판아우벌 정리

판아우벌 정리는 네덜란드 수학자 헨리퀴스 휘베르튀스 판아우벌(Henricus Hubertus van Aubel)의 이름이 붙은 정리이다.

 공식화 
섬네일|판아우벌 정리

삼각형 ABC (△ABC)의 각 꼭짓점에서 삼각형 ABC 내부의 임의의 한 점 P와 만나는 세개의 직선 AP, BP, CP가 각각 선분 BC, CA, AB와 만나는 점을 , , 이라고 할 때 (, , )

다음과 같은 식이 성립하는데,

이를 판아우벌 정리라고 한다.

 증명 Ⅰ 
는 삼각형 의 면적을 뜻한다.

삼각형 와 삼각형 는 동일한 선분 를 밑변으로 가지고 있으므로 높이(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서
가 성립하는데

이것은
을 내포한다.

또 삼각형 과 삼각형 을 보면 두 삼각형은 동일한 선분 을 같은 높이로 가지고 있으므로 밑변(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서
가 성립한다.

위와 동일한 방법으로

을 얻을 수 있다.

따라서

위 식을 정리하면,
(i)   

이와 같은 방법으로 동일하게 구하면

(ii)  

(i)식과 (ii)식을 각각 더하면

판아우벌 정리를 증명할 수 있다.

 증명 Ⅱ 
판아우벌 정리는 메넬라오스 정리와 체바 정리를 이용하여 증명할 수 있다.

삼각형 과 직선 에 대해서 메넬라오스 정리가 성립한다.

이 식을 변형하면,

따라서,

(i) 

삼각형 에서 체바 정리가 성립한다.

따라서,

(ii) 

(ii)식을 (i)식에 대입하면

 증명 Ⅲ 

판아우벌 정리는 삼각함수를 이용하여 증명할 수 있다.

 같이 보기 
 다 빈치
 피카소

 참고 

 외부 링크 

 Van Aubel's Theorem: an interactive JavaSketch of the figure.

 Van Aubel's Theorem for Quadrilaterals and Van Aubel's Theorem for Triangles by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
 Van Aubel's Theorem and some generalizations at Dynamic Geometry Sketches

분류:사각형에 대한 정리