적분 변환

함수해석학에서 적분 변환(積分變換, )은 어떤 핵()과의 적분으로 정의되는, 함수 공간 또는 단면 공간 위의 선형 변환이다. 원래 함수의 특성을 좀 더 쉽게 포착하고 응용하기 위해 사용한다. 보통은 변환된 함수를 역변환을 통해 원래 함수 공간으로 매핑할 수 있다.

 간단한 형태 
적분 변환은 어떤 변환 에 대해 다음과 같이 나타난다.

는 선형 변환에 사용한 함수를, 는 변환된 함수를 나타낸다. 적분 변환은 일종의 수학적 연산자이다.

는 원래의 함수와 변환된 함수의 변수를 모두 가지고 있는 함수로, 적분변환은 이 함수를 잘 선택하여 얻는다. 위 식에서 를 변환의 커널(kernel) 혹은 핵이라고 부른다.

어떤 커널들은 자신과 연관된 (간단하게 말해서)역커널 이 존재하고, 그것에 대해 역변환을 생각할 수 있다.

한편, 커널의 변수의 위치를 바꿔도 커널이 바뀌지 않는 커널을 대칭커널이라고 한다.. 다시 말해서 인 커널 은 대칭커널이다. 적분 방정식에서 대칭 커널은 자기 수반 연산자이다.

 정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발  및 
그렇다면, 곱공간 의 사영 함수

를 통해,  위의 매끄러운 벡터 다발

를 정의할 수 있다.

-핵(核函數, )은 다음과 같은 꼴의 매끄러운 단면이다.

(여기서 는 매끄러운 단면의 공간을 뜻하며, 는 무게 의 텐서 밀도의 실수 선다발을 뜻한다.)

 일반화 단면 
에 추가로 매끄러운 노름이 주어졌다고 하자.

이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.

여기서
 는 콤팩트 지지 매끄러운 단면들의 공간이다.
 은  위의, 무게 의 텐서 밀도의 실수 선다발이다.
이 위에는 균등 노름을 부여하여 노름 공간으로 만들 수 있다.

의 일반화 단면(一般化斷面, )의 위상 벡터 공간은 위 노름 공간의 연속 쌍대 공간이다. 이를

로 표기하자.

 적분 변환 
-핵 에 대응되는 적분 변환은 다음과 같은 꼴의 실수 선형 변환이다.

 성질 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 콤팩트 매끄러운 다양체 
  위의 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발  및 
 와  위의 (매끄러운) 노름
슈와르츠 핵 정리(Schwartz核定理, )에 따르면, 콤팩트 공간  위에서 핵의 공간과 적분 변환의 공간 사이에는 다음과 같은 표준적인 전단사 실수 선형 변환이 존재한다.

여기서 는 유계 작용소들의 노름 공간을 뜻한다.

 예 
유클리드 공간 위의, 흔히 사용되는 적분 변환들은 다음과 같다.

+ 적분 변환 목록 변환 기호  t1 t2  u1 u2 푸리에 변환        하틀리 변환        멜린 변환        양측 라플라스 변환        라플라스 변환        바이어슈트라스 변환        항켈 변환        아벨 변환        힐베르트 변환        푸아송 핵       동일 변환       

 역사 
슈와르츠 핵 정리는 로랑 슈와르츠가 1952년에 유클리드 공간에 대하여 발표하였다.L. Schwartz, "Théorie des noyaux" , Proc. Internat. Congress Mathematicians (Cambridge, 1950) , 1 , Amer. Math. Soc. (1952) pp. 220–230

 각주 

 같이 보기 
 미분방정식
 합성곱

 외부 링크 









분류:해석학 (수학)