합

섬네일
수학에서 유한합(有限合, )은 유한 개의 수를 더한 결과를 뜻한다. 유한합의 표기에는 그리스 문자 시그마의 모양을 딴 기호 가 쓰인다.

 정의 
유한 수열 의 유한합

은 이 수열의 모든 항을 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

보다 일반적으로, 유한 집합 로 첨수된 수들의 집합 의 유한합은 이 집합의 모든 원소를 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 정의된다.

여기서 는 의 크기이며, 는 임의의 전단사 함수이다. 위 정의가 유효한 것은 위 합이 전단사 함수 의 선택과 무관하기 때문이다.

집합  및 그 위의 성질 에 대하여, 원소 가 성질 를 만족시킨다는 것을 로 쓰자. 만약 집합 가 유한 집합일 경우, 유한합

는

와 같이 표기할 수 있다.

 성질 
 항등식 
합에 대한 성질을 나타내는 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
 (점화식) 
 (덧셈의 보존) 
 (분배 법칙) 
 (선형성: 이는 덧셈의 보존 및 분배 법칙의 일반화이다.) 
 (푸비니 정리) 
그러나 합은 곱셈과 나눗셈을 보존하지 않는다.

 부등식 
실수들의 유한합을 포함하는 다음과 같은 부등식들이 성립한다.
 (코시-슈바르츠 부등식) 
 (횔더 부등식: 코시-슈바르츠 부등식은 이 부등식의 특수한 경우이다.) 
 (민코프스키 부등식) 

영의 부등식에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.

다음과 같은 를 취하자.

그렇다면, 이 부등식은 횔더 부등식을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

 예 
일부 특수한 합은 더 간단한 꼴의 식으로 나타낼 수 있으며, 그 예는 다음과 같다.

 다항식 
 (상수열의 유한합) 
 (등차수열의 유한합: 이를 삼각수라고 한다.) 
 (제곱수의 유한합: 이를 사각뿔수라고 한다.) 
 (세제곱수의 유한합: 이를 니코마코스 정리()라고 한다.) 
 (네제곱수의 유한합) 
 (다섯제곱수의 유한합) 
 (여섯제곱수의 유한합) 
 (일곱제곱수의 유한합) 
 (임의의 거듭제곱수의 유한합: 이를 파울하버 공식()이라고 한다. 여기서 는 번째 베르누이 수이다.) 

항등식

을 모두 더해서 정리해주면 위 공식과 같은 결과가 도출된다.

 유리식 
 (조화수열의 유한합: 이를 조화수라고 한다.) 

 지수 함수 
 (등비수열의 유한합) 
 (등차-등비 수열의 유한합) 
 (삼각 함수의 유한합: 이를 디리클레 핵()이라고 한다.) 

 이항 계수 
 (이항 계수의 유한합) 
 (하강 계승의 유한합) 

 같이 보기 
 급수: 무한합

분류:산술
분류:수학 표기법
분류:덧셈