드무아브르의 공식

수학에서 드무아브르의 공식() 또는 드무아브르의 정리(de Moivre's theorem)는 임의의 복소수를 극형식으로 나타내었을 때 성립하는 다음 등식을 의미한다. 이 식에서 i는 허수 단위를 뜻한다.

이 공식은 복소수와 삼각 함수간의 관계를 보여준다.

가 실수라는 가정하에, 좌변을 전개하면 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 이를 이용하면 만을 사용하여 와 을 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라, 의 복소근을 쉽게 구할 수 있다.

 유도 
역사적으로 오일러의 공식보다도 더 먼저 증명되었지만, 오일러 공식을 사용하면 이를 쉽게 유도할 수 있다.

지수 함수의 성질에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.

그러면, 오일러의 공식에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.

 수학적 귀납법을 이용한 증명 
세 가지 경우로 나누어 생각한다.

인 정수에 대하여, 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. 일 때, 이 등식은 참이다. 이제 일 때 다음의 식이 성립한다고 가정하자.

이제 일 때 식이 성립하는지를 확인하면,

이 식이 일 때도 참이라는 것을 알 수 있다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 인 모든 양의 정수에 대하여 식이 성립한다.

이제 일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보면,  또는 라는 약속에 의하여 성립한다.

이제 일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보자. 우선 을 만족하는 양의 정수 에 대하여 생각하여 보면,

이 식이 모든 정수에 대하여 성립한다는 사실을 알 수 있다.

 코사인과 사인 부분을 각각 증명하는 방법 

복소수의 성질에 의하여, 두 복소수가 같으려면 실수부와 허수부가 같아야 한다. 
만약 와 가 실수라면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

이 식은 가 복소수일 때에도 양변이 정칙함수이므로, 그 성질에 의하여 성립한다. 위의 식이 실제로 성립하는지 확인해보기 위해 을 대입해보면,

에 대한 등식의 우변은, 실제로는 체비쇼프 다항식 의 값이다.

 정수 지수가 아닐 때의 문제, 일반화 
드무아브르의 공식은 정수지수가 아닐 때는 성립하지 않는다. 드무아브르의 공식을 유도할 때 복소수의 n제곱이 사용되며, 만약 n이 정수가 아니라면 복소지수가 다가함수이기 때문에 좌변이 잘 정의되지 않는다.

 복소수 지수의 확장 
이 공식은 더 일반적으로 확장할 수 있다. 와 가 복소수라면, 와는 달리

는 여러값 함수(multivalued function)이다. 따라서

는 의 여러 값중 하나일 뿐이다.

프레임|복소평면위에 찍은 의 근.

 활용 
이 공식은 의 복소근을 구하는 데에 활용할 수 있다. 만약 가 복소수라면, 이는 극형식 형태로 다음과 같이 쓸 수 있다.



이 때 가 정수라면,



개의 서로 다른 근을 구할 때, 부터 까지의 값을 대입해주면 쉽게 그 값을 구할 수 있다.

또한 이 공식은 고차방정식의 특수형태인, 의 꼴로, 이항방정식 이되겠다.

 역사 
아브라암 드무아브르가 발견하였다. 허수에 대한 직접적인 언급은 없다.(인터넷 아카이브 -수열과 적분에 대한 해석잡론(解析雜論) 아브라암 드무아브르 1730)https://archive.org/details/bub_gb_TFX1165yEc4C(구글 도서-수열과 적분에 대한 해석잡론(解析雜論) 아브라암 드무아브르 1730)https://books.google.co.kr/books?id=TFX1165yEc4C&printsec=frontcover&dq=Miscellanea+analytica+de+seriebus+et+quadraturis.+Accessere+variae+considerationes+de+methodis+comparationum,+combinationum+%26+differentiarum,+solutiones+difficiliorum+aliquot+problematum+ad+sortem+spectantium,+itemque+constructiones+faciles+orbium+planetarum,+una+cum+determinatione+maximarum+%26+minimarum+mutationum+quae+in+motibus+corporum+coelestium+occurrunt&hl=ko&sa=X&ved=2ahUKEwjsvvG1-5rwAhVJyIsBHVYaDfwQ6AEwBXoECAQQAg#v=onepage&q=Miscellanea%20analytica%20de%20seriebus%20et%20quadraturis.%20Accessere%20variae%20considerationes%20de%20methodis%20comparationum%2C%20combinationum%20%26%20differentiarum%2C%20solutiones%20difficiliorum%20aliquot%20problematum%20ad%20sortem%20spectantium%2C%20itemque%20constructiones%20faciles%20orbium%20planetarum%2C%20una%20cum%20determinatione%20maximarum%20%26%20minimarum%20mutationum%20quae%20in%20motibus%20corporum%20coelestium%20occurrunt&f=false

 같이 보기 
 오일러 공식
 1의 거듭제곱근
 이항 방정식

 참고 문헌 
 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. . (p. 74).

 각주 

 외부 링크 


분류:복소해석학 정리