외적

선형대수학에서 외적(外積, )이란 벡터의 텐서곱을 일컫는 말이다. 예를 들어, 열벡터로 표현되는 두 벡터를 외적하게 되면 행렬을 얻게 된다. 이 이름은 내적의 반대말에서 나왔는데, 두 벡터를 내적하면 스칼라를 얻지만, 외적하면 스칼라가 나오지 않기 때문이다.

 정의 
 행렬에서의 정의 
두 벡터의 외적 은 와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서, 은 실수공간 에서 정의되는  열벡터, 는 에서 정의되는  열벡터를 말한다. 예를 들어, , 인 경우                                                                                 .

와 같이 외적을 쓸 수 있다.

좀 더 복잡한 복소수공간 과 에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 전치연산  대신에 복소켤레전치 를 사용해

로 정의된다.

 내적과의 비교 
만약 이면 아래와 같이 전치의 순서를 바꾸어 두 열벡터를 곱할 수 있다.

이 연산의 경우 외적과 달리 스칼라( 행렬)이 결과로 나오게 된다. 이 연산은 유클리드 공간의 내적으로 알려져 있고, 점곱이라 하기도 한다.

 추상적 정의 
주어진 벡터 와 코벡터 의 텐서곱 은 동형사상 하의 사상 을 준다.

구체적으로, 외적은 주어진 에 대해

로 정의된다. 여기서 로 계산된 로 와 곱하면 스칼라를 주게 된다.

다시말하면, 외적은  와  의 합성이다.

 내적과의 비교 
만약 이면, 코벡터 와 벡터 를 와 의 쌍대의 쌍대연산 를 통해 곱할 수 있다. 때로 이 연산은 내적이라 불리기도 한다.

 같이 보기 
 하우스홀더 변환
 노름

분류:선형대수학
분류:추상대수학
분류:이항연산