몰리 삼등분 정리

기하학에서 몰리 삼등분 정리(三等分定理, )는 삼각형의 한 가지 경이로운 성질에 대한 정리이다. 이에 따르면, 임의의 삼각형의 각의 삼등분선의 이웃하는 것들끼리의 교점은 정삼각형의 꼭짓점을 이룬다.

 정의 
삼각형 의 각 와 의 변 와 더 가까운 삼등분선의 교점이 라고 하자. 마찬가지로 각 와 의 변 와 더 가까운 삼등분선의 교점이 라고 하고, 각 와 의 변 와 가까운 삼등분선의 교점이 라고 하자. 몰리 삼등분 정리에 따르면, 삼각형 는 정삼각형이다. 삼각형 를 삼각형 의 몰리 삼각형(三角形, )이라고 한다. 즉, 몰리 삼등분 정리는 임의의 삼각형의 몰리 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.

 증명 
 초등적 증명 
정삼각형 를 고정하자. 임의의 삼각형 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 삼각형 를 찾는 것으로 족하다.
 삼각형 와 은 서로 닮음이다.
 삼각형 의 몰리 삼각형은 삼각형 이다.
우선

이라고 하자. 그렇다면

이다. 삼각형  외부의 세 점 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면

이다. 이제 와 , 와 , 와 가 삼각형 의 세 각의 삼등분선이라는 사실을 증명하자. 직선 와 의 교점이 라고 하고, 직선 와 의 교점이 라고 하고, 직선 와 의 교점을 라고 하자. 그렇다면

이므로 이며, 삼각형 와 는 서로 합동이다. 특히, 반직선 는 각 의 이등분선이다. 또한,

이므로,

이다. 즉, 는 삼각형 의 내심이며, 반직선 와 는 각 와 의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선 와 는 삼각형 의 두 각의 이등분선이며, 반직선 와 는 삼각형 의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형 의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형 는 삼각형 의 몰리 삼각형이다. 또한,

이므로, 삼각형 와 은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형 의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다.

 삼각법을 통한 증명 
몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다. 삼각형 의 외접원의 반지름이 라고 하고,

라고 하자. 그렇다면

이다. 삼각형 에 사인 법칙을 적용하면

를 얻는다. 마지막 등호는 항등식

때문이다. 마찬가지로,

가 성립한다. 삼각형 에 코사인 법칙을 적용하면

를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가 와  및 인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉,

이다. 이는 에 대하여 대칭적이므로,

가 성립한다.

 역사 
미국의 수학자 프랭크 몰리가 1900년에 제시하였다.

 같이 보기 
 나폴레옹 정리

 각주 


 외부 링크 


분류:삼각형에 대한 정리