비교 판정법

미적분학에서 비교 판정법(比較判定法, )은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 만약 어떤 양항 급수가 어떤 수렴하는 양항 급수보다 작은 항들로 이루어졌다면, 이 급수 역시 수렴한다.

 정의와 증명 
 급수 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.

 두 실수 항 급수 와 
또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.
 충분히 큰 에 대하여,  (즉, 어떤  및 모든 에 대하여, )
그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.
 만약 이 수렴한다면,  역시 수렴한다.
 만약 이 발산한다면,  역시 발산한다.
이를 비교 판정법이라고 한다.

두 명제는 서로 대우다. 따라서 첫 번째를 증명하면 충분하다. 급수의 유한 개의 항을 변경하는 것은 급수의 수렴 여부에 영향을 미치지 않으므로, 편의상 모든 에 대하여 이라고 가정할 수 있다. 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴할 필요충분조건은 부분합 수열이 유계 수열인 것이다. 즉,

이라고 하였을 때, 어떤  및 임의의 에 대하여

이어야 한다. (이는 실수의 완비성을 필요로 한다.) 이제, 마찬가지로

이라고 하자. 만약 급수 이 수렴한다면, 어떤  및 임의의 에 대하여

이다. 그런데 항상 이므로

이다. 따라서  역시 수렴한다.

비교 판정법은 절대 수렴의 개념을 사용하여 서술할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

 -바나흐 공간 

  항의 급수 와 
 만약 라면, 이는 두 실수 또는 복소수 항 급수다.
또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.
 충분히 큰 에 대하여,  (즉, 어떤  및 모든 에 대하여, )
 만약 라면, 노름은 절댓값이며, 은 이 된다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
 만약 이 절대 수렴한다면,  역시 절대 수렴한다.
 만약 이 절대 수렴하지 않는다면,  역시 절대 수렴하지 않는다.
두 번째 명제에서, 이 수렴하지 않는다고 결론 내릴 수 없다. 예를 들어, 에 대응하는 급수는 조건 수렴한다. 비교 판정법은 노름 값을 취하는 실수선의 완비성에만 의존하므로, 바나흐 공간이 아닌 노름 공간에서도 성립한다. 하지만 이 경우, 절대 수렴하는 급수는 수렴할 필요가 없다.

비교 판정법의 이전 형태에서, 와 을 와 으로 대체한다.

 이상 적분 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.

 두 실수 값 함수 
또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
 임의의 에 대하여, 와 는 에서 리만 적분 가능하다.
 어떤  및 임의의 에 대하여, 
그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.
 만약 이상 적분 가 수렴한다면, 이상 적분  역시 수렴한다.
 만약 이상 적분 가 발산한다면, 이상 적분  역시 발산한다.

 따름정리 
 극한 비교 판정법 

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

 두 실수 항 급수 와 
또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
 충분히 큰 에 대하여, 

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.
 급수 이 수렴한다.
 급수 이 수렴한다.

 기타 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.

 두 실수 항 급수 와 
또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
 충분히 큰 에 대하여, 
 충분히 큰 에 대하여, 
그렇다면, 어떤  및 임의의 에 대하여,

이다. 만약 이 수렴한다면,  역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라 도 수렴한다. 그 대우로서, 만약 이 발산한다면, 도 발산한다.

 예 
급수

를 생각하자. 라고 하였을 때,

이다. 급수 는 수렴하므로, #기타에 의하여 원래 급수는 수렴한다.

 같이 보기 
 수렴판정법
 수렴
 지배 수렴 정리
 적분판정법
 단조 수렴 정리

 각주 

 참고 문헌 







분류:수렴판정법