완전순열

조합론에서 완전순열() 또는 교란순열()은 모든 원소의 위치를 바꾸는 순열이다.

 정의 
집합 의 순열 (일대일 대응) 가 모든 에 대하여 다음 성질을 만족시키면, 를 완전순열이라고 한다.

즉, 완전순열은 고정점이 없는 순열이다.

 준계승 
 유한 집합이라고 하고, 그 크기를 이라고 하자. 그렇다면, 개의 원소에 대한 완전순열의 수를 준계승()이라고 한다. 준계승은 기호로 으로 쓴다.

준계승에서  의 개수를 빼면 된다.

 증명이 공식들은 점화식을 사용하여 증명할 수 있다.

집합

에서 순열 가 있을 때, 순열 의 원소 1은 완전순열이 되기 위하여 1이 아닌 다른 자리에 위치해야 하므로 그 방법의 수는 (n-1)개이다. 이후 경우를 두 가지로 나누어 볼 수 있다.
1이 특정한 자리 x에 위치하고, x가 1의 자리에 위치하는 순열이 될 경우: 이 경우, 원래의 n개 원소에서 1과 x를 제외한 나머지 (n-2)개의 원소를 사용하는 완전순열이 되므로 !(n-2)로 표현이 가능하다.
1이 특정한 자리 x에 위치하고, x가 1의 자리에 위치하지 않는 순열이 될 경우: 이 경우, 1은 x의 자리에 위치하였지만, x는 1에 위치하지 않는다는 조건이 있으므로 1과 x를 같은 위상의 원소로 볼 수 있다. 따라서 !(n-1)로 표현이 가능하다.
이상을 종합하여 볼 때, n개의 원소가 갖는 완전순열의 개수 !n은 위 공식으로 주어진다.

 외부 링크 



분류:순열
분류:고정점
분류:정수열