반사 (기하학)

기하학에서 반사(反射, ) 또는 대칭 이동(對稱 移動)은 유클리드 공간 위의 점을 어떤 초평면에 대한 ‘거울상’으로 변환시키는 함수이다.

 정의 
유클리드 공간 의 차원 부분 아핀 공간 을 반사 초평면으로 하는 반사

는 다음과 같다.
 임의의 에 대하여, 는 가 선분 의 수직 이등분 초평면이 되게 만드는 유일한 점이다.
반사 초평면의 점  및 단위 법벡터 이 주어졌을 때, 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 성질 
모든 반사는 유클리드 공간의 등거리 변환이며, 방향을 보존하지 않는다. 특히, 모든 반사는 아핀 변환이며, 선형 변환 성분의 행렬식은 −1이다. 원점을 지나는 반사 초평면을 갖는 반사는 선형 변환이다. 모든 반사는 대합이다. 즉, 스스로를 두 번 합성하면 항등 함수를 얻는다.

 고정점 
반사의 고정점의 집합은 반사 초평면이다.

 연산에 대한 닫힘 
반사 의 등거리 변환 에 의한 켤레 역시 반사이며, 그 반사 초평면은 다음과 같다.

 행렬 표현 
반사의 선형 변환 성분은 적절한 기저에 대하여 다음과 같은 행렬 표현을 갖는다.

 합성 
섬네일|평면 위에서, 평행하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 평행 이동을 얻는다.
섬네일|평면 위에서, 교차하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 회전을 얻는다.
평행하는 반사 초평면을 갖는 두 반사 , 의 합성 은 평행 이동이며, (의 반사 초평면에서 의 반사 초평면을 향하는) 공통 법벡터의 방향으로 반사 초평면 사이 거리의 2배만큼 평행 이동한다. 즉, 만약

이라면, 의 평행 이동 벡터는

이다. 반대로, 모든 평행 이동은 이러한 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

교차하는 반사 초평면을 갖는 두 반사 , 의 합성 은 회전이다. 구체적으로, 이 회전은 두 반사 초평면의 교집합을 고정점 집합으로 가지며, 고정점 집합과 수직인 각 평면으로 제한되었을 때 두 반사 초평면 사이의 각의 2배만큼 (에서 을 향하여) 회전시킨다. 즉, 만약

이라면, 의 고정점 집합은

이다. 또한, 평면  ()로 제한되었을 때, 회전

의 회전 중심은 이며, 회전 각도는

이다. 반대로, 3차원 이하 유클리드 공간 위의 회전은 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. 그러나 이는 4차원부터는 성립하지 않는다.

 사원수 표현 
3차원 벡터를 순허수 사원수로 여겼을 때,  위의 반사는 사원수 곱셈을 통해 간단하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 점 을 지나며 단위 법벡터 을 갖는 초평면 에 대한 반사는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 우변의 곱셈은 사원수의 곱셈이다.

 예 
2차원 유클리드 공간  위의 x축 및 y축에 대한 반사는 각각 다음과 같다.

 같이 보기 
 덧셈 역원
 하우스홀더 변환
 반전기하학

 외부 링크 



분류:함수와 사상
분류:변환 (함수)