비에트 정리

대수학에서 비에트 정리() 또는 근과 계수와의 관계는 다항 방정식의 근에 대한 기본 대칭 다항식과 다항 방정식의 계수 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다. 16세기 프랑스의 수학자 프랑수아 비에트에 의해 공식이 증명되었다.

 정의 
음이 아닌 정수 에 대하여, 차 복소수 다항식

이 주어졌다고 하자. 대수학의 기본 정리에 따라, 이는 (중복도를 감안하면) 개의 영점 를 갖는다. 비에트 정리에 따르면, 각 에 대하여, 영점 을 차 기본 대칭 다항식에 대입한 값은 과 같다.

즉, 다음 개의 등식이 성립한다.

 증명 
다음 등식 양끝의 다항식의 각 의 계수를 비교하면 비에트 정리를 얻는다.

 예 
 일차 방정식 
(일차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 일차 방정식

은 유일한 복소수 해

를 가진다. 이 경우 비에트 정리는 위 등식과 일치한다.

 이차 방정식 
(이차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 이차 방정식

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

 삼차 방정식 
(삼차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 삼차 방정식

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 이라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

 사차 방정식 
(사차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 사차 방정식

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

 역사 
프랑수아 비에트가 양의 근에 대하여 증명하였다. 알베르 지라르()가 일반적인 경우를 증명하였다.

 같이 보기 
 데카르트 부호 법칙
 뉴턴 항등식
 가우스-뤼카 정리
 유리근 정리
 대칭 다항식
 각주 

 외부 링크 






분류:다항식
분류:초등대수학