메르텐스 정리

해석적 수론에서, 메르텐스 정리(Mertens定理, )는 프란츠 메르텐스가 1874년에 증명한, 소수의 분포에 관한 초기 결과이다. 3개의 정리로 구성된다.

소수의 역수의 합이 발산한다는 사실은 제2 메르텐스 정리의 따름정리이지만, 1737년에 레온하르트 오일러에 의하여 이미 증명되었다.폴 나힌, 『허수 이야기』, 경문사 소수 정리는 제1·제2·제3 메르텐스 정리를 따름정리로 하며, 소수 정리의 더 정확한 오차의 상계를 사용할수록 메르텐스 정리의 더 정확한 오차의 상계를 얻는다.

 정의 
다음과 같은  점근식들이 성립한다.
 제1 메르텐스 정리:

 제2 메르텐스 정리:

 제3 메르텐스 정리:

여기서 는  이하인 소수  위의 합, 는  이하인 소수  위의 곱, 은 자연로그, 는 자연로그의 밑, 는 오일러-마스케로니 상수, 는 점근 표기법이다. 또한,

는 마이셀-메르텐스 상수다. 여기서 는 뫼비우스 함수, 는 리만 제타 함수다.

 소수 정리를 통한 개선 
3개의 메르텐스 정리는 최선의 근사가 아니며, (더 나중에 증명된) 소수 정리를 사용하여 개선할 수 있다. 예를 들어, 비노그라도프-코로보프 상계

로부터 다음을 유도할 수 있다.

여기서 이며,

이다.

 명시적 상계 
위 상계들은 명시적이지 않다. 구체적으로, 인 점근 표기법 는 어떤 가 존재하며, 임의의 에 대하여 임을 뜻하는데, 와  모두 명시적으로 주어지지 않았다. 또한, 비노그라도프-코로보프 상계 속 , , , 의 값도 명시적으로 주어지지 않았다.

사실, 메르텐스는 다음과 같은 명시적 상계들을 증명하였다.
 제1 메르텐스 정리의 명시적 형태: 임의의 에 대하여,

 제2 메르텐스 정리의 명시적 형태: 임의의 에 대하여,

 제3 메르텐스 정리의 명시적 형태: 임의의 에 대하여,

(메르텐스가 사용한 마이셀-메르텐스 상수의 정의는

이다.)

이는 최선이 아니다. 2025년 현재, 최선의 명시적 상계는 피에르 뒤사르()의 결과이며, 다음과 같다.
 임의의 에 대하여

 임의의 에 대하여

 임의의 에 대하여

 임의의 에 대하여

 임의의 에 대하여

 임의의 에 대하여

 역사 
프란츠 메르텐스가 1874년에 증명하였다.

 참고 문헌 

 외부 링크 


분류:소수에 관한 정리