대칭

섬네일|upright=0.8|정팔면체 대칭을 갖는 구면 대칭군. 노란색 영역은 기본 영역을 나타낸다.
섬네일|upright=0.8|반사 대칭, 회전 대칭, 그리고 자기 유사성이라는 세 가지 대칭 형태를 지닌 프랙털 유사 도형. 이 도형은 유한 분할 규칙(finite subdivision rule)을 통해 생성된다.

대칭(對稱, ) 또는 대칭성은 일상 용어에서 조화롭고 아름다운 비율과 균형감을 의미한다. 수학에서 이 용어는 더 구체적인 정의를 가지며, 보통 평행 이동, 반사, 회전, 크기 변환(scaling)과 같은 어떤 변환에 대하여 변하지 않는 대상을 지칭할 때 사용된다. 이 두 가지 의미는 때때로 구별되기도 하지만 서로 밀접하게 연관되어 있으므로, 본 문서에서는 함께 다룬다.

수학적 대칭성은 시간의 흐름이나 공간에 대한 대칭성을 의미하기도 하고, 기하학적 변환이나 함수 변환에 대해 대칭성을 말하기도 한다. 그리고 이론적 모델, 언어, 음악 등을 포함한 추상적 대상에 대해서 대칭성을 말하기도 한다.

이 문서에서는 대칭을 세 가지 관점에서 서술한다. 대다수의 사람들에게 가장 친숙한 유형인 기하학을 포함한 수학에서의 대칭, 과학과 자연에서의 대칭, 그리고 건축, 미술, 음악을 포괄하는 예술에서의 대칭이다.

대칭의 반대말은 비대칭으로, 대칭이 결여된 상태를 의미한다. 대칭을 뜻하는 영어 'symmetry'의 어원은 치수의 일치, 적절한 비율, 배열 등을 의미하는 고대 그리스어 'συμμετρία'에서 왔다.

 수학에서의 대칭 

 기하학 
섬네일|upright=0.8|트리스켈리온은 3중 회전 대칭을 가진다.

기하학적 도형이나 대상이 규칙적으로 배열된 둘 이상의 동일한 부분으로 나뉠 수 있다면, 그 대상은 대칭적이다.E. H. Lockwood, R. H. Macmillan, Geometric symmetry, London: Cambridge Press, 1978 즉, 대상의 개별 부분을 움직이는 변환을 수행했을 때 전체적인 모양이 변하지 않는다면 그 대상은 대칭적이라고 한다. 대칭의 유형은 부분들이 배열된 방식이나 변환의 종류에 따라 결정된다.

 어떤 대상을 통과하는 선 또는 평면을 기준으로 나누어진 두 부분이 서로 거울상일 때, 그 대상은 반사 대칭(선대칭 또는 거울 대칭)을 갖는다.
 어떤 대상을 고정된 점 또는 선을 중심으로 회전시켰을 때 전체 모양이 변하지 않는다면, 그 대상은 회전 대칭을 갖는다.
 어떤 대상의 모든 점을 같은 거리만큼 이동시켰을 때 전체 모양이 변하지 않는다면, 그 대상은 평행 이동 대칭을 갖는다.Stenger, Victor J. (2000) and Mahou Shiro (2007). Timeless Reality. Prometheus Books. Especially chapter 12. Nontechnical.
 어떤 대상이 나선축이라 불리는 선을 따라 3차원 공간에서 동시에 평행 이동하고 회전할 수 있다면, 그 대상은 나선 대칭을 갖는다.Bottema, O, and B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (September 1990)
 어떤 대상을 확대하거나 축소해도 모양이 변하지 않는다면, 그 대상은 크기 변환 대칭을 갖는다.Tian Yu Cao Conceptual Foundations of Quantum Field Theory Cambridge University Press p.154-155 프랙털 또한 크기 변환 대칭의 한 형태를 보여주는데, 프랙털의 작은 부분은 큰 부분과 형태적으로 닮음이다.
 그 외의 대칭으로는 반사 후 평행 이동 변환에 해당하는 미끄럼 반사 변환(glide reflection)에 대한 대칭과, 회전 후 반사(rotation-reflection)에 대한 대칭 등이 있다.

