정이면체군

550px|섬네일|right|은 정팔각형의 대칭군이다.
군론에서 정이면체군(正二面體群, )은 정다각형의 대칭군인 유한군이다.

 정의 
가 아벨 군이라고 하자. 일반화 정이면체군() 는 다음과 같은 반직접곱이다.

여기서 는 크기가 2인 유일한 군이며, 군의 작용 는 다음과 같다.

정이면체군

은 순환군 에 대한 일반화 정이면체군이다. 무한 정이면체군()

은 무한 순환군 에 대한 일반화 정이면체군이다.

 표시 
정이면체군 은 다음과 같은 표시를 갖는다.

정이면체군 은 간혹 이나 으로 쓰기도 한다.

무한 정이면체군 은 다음과 같은 표시를 갖는다.

 성질 
 일반화 정이면체군 
일반적으로, 일반화 정이면체군 의 크기는 의 크기의 두 배이다.

일반화 정이면체군 의 원소들은 모두  또는 의 꼴이다 (). 이 경우,  꼴의 원소들의 집합은 와 동형인 의 지표가 2인 정규 부분군을 이루며,  꼴의 원소들은 모두 위수가 2이다. 즉, 이다.

의 켤레류들은 다음과 같은 꼴이다. 모든 에 대하여,



 유한 정이면체군 
평면에서, 정각형의 대칭군은 이다. 여기서, 군의 표시에서 는 (반시계방향으로)  라디안 회전 대칭에, 는 고정된 축에 대한 반사 대칭에 대응된다.

정이면체군 은 총 개의 원소를 가진다. 이들은 위의 표시에 따라서 다음과 같다.

작은 정이면체군들은 다음과 같다.
 군  다른 이름   자명군 0   2차 순환군    클라인 4원군    대칭군    

더 일반적으로, 만약 라면,

이다.

 멱영군일 조건 
인 경우, 은 아벨 군이 아니다.

모든 은 가해군이다.

인 경우, 이 멱영군일 필요충분조건은 이다. 에 대하여, 는 류 멱영군이다.

 자기 동형 
인 경우, 의 자기 동형군은 다음과 같다.

여기서 는 가역원군이며, 우변의 반직접곱의 군의 작용은 와  사이의 표준적인 동형이다. 특히, 인 경우 의 자기 동형 사상의 수는 이다. 여기서 는 오일러 피 함수이다. 구체적으로, 는 를 로, 를 로 보내는 자기 동형 사상에 대응한다.

인 경우, 의 중심은 다음과 같다.

구체적으로, 만약 이 짝수라면,  라디안 회전 대칭 은 의 원소이며, 모든 원소와 가환한다.

인 경우, 의 내부 자기 동형군은 다음과 같다.

 무한 정이면체군 
무한 정이면체군 는 정수의 집합 의 대칭군이다.

무한 정이면체군 는 다음과 같은 자유곱으로 나타낼 수 있다.

 참고 문헌 



 외부 링크 


















 같이 보기 
 군
 군론
 대칭군 (군론)

분류:유한군