여덟 퀸 문제

8 퀸 문제는 8x8크기의 체스판에 퀸을 8개 배치하는 문제이다. 1848년 막스 베첼이 처음 제안하였다. 이 문제를 일반화하면 NxN 크기의 체스판에 퀸을 N개 배치하는 N 퀸 문제가 된다. 구성적인 해법으로 N이 2,3인경우를 제외하고 해를 찾을 수 있다.

 해 
8x8의 해를 나열하면 아래와 같다.

 N 퀸 문제 
아래에는 n개의 퀸을 n × n 판에 나타내는 해의 수를 나타내었다. 고유한 해(선대칭이나 점대칭으로 대칭인 해)는 온라인 정수열 사전에서에 일반적인 해(대칭을 구별한 해)는에 등재되어 있다.
n:1234567891011121314..242526unique:10012161246923411,7879,23345,752..28,439,272,956,934275,986,683,743,4342,789,712,466,510,289distinct:100210440923527242,68014,20073,712365,596..227,514,171,973,7362,207,893,435,808,35222,317,699,616,364,044

 연관 문제 
  다른 기물 사용 
32개의 나이트, 14개의 비숍, 8개의 룩, 16개의 킹이 필요하다.
  다른 판 모양 
토러스형이나 원통형 조건에 대해 생각할 수 있다. 토러스에서는 폴리아의 연구에 의해 n이 6과 서로소일 때 nxn정사각형판에 n개의 퀸을 채울 수 있다.

 풀이 프로그램 
아래는 재귀적으로 해를 구성하는 C++ 코드이다.
#include <iostream>
#include <cmath>

#define MAX_SIZE 8
// 최대 MAX_SIZE queen 문제까지 해결할 수 있다.

using namespace std;

int board[MAX_SIZE];
// board[i]는 i번째 행에 퀸이 몇번째 열에 있는지 의미하는 변수이다. (행열은 서로 바뀌어도 된다.)
// 즉 board[0] = 3일때, (1,4) 혹은 (4,1) 위치에 퀸이 있다
int n;
int cnt;

void path(int y) {
	// y는 현재 몇개의 퀸이 배치되었는지를 의미하는 변수다.
	int ko;
	if( y == n ) {
		// n개의 퀸이 배치가 되었다면 이 경우는 답이다.
		cnt++;
		return;
	}
	for( int i=0; i<n; i++ ) {
		// ko는 퀸이 배치될 수 있는지를 저장하는 플래그다.
		ko = 1;
		for( int j=0; j<y; j++ ) {
			// 이미 배치가 끝난 퀸을 참고해서 i번째 칸에 퀸을 설치할 수 있는지를 확인한다.
			if( board[j] == i || abs(y-j) == abs(i-board[j]) ) {
				// j번째 줄에 있는 퀸과 같은 칸에 있거나, 대각선에 같은 곳에 있다면, i번째 칸에 대한 탐색을 중단한다.
				ko = 0;
				break;
			}
		}
		if( ko ) {
			// 여기까지 왔다면 y번째 줄에 i번째 칸에 퀸을 놔두는 것이 가능하다.
			board[y] = i;
			path(y+1);
		}
	}
}

int main() {
	int k;
	cin >> k;

	while( k-- ) {
		cin >> n;
		cnt = 0;
		path(0);

		cout << cnt << '\n';
	}

	return 0;
}

아래 애니메이션을 보면 재귀적으로 해를 탐색하는 과정을 알 수 있다.

파일:Eight-queens-animation.gif

 같이 보기 
 루크 다항식

분류:퍼즐
분류:열거조합론
분류:수학적 체스 문제