 논리학 
집합 에 대해 이항 관계 가 다음을 만족하면, 이 이항관계는 대칭이라고 한다.Josiah Royce, Ignas K. Skrupskelis (2005) The Basic Writings of Josiah Royce: Logic, loyalty, and community (Google eBook) Fordham Univ Press, p. 790
의 모든 원소 에 대하여, 가 참일 때 도 참이다.
따라서 예를 들어 "동갑이다"라는 관계는 대칭적이다. 만약 'A과 B가 동갑이다'가 참이라면, 'B와 A가 동갑이다'도 참이기 때문이다.

명제 논리에서, 그리고(∧ 또는 &), 또는(∨ 또는 |), 동치이다(↔)는 대칭적인 이항 논리 연결자이다. 반면 논리 연결자 만약(→)은 대칭적이지 않다. 다른 대칭적인 논리 연결자로는 NAND(not-and, ⊼), XOR(⊻), NOR(not-or, ⊽) 등이 있다.

 수학의 다른 분야 
앞 절의 기하학적 대칭을 일반화하여, 어떤 수학적 대상에 주어진 수학적 연산을 적용했을 때 대상의 어떤 성질이 보존된다면, 그 대상은 해당 연산에 대해 대칭적이라고 말할 수 있다.Christopher G. Morris (1992) Academic Press Dictionary of Science and Technology Gulf Professional Publishing 대상의 주어진 성질을 보존하는 연산들의 집합은 군을 형성한다.

일반적으로 수학의 모든 구조는 저마다의 대칭성을 갖는다. 예로는 미적분학의 홀함수와 짝함수, 추상대수학의 대칭군, 선형대수학의 대칭행렬, 갈루아 이론의 갈루아 군 등이 있다. 통계학에서 대칭은 대칭 확률 분포로 나타나며, 비대칭성은 비대칭도로 표현된다.

 과학과 자연 
 물리학 

물리학에서 대칭은, 어떤 변환에도 바뀌지 않는(예를 들어, 임의의 좌표 변환에 대해서도 바뀌지 않는) 불변성을 의미한다. 사실상 자연의 모든 법칙이 대칭성에서 기원한다는 사실이 명백해짐에 따라, 대칭성이라는 개념은 이론물리학의 가장 강력한 도구 중 하나가 되었다. 실제로 노벨상 수상자 필립 워런 앤더슨은 1972년 그의 논문 More is Different에서 "물리학은 대칭에 대한 연구라고 말해도 과언이 아니다"라고 서술하였다. 뇌터 정리는 모든 연속적인 수학적 대칭에는 에너지나 운동량 같은 대응하는 보존량(뇌터의 원래 표현으로는 보존류)이 존재한다는 정리이며, 위그너 분류는 물리학 법칙의 대칭이 자연에서 발견되는 입자의 성질을 결정함을 말한다.

물리학에서 중요한 대칭으로는 시공간의 연속 대칭과 이산 대칭, 입자의 대칭, 초대칭 등이 있다.

 생물학 
섬네일|upright=0.8|많은 동물은 좌우 대칭이다. 반면 내부 장기는 종종 비대칭적으로 배열되어 있다.
생물학에서 대칭의 개념은 주로 체형을 설명하는 데 명시적으로 사용된다. 인간을 포함한 좌우대칭동물은 몸을 왼쪽과 오른쪽 절반으로 나누는 시상면에 대해 대칭적이다. 한 방향으로 움직이는 동물은 필연적으로 위아래 측면과 머리와 꼬리 끝을 가지며, 따라서 왼쪽과 오른쪽이 구분된다. 얼굴은 입을 포함한 감각 기관들이 좌우 대칭을 이루고, 몸은 이동을 위해 대칭적인 근육 쌍과 골격 요소를 갖추어 좌우 대칭이지만, 내부 장기는 보통 비대칭인 경우가 많다.

