적분 판정법

미적분학에서 적분 판정법(積分判別法, )은 음이 아닌 실수 항 급수와 음이 아닌 실수 값 함수의 이상 적분의 수렴성 사이의 관계를 나타내는 수렴 판정법이다.

 정의와 증명 
음이 아닌 실수 값 감소함수

가 주어졌다고 하자. (특히, 는 임의의 에서 리만 적분 가능하다.) 적분 판정법에 따르면,  다음 두 조건이 서로 동치이다.
 급수 는 수렴한다.
 이상 적분 은 수렴한다.
또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.

음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수의 이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의  및 에 대하여,

이다.  위의 리만 적분을 취하면

이 된다. 에 대한 급수를 취하면

이 된다. 이는

임에 따른다. 따라서, 만약

라면

이며, 만약

라면

이다. 즉, 수렴 여부가 동치다.

 예 
급수

를 생각하자. (혹자는 이를 p-급수()라고 부른다.) 만약 이라면, 이 급수는 자명하게 발산한다. 이제, 이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 이 급수의 수렴 여부는 다음 이상 적분이 수렴하는지 여부와 동치이다.

만약 이라면,

이다. 만약 이라면,

이다. 따라서, 이 급수는 일 때 수렴하며, 일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 급수의 에 따른 수렴 여부에 기반한다.

보다 일반적으로, 급수

를 생각하자. 이전 예 및 비교 판정법에 의하여, 이 급수는 일 때 수렴하며, 일 때 발산한다. 이제 이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분

의 수렴 여부와 같다. 이는

임에 따른다. 만약 이라면,

이다. 만약 이라면,

이다. 따라서, 이 급수는 이거나 , 일 때 수렴하며, , 이거나 일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의 에 따른 수렴 여부에 기반한다.

마찬가지로, 급수

의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다.  위의 사전식 순서를 로 적을 때, 이 급수는 일 때 수렴하며, 일 때 발산한다.

 같이 보기 
 수렴판정법
 비교 판정법
 지배 수렴 정리
 극한 비교 판정법
 단조 수렴 정리

 각주 

 외부 링크 






분류:수렴판정법
분류:적분학