피카르의 정리

복소해석학에서 피카르의 대정리()와 피카르의 소정리()는 정칙 함수의 특이점 근처에서의 상에 대한 정리다.

 정의 
리만 곡면  및 점 가 주어졌다고 하고, 정칙 함수

가 에서 본질적 특이점을 갖는다고 하자. 피카르의 대정리에 따르면, 다음 성질을 만족시키는 두 점 이 존재한다.
 임의의 근방  및 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.

 따름정리 
피카르의 소정리에 따르면, 만약 가 정칙 함수라면, 다음 세 명제 가운데 하나가 성립한다.



이는 리우빌 정리를 강화한 것이다.

피카르의 소정리는 피카르의 대정리의 따름정리이다. 즉, 이며 라고 하자. 그렇다면 는 무한대에서의 성질에 따라 다음과 같은 세 가지 경우로 분류된다.
 만약 가 무한대에서 정칙 함수라면, 리우빌 정리에 따라 는 상수 함수이다.
 만약 가 무한대에서 극점을 갖는다면, 는 다항식이다. 이 경우 대수학의 기본정리에 따라 이다.
 만약 가 무한대에서 본질적 특이점을 갖는다면, 피카르의 대정리에 따라 의 꼴이며, 이므로 로 놓을 수 있다.

 예 
함수 는 에서 본질적 특이점을 갖는다. 이 경우, 피카르의 대정리에 의하여 존재하는 두 값들은

이다.

위 예에 뫼비우스 변환을 가해, 가 임의의 값을 갖는 예를 찾을 수 있다.

 역사 
에밀 피카르의 이름을 땄다.

 참고 문헌 


 외부 링크 




분류:복소해석학 정리