보렐-칸텔리 보조정리

확률론에서, 보렐-칸텔리 보조정리()는 일련의 사건들 가운데 무한 개가 일어날 확률이 0일 충분 조건과 1일 충분 조건을 제시하는 정리이다.

 정의 
보렐-칸텔리 보조정리는 (제1) 보렐-칸텔리 보조정리()와 제2 보렐-칸텔리 보조정리()로 구성된다.

확률 공간  속 사건의 열 에 대하여, 다음이 성립한다.
 (제1 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 라면, 이다.
 (제2 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 이며 가 독립이라면, 이다.

증명 1: 가정 및 확률 측도의 성질에 따라

이다. 따라서

이다.

증명 2: 다음과 같은, 확장된 실수 값의 확률 변수를 정의하자.

그렇다면 단조 수렴 정리에 따라 다음이 성립한다.

따라서

이다.

미적분학을 사용하여 다음 부등식을 보일 수 있다.

이 부등식과 의 독립성에 따라, 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.

따라서 다음이 성립한다.

 일반화 
제2 보렐-칸텔리 보조정리는 다음과 같이 일반화할 수 있다.

 코첸-스톤 부등식 
확률 공간  속 사건의 열 에 대하여,

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

 만약 라면, 이다.
 특히, 만약 라면 위 확률은 0보다 크다.
 특히, 만약 이라면 위 확률은 1이다.
 만약 이며 가 쌍마다 독립이라면, 이다. 따라서 코첸-스톤 부등식은 제2 보렐-칸텔리 보조정리를 일반화한다.

 페트로프의 일반화 
확률 공간  속 사건의 열  및 임의의 실수 에 대하여,

라고 하자. 그렇다면, 만약

라면,

이다.

특히, 코첸-스톤 부등식은 인 특수한 경우이다.

 역사 
에밀 보렐과 프란체스코 파올로 칸텔리()가 제시하였다.

사이먼 버나드 코첸()과 찰스 졸 스톤()이 한 가지 일반화를 제시하였다. 발렌틴 블라디미로비치 페트로프()는 보다 더 일반적인 결과를 내놓았다.

 같이 보기 
 무한 원숭이 정리
 참고 문헌 

 외부 링크 


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