튜브 보조정리

튜브 보조정리(tube lemma, -補助定理)는 위상수학에서 콤팩트 공간과 그 확장 공간들의 곱공간을 다루기 위해 사용되는 보조정리이다. 주로 티호노프 정리로 나아가기 전 단계에서 사용되거나, 티호노프 정리의 성질을 만족하지 않는 일반화된 콤팩트 공간들의 곱공간을 다룰 때 사용된다.

 정의 
튜브 보조정리는 다음과 같은 내용이다.
 위상 공간 X, Y에 대하여 Y가 콤팩트 공간일 때, X×Y의 열린 집합 N이 X의 어떤 한 점 x에 대해 {x}×Y를 포함한다면, x의 적당한 근방 W에 대하여 N은 W×Y를 포함한다.
이때 N에 포함되는 근방 W와 Y의 곱공간을 튜브라고 부른다.

 일반화 
튜브 보조정리는 다음과 같이 간단히 일반화할 수 있다.Ibid., p.171.
 위상 공간 X, Y에 대하여 A, B가 각각 X, Y의 부분공간이며 X×Y의 열린 집합 N이 A×B를 포함한다고 하자. 그러면, 만약 A와 B가 콤팩트라면 X, Y의 열린 부분집합 U, V가 존재하여, A×B ⊂ U×V ⊂ N을 만족한다.
원래의 튜브 보조정리는 이 일반화 형태에서 A = {x}, B = Y로 둔 형태이다.

 응용 예 
튜브 보조정리를 이용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
 콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱공간은 콤팩트 공간이다.
 콤팩트 공간과 파라콤팩트 공간의 곱공간은 파라콤팩트 공간이다.
 콤팩트 공간과 메조콤팩트 공간의 곱공간은 메조콤팩트 공간이다.
 콤팩트 공간과 메타콤팩트 공간의 곱공간은 메타콤팩트 공간이다.

 같이 보기 
 곱위상
 티호노프 정리

 각주 

분류:일반위상수학
분류:보조정리