유한 퍼텐셜 우물

섬네일
무한 퍼텐셜 우물은 이상적인 계로서 양자 역학의 기본 개념을 잘 보여주지만, 실제 물리계에서 그대로 구현되기는 어렵다.

이에 비해 유한 퍼텐셜 우물(finite potential well)은 실제 물리적 계를 기술하는 데 보다 적합한 모형이다. 예를 들어, GaAs 층이 Ga1−xAlxAs 두 층 사이에 끼어 있는 반도체 구조는 유한 퍼텐셜 우물로 근사하여 설명할 수 있다.

 정의 
1차원 공간에서 퍼텐셜이 다음과 같은 형태를 가질 때, 이 계를 유한 퍼텐셜 우물이라고 한다.

abc

 유도 
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀어 유한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자의 상태를 구할 수 있다.

  인 경우 (속박 상태) 
파동함수를 다음과 같이 영역별로 정의한다.

각 영역에서의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

다음과 같이 정의하면

각 영역의 해는

가 된다.

경계 조건(, 에서 와 가 연속)을 적용하면 다음의 관계식을 얻는다.

이를 풀면 계수는

가 된다.

경계 조건을 정리하면 다음의 양자화 조건을 얻는다.

이 식과

을 함께 그래프로 나타내면 교점으로부터 속박 상태의 에너지를 구할 수 있다. 최종적인 파동함수는 다음과 같이 표현된다.

 기타 

퍼텐셜 깊이 가 무한히 커지는 극한에서는 무한 퍼텐셜 우물로 수렴한다. 유한 퍼텐셜 우물의 깊이가 깊어질수록 에너지 준위의 개수가 증가하며, 이에 따라 속박 상태의 수도 늘어난다.

퍼텐셜 우물의 대칭성을 이용하면 계의 성질을 보다 직관적으로 이해할 수 있다. 퀀텀닷, 양자 우물, 초격자와 같은 구조를 갖는 계는 유한 퍼텐셜 우물 모형을 통해 물리적 특성을 효과적으로 설명할 수 있다.

 같이 보기 
 양자 역학
 파동 함수
 반도체
 초격자
 상자속 입자

 참고 자료 



분류:양자역학 퍼텐셜
분류:양자 모형