오일러 지표

대수적 위상수학과 조합론에서 오일러 지표(Euler指標, )란 위상 공간 또는 그래프의 위상수학적 불변량의 하나인 정수다. 즉, 공간의 크기나 왜곡에 관계없는 값이다. 오일러-푸앵카레 지표(Euler-Poincaré characteristic)라고도 부른다. 기호는 그리스 문자 이다.

 정의 
사슬 복합체 의 호몰로지 가 모두 유한 계수를 갖는다고 하고, 또한 이 어떤 최저·최고 차수 밖에서는 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, 사슬 복합체 의 오일러 지표 는 다음과 같은 정수이다.

위상 공간 의 오일러 지표 는 그 특이 사슬 복합체의 오일러 지표이다. CW 복합체 의 오일러 지표는 세포 사슬 복합체의 오일러 지표이다. 특히, 그래프나 다면체는 자연스럽게 CW 복합체를 이루므로, 오일러 지표를 조합론적으로 계산할 수 있다.

 예 
 다면체 

v를 꼭짓점, e를 모서리, f를 면의 수라고 할 때 오일러 지표 는 다음과 같다.

오일러 지표는 위상수학적 불변량이고, 모든 다면체는 구와 위상동형이므로, 다면체의 오일러 지표의 값은 그 모양에 관계 없이 항상 2이다.
이름그림꼭짓점v모서리e면f오일러 지표:v - e + f정사면체50px4642정육면체50px81262정팔면체50px61282정십이면체50px2030122정이십면체50px1230202

 곡면 
일반적인 곡면이 주어지더라도 표면에 다각형을 그려서 오일러 지표를 계산할 수 있다.
이름그림오일러 지표폐구간100px1원100px0원판(disk)100px1구100px2토러스(Torus)  (두 원의 곱집합)100px0이중 토러스100px-2삼중 토러스100px-4실사영평면(Real projective plane)100px1뫼비우스 띠100px0클라인 병100px0연결되지 않은 두 개의 구  (교점이 없는 두 구의 합집합)100px100px2 + 2 = 4

 역사 
레온하르트 오일러가 다면체에 대하여 정의하였다. 이후 이 개념은 대수적 위상수학을 통해 일반적인 위상 공간의 호몰로지에 대하여 일반화되었다.

 같이 보기 
 오일러 특성류
 참고 문헌 


 외부 링크 



분류:위상수학
분류:사람 이름을 딴 낱말
분류:대수적 위상수학
분류:위상 그래프 이론
분류:레온하르트 오일러