식물이나 말미잘과 같은 고착성 동물은 종종 방사 대칭 또는 회전 대칭을 갖는데, 이는 먹이나 위협이 어느 방향에서든 올 수 있는 환경에 적합하기 때문이다. 불가사리, 성게, 바다나리 등의 극피동물은 5중 대칭성을 띤다.

생물학에서 대칭 개념은 물리학에서처럼 연구 대상의 성질(대상들간의 상호작용과 같은)을 설명하는 데에도 사용된다. 생물학적 진화의 놀라운 특징 중 하나는 새로운 부분과 역학의 출현에 대응하는 대칭성의 변화이다.

 화학 
대칭은 자연계에서 분자 간의 본질적으로 모든 특이적 상호작용(예: 자연 및 인공 키랄 분자와 본질적으로 키랄인 생물학적 시스템 간의 상호작용)의 기초가 되기 때문에 화학에서 중요하다. 현대 화학 합성에서는 생성되는 분자의 대칭성을 제어하는 것이 과학자들이 부작용을 최소화하면서 약물 치료를 제공하는 데에 기여한다. 또한 대칭에 대한 엄밀한 이해를 통해 양자화학의 근본적인 관찰 결과들과 분광학 및 결정학의 응용 분야를 설명할 수 있다. 이러한 물리과학 분야에 대한 대칭의 이론과 적용은 수학에서의 군론에 크게 의존한다.

 심리학 및 신경과학 
인간은 특정 유형의 대칭성을 다른 유형보다 더 민감하게 인지하는데, 특히 좌우 대칭(사람의 얼굴 처럼)을 더 민감하게 인지한다. 에른스트 마흐는 그의 저서 "감각의 분석(The analysis of sensations)"(1897)에서 이를 관찰했는데, 이는 대칭성을 지각하는 것이 모든 유형의 규칙성에 대한 일반적인 반응이 아님을 시사한다. 행동 및 신경생리학적 연구 모두 인간과 다른 동물들이 반사 대칭에 특별한 민감성을 보인다는 것을 확인했다. 게슈탈트 전통의 초기 연구들은 좌우 대칭이 지각적 집단화의 핵심 요소 중 하나임을 시사했다. 이를 대칭의 법칙이라고 한다. 집단화 및 전경/배경 조직화에서 대칭의 역할은 많은 연구에서 확인되었다. 예를 들어, 단일 개체일수록 반사 대칭을 인지하는 것이 더 빠르다. 인간의 지각과 정신물리학의 연구들은 대칭성을 인지하는 것이 빠르고 효율적이며 교란에 강하다는 것을 보여주었다. 예를 들어 사람은 대칭성을 100~150 밀리초만에 인지할 수 있다.

최근의 신경영상 연구들은 대칭성을 인지하는 동안 뇌의 어떤 영역이 활성화되는지를 기록했다. Sasaki 등은 기능적 자기공명영상(fMRI)을 사용하여 대칭적 점 패턴과 무작위 점 패턴에 대한 반응을 비교했다. 일차 시각 피질이 아닌 후두엽 피질의 선조 외 영역에서 강한 활동이 나타났다. 여기에는 V3A, V4, V7 및 측면 후두 복합체(LOC)가 포함되었다. 일반적으로 시각 시스템의 많은 부분이 시각적 대칭의 처리에 관여하는 것으로 보이며, 이 영역들은 물체 탐지 및 인식에 관여하는 네트워크와 유사하다.

 같이 보기 
 자기 동형 사상
 번사이드 보조정리
 키랄성
 홀함수와 짝함수
 등방성
 회문
 자발적 대칭 깨짐
 대칭 관계
 대칭군
 벽지군

 주해 

 각주 

 더 읽을거리 
 The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry, Mario Livio, Souvenir Press, 2006, .

 외부 링크 
 국제 대칭 협회 (ISA)
 평면상의 점 대칭 (Dutch: Symmetry Around a Point in the Plane) 
 채프먼: 대칭의 미학
 ISIS 대칭 
 대칭, BBC 라디오 4 토론 (페이 다우커, 마커스 드 사토이, 이언 스튜어트 참여) (In Our Time, 2007년 4월 19일)


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