공 (기하학)

수학에서 공()은 구의 내부를 포함하는 도형이다. 경계인 구를 포함하면 닫힌 공(), 포함하지 않으면 열린 공()이라 한다.

3차원 유클리드 공간뿐만 아니라 일반적인 유클리드 공간이나 거리 공간, 위상 공간에서도 공을 정의할 수 있다. n차원 유클리드 공간에서 공은 n-1차원 구 내부의 공간이다. 따라서 예를 들어 2차원 유클리드 평면에서의 공은 1차원 구인 원의 내부 공간, 즉 원판이 된다.

단위공()은 반지름이 1인 공이다. 위상수학에서, n차원 유클리드 공간의 닫힌 단위공은 일반적으로  또는 으로 표기하고 열린 단위공은  또는 으로 표기한다.

 유클리드 공간에서의 공 
 정의 
유클리드 공간 에서 와 실수 이 주어졌다고 하자. 은 유클리드 노름이다. 이때 공의 중심() 와 공의 반지름() 에 대해 공을 다음과 같이 정의한다.
 중심이 , 반지름이 인 열린 공 는 다음과 같은 집합이다.

 중심이 , 반지름이 인 닫힌 공 는 다음과 같은 집합이다.

 부피 
유클리드 공간에서 반지름이 인 닫힌 공의 부피 은 다음과 같다.

여기서  는 감마 함수이다.

 거리 공간에서의 공 
 정의 
거리 공간 에서 와 실수 이 주어졌다고 하자. 이때 공의 중심 와 공의 반지름 에 대해 공을 다음과 같이 정의한다.
 중심이 , 반지름이 인 열린 공 는 다음과 같은 집합이다.

 중심이 , 반지름이 인 닫힌 공 는 다음과 같은 집합이다.

거리 공간에서는 어떤 거리를 주느냐에 따라 공이 '둥근' 형태가 아닐 수 있다. 예를 들어 유클리드 공간에서 체비쇼프 거리를 주면 공은 초입방체가 된다.
한편 일반적으로 닫힌 공이 그에 대응하는 열린 공의 폐포라고 생각할 수 있지만, 그렇지 않은 경우도 있음에 유의해야 한다.

 참고 문헌 



 같이 보기 
 구
 초구

분류:구 (기하학)
분류:위상수학
분류:계량기하학