인 자연수 이 존재한다.
즉, 반콤팩트 공간은 시그마 콤팩트 공간에서 “점”을 “콤팩트 집합”으로 대체한 개념이다.

 성질 
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간
모든 국소 콤팩트 린델뢰프 공간은 반콤팩트 공간이다.

국소 콤팩트 린델뢰프 공간 가 주어졌다고 하자. 국소 콤팩트 조건에 따라,

인 열린 덮개  및 콤팩트 집합들의 집합족 가 존재한다. 린델뢰프 조건에 따라, 의 가산 부분 덮개 를 잡자. 이제,

은 유한 개의 콤팩트 집합들의 합집합이므로 콤팩트 집합이며, 임의의 콤팩트 집합 는 의 유한 개 원소의 합집합에 포함되므로, 어떤 에 포함된다. 즉, 는 반콤팩트 공간이다.

모든 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다.

귀류법을 사용하여, 제1 가산 반콤팩트 공간 가 국소 콤팩트 공간이 아니라고 하자. 반콤팩트성에 따라, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 을 잡자.
 임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 인 자연수 이 존재한다.
귀류법의 가정에 따라, 콤팩트 근방이 존재하지 않는 점 를 잡자. 제1 가산성에 따라, 의 가산 국소 기저

를 잡자. 임의의 에 대하여 을 고르자. 그렇다면,

는 콤팩트 집합이지만, 어떤 에도 포함되지 않으며, 이는 모순이다.

시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 닫힌집합은 반콤팩트 공간이다.

유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이다. 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 무한 개의 경우 두 명제 모두 성립하지 않는다.

만약

이며, 가 콤팩트 집합이라면,

이며, 는 콤팩트 집합들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합 , 에 대하여, , 인 이 존재하며,

가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합 에 대하여,

이다.

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.

 예 
가산 무한 이산 공간 은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 개 곱공간 은 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

곱공간을 로 적고, 사영 함수들을

로 적자. 임의의 콤팩트 집합의 열

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는 의 콤팩트 집합이므로, 유한 집합이다. 이제, 임의의 에 대하여

를 잡자. 그렇다면,

이므로, 는 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이지만, 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

만약 조르겐프라이 직선이 시그마 콤팩트 공간이라면, 조르겐프라이 평면 역시 시그마 콤팩트 공간이며, 특히 린델뢰프 공간이다. 이는 모순이다.

유리수 집합 는 시그마 콤팩트 공간이지만, 반콤팩트 공간이 아니다.

이는 가 제1 가산 공간이지만, 국소 콤팩트 공간이 아니기 때문이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 











분류:위상 공간의 성질