정부호 행렬

정부호 행렬(定符號行列, ) 또는 정치 행렬(定置行列)은 에르미트 행렬의 일종으로, 특정한 성질을 가지는 행렬에 대해 양수/음수와 같이 부호를 정의하는 것으로 생각할 수 있다.

 정의 
에르미트 행렬의 고윳값은 항상 실수다.  에르미트 행렬 은 그 고윳값의 부호에 따라서 다음과 같이 분류한다.
 모든 고윳값이 음수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 에 대해 인 경우) 은 양의 준정부호 행렬(陽-準定符號行列, )이다.
 모든 고윳값이 양수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 에 대해 인 경우) 은 양의 정부호 행렬(陽-定符號行列, )이다.
 모든 고윳값이 양수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 에 대해 인 경우) 은 음의 준정부호 행렬(陰-準定符號行列, )이다.
 모든 고윳값이 음수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 에 대해 인 경우) 은 음의 정부호 행렬(陰-定符號行列, )이다.
 양의 준정부호 또는 음의 준정부호가 아닌 경우 (즉, 양수 및 음수 고윳값을 둘 다 가진 경우) 은 부정부호 행렬(不定符號行列, )이다.
실수체에서 정의하는 경우, 에르미트 행렬  대신 대칭행렬 , 켤레전치 대신 전치 를 사용한다.

 비(非)에르미트 행렬의 경우 
일부 문헌에서는 에르미트 행렬이 아닐 수 있는 행렬 에 대해서도 정부호 행렬을 정의하며, 이 경우  대신 그 실수부 를 사용한다. 이 경우 의 정부호성은 그 에르미트 성분 의 좁은 의미의 정부호성과 동치이다.

 예제 
행렬 은 양의 정부호 행렬이다. 모든 복소수 벡터 에 대해, 이 되고, 이나 이 둘 다 0이 아니라면 이 값은 0보다 크다. 실수 범위에서만 생각할 경우 가 되고, 역시 모든 실수에 대해 동일한 성질이 성립한다.

반면, 은 부정부호 행렬이다. 에 대해서 가 되기 때문이다.

 성질 
 복소수 양의 정부호 행렬 에 대해, 다음의 성질이 항상 성립한다.
 고윳값이 모두 양수이다.
 임의의 두 벡터 에 대해 로 내적을 정의하는 것이 가능하다. 반대로, 복소수 벡터 공간 에서 정의할 수 있는 내적은 모두  양의 정부호 행렬에 대한 곱으로 표현이 가능하다.
 은 그람 행렬이다. 즉, 어떠한 선형 독립인 벡터 가 존재하여, 가 성립한다.
 이 성립하는 하삼각행렬 이 유일하게 존재한다. 이러한 분해를 촐레스키 분해라고 부른다.

 대칭행렬의 성질로부터 정부호 행렬의 역행렬도 동일한 정부호 행렬이다.

 같이 보기 
 멱등 행렬
 부호 행렬

 각주 

 외부 링크 






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