가우스-뤼카 정리

복소해석학에서, 가우스-뤼카 정리()는 복소수 다항식의 임계점이 영점의 볼록 껍질에 놓인다는 정리이다.

 정의 
복소수 다항식 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 도함수 의 영점은 의 영점의 볼록 껍질에 속한다. 이를 가우스-뤼카 정리라고 한다.

 증명 
다음과 같은 명제를 보이는 것으로 족하다.
 만약 의 모든 영점이 어떤 반평면 에 속한다면, 의 모든 영점 역시 에 속한다.
이를 위해 의 (중복도를 고려한) 영점을 이라고 하고, 라고 하자. 또한 라고 하자. 그러면 이므로, 다음이 성립한다.

이는 에 로그를 취한 뒤 에서의 도함수를 취하여 얻는다. 는 어떤 유향 직선 의 오른쪽 반평면이며, 다음과 같은 방정식을 갖는다.

따라서, 각 에 대하여, 다음이 성립한다.

역수의 허수부는 부호가 반대되므로, 다음이 성립한다.

이에 따라 다음이 성립한다.

즉, 이다.

 역사 
카를 프리드리히 가우스와 에두아르 뤼카가 각각 독립적으로 제시하였다.

 같이 보기 
 마든 정리

 참고 문헌 



분류:복소해석학 정리
분류:볼록 해석