슈톨츠-체사로 정리

해석학에서 슈톨츠-체사로 정리()는 두 수열의 비가 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 체사로 평균의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈의 정리의 이산적인 형태로 볼 수 있는데, 도함수의 개념 대신 계차수열의 개념을 사용한다.

 정의 
두 실수열 , 이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 분모 수열이 다음 세 조건 가운데 하나를 만족시킨다.
 (0에 수렴하는 순단조수열) 이거나 이며, 또한 
 (양의 무한대에 수렴하는 순증가수열) 이며,  (이는 무계 순증가수열과 동치이다.)
 (음의 무한대에 수렴하는 순감소수열) 이며,  (이는 무계 순감소수열과 동치이다.)
 (계차수열의 비의 넓은 의미 수렴) 
그렇다면, 슈톨츠-체사로 정리에 따르면 다음이 성립한다.


 증명 
가장 기본적인, 이 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, 비의 극한이 실수에 수렴하는 경우를 증명하자. 우선 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 이 순증가수열임을 같이 고려하면, 임의의 에 대하여, 이 존재하여, 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.

이를 에 를 대입하여 합을 구하면

이다. 또한 의 모든 항이 0보다 크다 가정할 수 있으므로,

이다. 여기서 이므로, 이 존재하여, 임의의 에 대하여,

이다. 즉,

 관련 명제 
 부분적 역 
슈톨츠-체사로 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 두 수열

을 정의하였을 때, 은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, 이지만, 의 극한은 존재하지 않는다. 그러나 그 부분적 역인 다음 명제는 참이다. 두 실수열 , 이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

 은 유계 수열이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.


 한 가지 변형 
슈톨츠-체사로 정리의 한 가지 변형은 다음과 같다. 두 실수열 , 이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

 은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.


 일반화 
슈톨츠-체사로 정리의 일반화된 형식은 다음과 같다. 실수열 과, 양의 무한대에 수렴하는 순증가 실수열 에 대하여 다음이 성립한다.

 예 
슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구해보자.

분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉, 는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다.

 평균의 극한 
슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 일부 평균의 극한에 대한 명제를 증명할 수 있다. 즉, 인 실수열 에 대하여 다음이 성립한다.
(산술 평균의 극한) 
(기하 평균의 극한) 
(조화 평균의 극한) 
(멱평균의 극한) 
(일반화된 f-평균의 극한)  (는 가역 연속 함수)
마찬가지로, 다음이 성립한다. (여기서 이며 이다.)
(가중 산술 평균의 극한) 
(가중 기하 평균의 극한) 
(가중 조화 평균의 극한) 
(가중 멱평균의 극한) 
(가중 일반화된 f-평균의 극한)  (는 가역 연속 함수)

 기타 
슈톨츠-체사로 정리는 로피탈의 정리의 증명에 사용될 수 있다.

 역사 
오스트리아의 수학자 오토 슈톨츠()와 이탈리아의 수학자 에르네스토 체사로()가 제시하였다.

 같이 보기 
 로피탈의 정리
 타우버의 정리
 코시 수렴 판정법
 수열의 극한
 점근 표기법
 체사로 평균
 체사로 합

 참고 문헌 

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 외부 링크 





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