로랑 급수

로랑 급수(Laurent級數, )는 정칙함수에 대한, 테일러 급수를 일반화한 급수이다. 테일러 급수와 달리 음의 지수의 항을 가질 수 있고, 고립 특이점을 갖는 함수를 급수로 전개할 때에도 쓸 수 있다.

 역사 
피에르 알퐁스 로랑이 1843년에 발표하였다.

 정의 
환영역() 는 다음과 같은 집합이다.

어떤 함수 가 환영역 에서 정칙함수라고 하자. 그렇다면 이 환영역에서 의 로랑 급수는 다음과 같은 꼴의 급수이다.

여기서, 차수가 음이 아닌 부분

을 로랑 급수의 해석부분(解析部分, ), 차수가 음수인 부분

을 로랑 급수의 주부분(主部分, )이라고 부른다.

로랑 급수의 계수 은 코시 적분공식에 의하여 주어진다.

여기서 폐곡선 는 환영역 안에 존재하는 임의의 양의 방향의 단순 닫힌 경로(감김수()가 1인 폐곡선)이다.

 로랑 급수의 수렴 
주어진 로랑 급수의 경우, 로랑 급수가 균등수렴하는 최대 환영역 의 안·밖 반지름 는 다음과 같다.

환영역의 경계에서는 로랑 급수의 수렴 여부는 불분명하다.

 성질 
주어진 환영역 위에서, 로랑 급수는 유일하며, 그 계수는 코시 적분공식에 의하여 주어진다. 그러나 복잡한 정의역을 갖는 정칙함수의 경우, 정의역의 서로 다른 환영역 부분집합에서 서로 다른 로랑 급수가 존재할 수 있다.

예를 들어, 정칙함수

를  근처에서 전개한다고 하자. 이 경우, 정의역

에 다음과 같은 환영역들을 정의할 수 있다.



이 세 환영역에서 로랑 급수는 각각 다음과 같다.



이 세 로랑 급수는 각각 서로 겹치지 않는 환영역에서 정의되며, 이 속에서 수렴하지만 환영역이 다르므로 서로 다른 급수이다.

 같이 보기 
 테일러 급수
 코시 적분공식
 특이점
 유수
 코시 부등식
 리우빌 정리
 해석적 연속
 푸리에 급수
 형식적 로랑 급수

 참고 문헌 

분류:복소해석학
분류:급수
분류:사람 이름을 딴 낱말