르베그 수

위상수학에서, 거리 공간의 열린 덮개의 르베그 수(Lebesgue數, )는 열린 덮개의 섬세함을 측정하는 수이다. 구체적으로, 르베그 수보다 더 작은 지름을 갖는 집합은 열린 덮개의 한 원소에 속하게 된다. 르베그 수의 존재는 콤팩트 거리 공간과 완비 거리 공간 사이에 있는 성질이다.

 정의 
유사 거리 공간 의 덮개 의 르베그 수는 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 이다.
 임의의 부분 집합 에 대하여, 라면 인 가 존재한다.
여기서

는 유사 거리 공간의 지름이다.

 성질 
 유일성 
유사 거리 공간 의 덮개 의 르베그 수 가 존재한다면, 보다 작은 양의 실수는 마찬가지로 의 르베그 수이다.

정의에 따라, 유사 거리 공간 의 덮개 의 르베그 수가 존재한다면, 그 최대 르베그 수가 존재하며, 이는 덮개의 불변량이다.

 존재 
르베그 수 보조정리(-數補助定理, )에 따르면, 콤팩트 유사 거리 공간의 열린 덮개의 르베그 수는 항상 존재한다.
증명:
콤팩트 유사 거리 공간 의 열린 덮개 가 주어졌다고 하자. 콤팩트성에 따라 유한 부분 덮개

가 존재한다. 이제,

이 의 르베그 수임을 보이면 된다. (우변의 최솟값은 콤팩트 공간에 정의된 연속 함수에 대하여 취한 것이므로 반드시 존재하며, 양의 실수이다.) 임의의

가 주어졌다고 하자. 임의의 를 고르자. 그렇다면,

이므로,

인 이 존재한다. 임의의 에 대하여,

이므로, 이다. 즉, 이다.

유사 거리 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 임의의 열린 덮개의 르베그 수가 존재한다.
 임의의 거리 공간  및 연속 함수 에 대하여, 는 균등 연속 함수이다.
 임의의 연속 함수 는 균등 연속 함수이다.
 임의의 서로소 닫힌집합 에 대하여, 
여기서

이다.

콤팩트 유사 거리 공간이 첫 번째 조건을 만족시키는 것은 르베그 수 보조정리의 내용이다. 콤팩트 유사 거리 공간이 두 번째 조건을 만족시키는 것은 하이네-칸토어 정리이다.

유사 거리 공간 의 임의의 열린 덮개가 르베그 수를 갖는다면, 는 완비 유사 거리 공간이다. 특히, 하이네-보렐 정리에 따라, 유사 거리 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 콤팩트 공간이다.
 완전 유계 공간이며, 임의의 열린 덮개의 르베그 수가 존재한다.

유사 거리 공간 의 임의의 열린 덮개가 르베그 수를 갖는다면, 의 유도 집합 은 콤팩트 공간이다. 특히, 임의의 열린 덮개가 르베그 수를 갖는 자기 조밀 유사 거리 공간은 콤팩트 공간이다.

 예 
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 닫힌구간 의, 유한 개의 열린구간들로 구성된 덮개

를 생각하자. 그렇다면,

는 의 르베그 수이다.

각 에 대하여, 인 을 취하자. 그렇다면, 길이  미만의 구간

에 대하여, 만약

이라면,

이다. 반대로 만약

이라면,

이다.

 콤팩트 공간이 아닌, 모든 열린 덮개의 르베그 수가 존재하는 거리 공간 
이산 거리 공간 에서, 모든 열린 덮개는 르베그 수를 갖지만, 무한 이산 공간은 콤팩트 공간이 아니다.

 르베그 수가 존재하지 않는 열린 덮개가 존재하는 완비 거리 공간 
실수선  위의 표준적인 거리 함수는 완비 거리 공간을 이룬다. 그러나,

는 열린 덮개이지만 르베그 수를 갖지 않는다.

 응용 
르베그 수 보조정리는 다음과 같은 문제들을 풀 때 사용될 수 있다.
 르베그 측도가 측도의 성질을 만족하는 것을 보일 때Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics
 하이네-칸토어 정리의 증명
 점렬 콤팩트 거리 공간이 콤팩트 공간임을 보일 때

 참고 문헌 

 외부 링크 







분류:일반위상수학
분류:보조정리
분류:위상수학 정리