하이네-보렐 정리

일반위상수학에서 하이네-보렐 정리()는 균등 공간이 콤팩트 공간일 필요충분조건을 제시하는 정리이다.

 정의 
하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 콤팩트 공간이다.
 완비 균등 공간이며, 완전 유계 공간이다.

콤팩트 균등 공간  위의 코시 필터는 집적점을 가지며, 따라서 이 집적점으로 수렴한다. 즉, 모든 콤팩트 균등 공간은 완비 균등 공간이다. 이제, 가 완전 유계 공간임을 보이자. 임의의 측근 에 대하여, -작은 집합들로 구성된 의 유한 덮개를 찾으면 족하다. 다음 조건들을 만족시키는 측근 가 존재한다.

 는 대칭 관계이다.
 는 열린집합이다.
이제

라고 하자. 그렇다면, 는 유한 부분 덮개 를 갖는다. 또한, 모든 는 -작은 집합이다.

반대로, 균등 공간 가 완비 균등 공간이자 완전 유계 공간이라면, 콤팩트 공간임을 보이자. 임의의  위의 극대 필터 가 수렴함을 보이면 족하다. 가 완비 균등 공간이므로, 가 코시 필터임을 보이면 족하다. 임의의 측근 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 완전 유계성에 따라 -작은 집합들로 구성된 의 유한 덮개 이 존재한다. 는 극대 필터이므로, 인 이 존재한다.

특히, 가 유클리드 공간의 부분 집합이라고 하자. 그렇다면, 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 완전 유계 공간이다.
 유계 집합이다.
마찬가지로, 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 완비 균등 공간이다.
 닫힌집합이다.
따라서, 의 경우 하이네-보렐 정리에 따라 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 콤팩트 공간이다.
 유계 집합이며 닫힌집합이다.

 예 
 위의 이산 거리 공간을 생각하자. 그 속의 부분 집합 은 유계 닫힌집합이며 완비 거리 공간이지만 완전 유계 공간이 아니며, 따라서 콤팩트 집합이 아니다.

 역사 
에두아르트 하이네와 에밀 보렐의 이름을 땄다.

 같이 보기 
 볼차노-바이어슈트라스 정리
 각주 





분류:실해석학 정리
분류:일반위상수학
분류:위상수학 정리