아벨-디니-프링스하임 판정법

미적분학에서 아벨-디니-프링스하임 판정법() 혹은 아벨-디니-프링스하임 정리()는 임의의 양의 실수 항 발산급수로부터 더 느리게 발산하는 발산급수를 구성하는 수렴 판정법이다. 마찬가지로, 임의의 양의 실수 항 수렴급수로부터 더 느리게 수렴하는 수렴급수를 만들 수 있다. 이에 따라, 특정 급수에 기반한 수렴 판정법은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다.

 정의와 증명 
 발산급수 
발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따르면, 임의의 양의 실수의 수열 에 대하여, 만약

라면, 다음 명제들이 성립한다 ().
 (A) 
 (B) 임의의 양의 실수 에 대하여, 
 (C) 만약 추가로 이라면, 
이에 따라, 급수

는 일 때 수렴하며, 일 때 발산한다.

가정에 따라, 은 증가수열이며 무한대로 발산한다. 따라서, 임의의 에 대하여,

인 이 존재한다. 따라서,

이다. 즉, 은 코시 수열이 아니다. 즉, 급수

는 발산한다.

만약 이라면, 충분히 큰 에 대하여, 이므로 이다. 따라서, 인 경우를 생각하면 충분하다. 이 경우, 임의의 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

이는

라고 하였을 때

이기 때문이다. 따라서, 다음이 성립한다.

은 무한대로 발산하는 증가수열이다. 슈톨츠-체사로 정리에 따라, 다음이 성립한다.

마지막은 이 0으로 수렴한다는 가정과 극한 공식

에 의한다. (이 극한은 로그 항등식을 사용하여

와 같이 구하거나, 테일러 급수 전개

를 사용한다.)

 수렴급수 
수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따르면, 임의의 양의 실수의 수열 에 대하여, 만약

라면, 다음 명제들이 성립한다 ().
 (A’) 
 (B’) 임의의 양의 실수 에 대하여, 
 (C’) 만약 추가로 이라면, 
특히, 급수

는 일 때 수렴하며, 일 때 발산한다.

가정에 따라, 은 0으로 수렴하는 감소수열이다. 따라서, 임의의 에 대하여,

인 이 존재한다. 따라서,

이다. 즉, 급수

의 부분합은 코시 수열이 아니다. 즉, 이 급수는 발산한다.

만약 이라면, 충분히 큰 에 대하여, 이므로 이다. 따라서, 인 경우를 생각하면 충분하다. 이 경우, 임의의 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다 ((B)의 증명 참고).

따라서, 다음이 성립한다.

(C)에

를 대입한다.

 둘 사이의 관계 
발산급수·수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법은 서로 동치다. 구체적으로, 발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에

을 대입하면 수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법을 얻는다.

 예 
급수

는 발산하며, 그 번째 부분합은 이다. 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따라, 급수

는 일 때 수렴하며, 일 때 발산한다. 또한, 이 0으로 수렴하므로 점근 공식

이 성립한다.

이렇게 찾은 발산급수

에 대하여 다시 아벨-디니-프링스하임 판정법을 적용하자. 이 급수의 부분합 대신 이와 점근적으로 같은 수열 을 사용하여도 좋다. 따라서, 급수

는 일 때 수렴하며 일 때 발산한다. 또한, 이 0으로 수렴하므로

이다.

 역사 
노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨은 (A)의 약한 형태를 증명하였다. 이탈리아의 수학자 울리세 디니()이 (A)의 완전한 형태와 (B)의 약한 형태를 보였다. (B)는 알프레트 프링스하임()이 증명하였다. (C)는 에르네스토 체사로()의 결과다.

 참고 문헌 

분류:수렴판정법