조화수열

섬네일
조화수열(harmonic progression)은 어떤 수열의 각 항의 역수들이 등차수열을 이룰 때이다. 다시 말해서, 다음 형태의 수열이다.

조화급수(harmonic series)와는 다른 개념이다.


 예 
적당한 등차수열을 취해서 그 역수를 만들어 주면 간단히 만들 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 수열이다.
 1/1, 1/2, 1/3, 1/4
 1, 1, 1, 1, 1
 1/23461234, 1/23843963, 1/24226692, 1/24609421
 -1, -1/3, -1/5, -1/7

 조화 중항 
세 수 , , 가 이 순서로 조화수열을 이룰때, 는 와 의 조화 중항이라고 한다. 이 때, 는 와 의 조화 평균이 된다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

두 수 a, b가 모두 양수라면, 두 수의 조화 평균은 기하 평균보다 항상 작거나 같다. 기하 평균은 산술 평균보다 작거나 같으므로, 다음과 같은 연쇄적인 부등식이 성립한다.
,  두 수가 모두 양수일 때, 가 성립한다.

 무한합 
조화수열의 무한합은 발산한다. 적분판정법으로 간단하게 확인할 수 있다.

 같이 보기 
 등비수열
 등차수열
 조화급수

분류:수열