베르트랑 공준

수론에서, 베르트랑 공준(), 베르트랑-체비쇼프 정리(), 혹은 베르트랑 가설은 소수들의 분포에 관한 정리다. 이에 따르면, 두 자연수 과  사이에 적어도 하나의 소수가 존재한다.

 정의 
베르트랑 공준은 다음과 같다. 임의의 정수 에 대하여,

인 소수 가 항상 존재한다.

 증명 
여러 가지 증명이 있으며, 다음은 대표적인 셋이다. 이 가운데 에르되시 팔의 증명은 해석학을 거의 사용하지 않는다는 데서 초등적이다.

 체비쇼프의 증명의 개요 
가 소수 계량 함수라고 하자. 그렇다면 베르트랑 공준은 다음과 같은 명제와 동치이다.

파프누티 체비쇼프는 다음을 만족시키는 양의 실수 를 찾았다.

(이는 소수 정리보다 약한 결과이지만, 증명은 여전히 복잡하다.) 이 경우, 임의의 에 대하여

이다. 인 경우는 직접 확인한다.

 라마누잔의 증명 
스리니바사 라마누잔의 증명은 감마 함수와 그 스털링 근사를 사용하며, 체비쇼프의 증명보다 단순하다. (괄호 속은 라마누잔이 생략한 내용이다.) 체비쇼프 함수

를 생각하자. 다음을 보이면 족하다.

다음과 같은 항등식이 성립한다. (체비쇼프 함수 참고.)

이에 따라

이다. 그런데 두 체비쇼프 함수 모두 비감소 함수이므로, 특히

가 성립한다.

이제, 감마 함수의 로그 볼록성에 따라

이다. (증명: 두 부등식의 증명은 유사하므로 두 번째 부등식만을 증명한다. 이를 다음과 같이 다시 쓰자.

만약 라면, 좌변은 0보다 작고 우변은 0보다 크므로 위 부등식은 참이다. 만약 라면, 와 의 차는 정확히 와 의 차의 2배이므로, 위 부등식은 단순히 의 볼록성이다.)

이제, 감마 함수에 대한 스털링 근사

를 사용하면 위 부등식으로부터

을 얻는다. (증명: 둘의 증명은 유사하므로 첫 번째만 증명한다. 위 스털링 근사에 따라

이다. 마지막 식을 라고 하자. 그렇다면

는 일 때 0보다 크고 일 때 0보다 작다. 따라서

이다.)

위 부등식들에 따라

이다. 첫 번째 부등식의 를 로 대체하여 모두 합하면

를 얻는다. (인 경우 이다.)

끝으로, 위 부등식들로부터 다음을 얻는다.

인 경우는 직접 확인한다. (소수로 이루어진 열 2, 3, 5, 7, 11, 17, 31, 59, 107, 211, 401의 각 소수는 이전 소수의 2배보다 작다. 따라서 위 부등식은 인 경우에도 참이며, 특히 인 경우 참이다. 이를 란다우 계략()이라고 한다.)

 에르되시의 증명 
에르되시의 증명은 중심 이항 계수의 초등적인 성질을 사용한다. 먼저 몇 가지 준비가 필요하다.

중심 이항 계수

를 생각하자. 그렇다면, 임의의 정수 에 대하여,

이다. 왜냐하면

이다.

임의의 정수 와 소수 에 대하여, 인 최대의 정수 는

이다. (계승 (수학) 참고.)

임의의 정수 와 소수 에 대하여,

이다. 왜냐하면, 이 경우 인 최대의 정수 는 2이며, 인 최대의 정수 는 1이다.

임의의 정수 와 소수 와

인 최대의 정수 에 대하여,

이다. 왜냐하면, 이 인 정수라고 하였을 때

이다.

임의의 정수 에 대하여,

이다. 수학적 귀납법을 사용하여,  미만인 정수에 대하여 위 부등식이 참이라고 가정하자. 만약 이 짝수라면,

이다. 만약 이 홀수라면,

이다. 위 식에서,

는 임의의 소수 에 대하여

이기 때문이며,

는

때문이다.

이제 베르트랑 공준을 증명하자. 귀류법을 사용하여, 가 정수이며, 인 소수 가 존재하지 않는다고 가정하자. 그렇다면, 중심 이항 계수

의 모든 소인수는 이하이며, 이 가운데 보다 큰 것들의 지수는 1이다. 따라서,

이다. 따라서, 부등식

이 성립한다. 이는 부등식

과 동치이다.

라고 하자. 그렇다면

이므로,

이다. 즉, 이다. 그런데 소수의 열 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631 속의 각 소수는 이전 소수의 2배보다 작으므로, 인 경우 항상 인 소수 가 존재한다. (이를 란다우 계략()이라고 한다.) 이는 모순이다. 즉, 베르트랑 공준은 참이다.

 역사 
프랑스의 수학자 조제프 베르트랑()이 1845년에 처음으로 추측하여 베르트랑 추측이라는 이름을 얻었다. 베르트랑이 처음으로 이 명제에 대한 추측을 내놓았을 때 그는 3백만보다 작은 모든 자연수에 대한 계산을 덧붙였으나 증명은 하지 못했다.

5년 뒤 1850년에 파프누티 체비쇼프가 이 명제를 완전하게 증명하였다. 그럼에도 불구하고 관례적으로 '베르트랑 공준'이라 불린다. 1919년에 스리니바사 라마누잔이 감마 함수를 사용하여 더 간단한 증명을 발표하였고, 1932년에 에르되시 팔은 이항계수와 체비쇼프 함수를 사용한, 라마누잔 증명보다 더 간단한 증명을 발표하였다.

 확장된 결과들 
 영국의 수학자 제임스 조지프 실베스터는 개의 연속된 보다 큰 정수들의 곱은 적어도 하나의 보다 큰 소수로 나누어떨어진다는 명제를 증명했다. 이를 실베스터 정리라고 한다.
 1934년에 헝가리의 수학자 에르되시 팔은 임의의 자연수 에 대하여, 적당한 자연수 이 존재하여 보다 큰 임의의 자연수 과  사이에는 적어도 개의 소수가 존재한다는 명제를 증명했다. 이를 에르되시 정리라고 한다.
 1952년에 일본의 수학자 나구라 지쓰로는 보다 큰 모든 자연수 에 대하여 과  사이에는 적어도 하나의 소수가 존재한다는 명제를 증명했다.
 1998년에 프랑스의 수학자 피에르 뒤자르(Pierre Dusart)는 보다 큰 모든 자연수 에 대하여 과  사이에 적어도 하나의 소수가 존재한다는 명제를 증명했다.

 참고 문헌 



 외부 링크 



 같이 보기 
 소수 간극

분류:소수에 관한 정리
분류:대수학 정리