모레라 정리

복소해석학에서, 모레라 정리(-定理, )는 복소평면의 연결 열린집합 위에 정의된 연속 함수에 대하여, 경로 무관성이 정칙성을 함의한다는 정리이다.

 정의 
모레라 정리에 따르면, 연결 열린집합  위에 정의된 연속 함수 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 정칙 함수이다.
 임의의 유계 연결 열린집합 에 대하여, 만약 라면, 
 임의의 삼각형 열린집합 에 대하여, 만약 라면, 
특히, 단일 연결 열린집합  위에 정의된 연속 함수 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 정칙 함수이다.
 임의의 조각마다  닫힌 곡선 에 대하여, . 즉, 의 경로 적분은 경로와 무관하다. 즉, 는 부정적분을 갖는다.
 임의의 삼각형 닫힌 곡선 에 대하여, 

 증명 
모든 정칙 함수의 유계 연결 열린집합의 경계 위의 경로 적분이 0인 것은 코시 적분 정리이다. 모든 삼각형 열린집합은 유계 연결 열린집합이다.

이제, 연결 열린집합  위의 연속 함수 의,  속 삼각형 열린집합의 경계를 따른 경로 적분이 0이라고 가정하고, 가 정칙 함수임을 보이자. 임의의 가 주어졌다고 하고, 그 볼록 열린 근방 을 잡자. 가  위에서 정칙 함수임을 보이면 족하다.

함수 를

와 같이 정의하자. 여기서 는 와  사이의 닫힌 선분이다. 가정에 따라, 임의의 에 대하여

이다. 따라서,

이다. 즉, 임의의 에 대하여 이다. 즉, 는  위에서 정칙 함수이며, 모든 점에서 국소적으로 멱급수이다. 따라서 그 도함수  역시 의 모든 점에서 국소적으로 멱급수이다. 즉, 는  위에서 정칙 함수이다.

 따름정리 
모레라 정리는 일부 함수들이 정칙 함수라는 것을 증명하는 데 사용된다.

 콤팩트 수렴 정칙 함수열의 극한의 정칙성 
연결 열린집합 에 정의된 정칙 함수열 가 함수 로 콤팩트 수렴한다고 하자. 그렇다면,  역시 정칙 함수이다.

임의의 를 취하고, 를 취하자. 그렇다면, 이며, 이는 콤팩트 집합이므로, 은 에서 로 균등 수렴한다. 따라서, 는 에서 연속 함수이며, 임의의 조각마다  닫힌 곡선 에 대하여,

이다. 모든 삼각형은 조각마다  닫힌 곡선이므로, 모레라 정리에 의하여, 는 에서 정칙 함수이다.

 리만 제타 함수의 정칙성 
리만 제타 함수 는

에서 다음과 같이 정의된다.

이 급수는 바이어슈트라스 M-판정법에 따라 에서 콤팩트 수렴하며, 각 는 정칙 함수이므로, 임의의 조각마다  곡선 에 대하여,

이다. 모레라 정리에 의하여, 는 에서 정칙 함수이다.

 감마 함수의 정칙성 
감마 함수 는

에서 다음과 같이 정의된다.

각 는 정칙 함수이다. 따라서, 푸비니 정리에 의하여, 임의의 조각마다  곡선 에 대하여,

이다. 모레라 정리에 의하여, 는 에서 정칙 함수이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 



 같이 보기 
 코시-리만 방정식
 유수 (복소해석학)
 미타그레플레르 정리

분류:복소해석학 정리