수렴급수

수학에서 급수란 수열을 구성하는 항들을 합으로 나타낸 것을 말한다. 급수의 수렴에 관한 논의에서 급수는 무한급수를 말하며, 주요 문제는 주어진 급수의 수렴여부와 수렴할 경우 그 합에 관한 것이다. 수렴급수라고 해도 그 합이 알려져 있지 않은 경우가 많다.

정의
급수 의 번째 부분합을
이라고 할 때 부분합이 이루는 수열 이 수렴하면 급수 를 수렴급수(convergent series)라고 한다.
즉, 부분합이 이루는 수열 이 어떤 고정된 유한한 수 에 수렴하여

와 같이 쓸 수 있으면 를 수렴급수 또는 급수 이 로 수렴한다고 한다. 이때 를 급수 의 합(sum)이라고 한다.
이 관계는

와 같이 이해할 수 있다. 수렴급수가 아닌 급수를 발산급수(divergent series)라고 한다.

수렴급수와 발산급수의 예

수렴급수

 (수렴급수이지만 그 정확한 합은 알려져 있지 않다.)
발산급수

수렴정리
두 수렴급수 , 의 합을 각각 라고 하면 다음이 성립한다.
, (상수)

수렴(발산)판정법
급수의 수렴여부를 판정하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 그러나 어떤 한 가지 방법으로 모든 급수의 수렴여부를 판정하는 것은 어려운 일이다. 또한 수렴여부의 판정이 수렴급수의 합에 대한 정보를 주는 것이 아니므로 수렴급수의 합을 구하는 것은 또 다른 문제이다.

발산판정법(divergence test):급수 이 수렴하면 이다. 따라서 이 아닌 급수 는 발산급수이다. 이를 이용하여 급수의 발산을 판정하는 방법을 발산판정법(divergence test)이라고 한다.
은 이므로 발산급수이다.
급수 이 조건 을 만족한다해도 수렴급수가 아닐 수도 있다.

비교판정법(comparision test): 급수 의 수렴여부를 판정하기 위해 항 과 이미 수렴여부가 알려진 급수 의 항 를 비교하여 수렴여부를 결정하는 판정법이다. 비교판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 에 대해
이고, 이 수렴급수이면 도 수렴급수이다.
이고, 이 발산급수이면 도 발산급수이다.

비판정법(ratio test): 급수 의 수렴여부를 판정하기 위해 인접한 두 항 의 비(ratio)의 극한을 이용하는 방법이다. 비판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 에 대해 이고

일 때
r < 1 이면 은 수렴급수이다.
r > 1 이면 은 발산급수이다.
r = 1 이면 비판정법으로 급수 의 수렴여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)

근판정법(root test): 급수 의 수렴여부를 판정하기 위해 항 의 n제곱근(n-th root)의 극한을 이용하는 방법이다. 근판정법의 내용은 다음과 같다.  모든 에 대해 이고

일 때
r < 1 이면 은 수렴급수이다.
r > 1 이면 은 발산급수이다.
r = 1 이면 근판정법으로 급수 의 수렴여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)

적분판정법(integral test): 주어진 급수를 이상적분과 연계시켜 수렴여부를 판정하는 방법이다.
를 구간 에서 양의 값을 갖는 단조감소하는 연속함수라고 하자.
만약 모든 n에 대해 이고

이면 는 수렴급수이다. 그러나 위 이상적분이 존재하지 않으면 는 발산급수이다.

이외에도 극한비교판정법, 교대급수에 대한 수렴판정법, 코시의 수렴판정법, 디리클레 판정법, 아벨의 판정법 등이 있다.

절대수렴과 조건수렴
급수 의 모든 항이 음이 아닌 값을 가지면(), 을 양항급수라고 한다. 비교판정법, 비판정법, 근판정법, 적분판정법은 모두 양항급수의 수렴여부를 판정하는 방법이다. 절대수렴의 개념은 양항급수가 아닌 경우에도 이들 판정법을 이용하여 급수의 수렴여부를 판정할 수 있게 해준다.
절대수렴: 급수 가 수렴하면 가 절대수렴한다고 한다. 절대수렴하는 급수는 수렴급수이다. 즉 가 수렴하면 도 수렴한다.
조건수렴: 는 수렴하지만, 가 발산하면 를 조건수렴한다고 한다.
급수 은 수렴급수이지만, 는 발산하므로 은 절대수렴하지 않는다. 그러므로 은  조건수렴하는 급수이다.

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