인접행렬

그래프 이론에서 인접 행렬(隣接行列, )은 그래프에서 어느 꼭짓점들이 변으로 연결되었는지 나타내는 정사각 행렬이다.

 정의 
개의 꼭짓점이 있는 그래프 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 내적 공간

을 정의할 수 있다. 의 인접 행렬 은  위의 선형 변환 이며, 그 성분은 다음과 같다.

(편의상 브라-켓 표기법을 사용하였다.)
이는 정의에 따라 대칭 연산자이다.

보다 일반적으로, 이와 같은 정의를 다중 그래프에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우, 는 와  사이의 변의 수가 된다. 다만, 이 경우 문헌에 따라 고리(시작과 끝이 같은 변)를 세는 법이 다를 수 있다.

 화살집의 인접 행렬 
국소 유한 화살집 (즉, 임의의 두 꼭짓점 사이의 변 집합이 유한한 화살집) 의 인접 행렬은 실수 선형 변환

이며, 그 성분은 다음과 같다.

즉, 는 에서 시작하고 에서 끝나는 변의 수이다. 만약 이러한 변이 없다면 이다. 특히, 는 꼭짓점 에서 스스로로 가는 변의 수이다.
이는 물론 일반적으로 대칭 연산자가 아니다.

이에 따라, 화살집 에 대하여,

은 꼭짓점 에서 꼭짓점 로 가는, 길이 의 보행의 수이다. (여기서 편의상 브라-켓 표기법을 사용하였다.) 마찬가지로, 대각합

은 길이 의 순환의 수이다.

 성질 
유한 그래프 의 인접 행렬의 고윳값의 집합을 의 스펙트럼()이라고 하고, 로 표기하자.

그래프는 자기 고리를 가질 수 없으므로, 그래프의 인접 행렬의 대각 성분들은 모두 0이다. 이에 따라, 그 대각합은 항상 0이다. 즉, 스펙트럼의 원소들의 (중복수를 고려한) 합은 0이다.

의 스펙트럼의 최댓값 은 의 최대 차수(한 꼭짓점에 연결된 변의 수의 최댓값)보다 같거나 작다.

증명:
임의의 고윳값  및 이에 대응하는 고유 벡터 를 생각하자. 이제

라고 하자. (최댓값이 되는 꼭짓점이 여러 개라면, 임의로 하나를 고른다.) 또한, 일반성을 잃지 않고 으로 가정할 수 있다. (아니라면, 를 취하면 된다.)

그렇다면,

이다. 따라서,

이다.

또한, 유한 정규 그래프 에 대하여, 이 부등식이 포화된다.

정규 그래프의 경우 이 고윳값 의 중복수는 의 연결 성분의 수와 같다. 각 연결 성분 에 대응하는 고유 벡터 는 각 연결 성분 에 대하여

의 꼴이다. 특히,

는 항상 고윳값 의 고유 벡터를 이룬다.

 연산에 대한 호환 
임의의 두 그래프 , 에 대하여,

이다. 여기서 좌변은 그래프의 분리합집합이며, 우변은 중복집합의 분리합집합이다.

임의의 두 그래프 , 에 대하여,

이다. 여기서 는 그래프의 그래프 데카르트 곱을 뜻한다.

 그래프 동형 
섬네일|오른쪽|같은 스펙트럼을 갖지만 서로 동형이 아닌 두 그래프
같은 수의 꼭짓점을 갖는 임의의 두 유한 그래프 , 에 대하여, 두 그래프가 동형일 필요 충분 조건은

인 치환행렬

가 존재하는 것이다.

반면, 서로 동형이 아니지만, 스펙트럼이 같은 그래프들이 알려져 있다.

 응용 
인접 행렬의 특정 원소에 접근하는 데 걸리는 시간이 상수 시간이라면 꼭짓점 i에서 꼭짓점 j로 가는 변이 있는지를 상수 시간에 알 수 있다. 꼭짓점의 개수를 n이라고 할 때 인접행렬을 만드는 데 시간을 쓰게 되므로, 인접행렬을 이용한 그래프 알고리즘의 시간 복잡도는 이보다 더 좋을 수 없다. 따라서 변이 희소한 경우에는 인접 리스트 표현 방식이 유리하다.

 예 
다음과 같은 유한 그래프를 생각하자.
200px
이 그래프의 인접 행렬은 다음과 같은 대칭 행렬이다.

이 그래프의 스펙트럼은 다음과 같다.

이들의 합은 0이며, 그 최댓값 2.54는 그래프의 최대 차수 3보다 작다.

 무변 그래프 
무변 그래프 의 인접 행렬은 영행렬이다.

그 스펙트럼의 유일한 원소는 0이며, 그 중복수는 이다.

 완전 그래프 
완전 그래프 의 인접 행렬은 다음과 같은 꼴이다.

여기서 는 모든 성분이 1인 행렬이다.

그 스펙트럼은 다음과 같다.

 완전 이분 그래프 
완전 이분 그래프 의 인접 행렬은 다음과 같은 꼴이다.

여기서 는 모든 성분이 1인 행렬이다.

완전 이분 그래프 의 스펙트럼은 다음과 같다.

고윳값 의 고유 벡터는

이다. (여기서 는 완전 이분 그래프의 꼭짓점 집합의 분할이다.)

 순환 그래프 
순환 그래프 의 인접 행렬은 다음과 같다.

(여기서 으로 여긴다. 즉, 이다.)

그 스펙트럼은 다음과 같다.

특히, 가 아닌 모든 고윳값들의 중복수는 2이다. (의 중복수는 1이다.)

 경로 그래프 
개의 꼭짓점을 갖는 경로 그래프 의 인접 행렬은 다음과 같다.

그 스펙트럼은 다응과 같다.

특히, 만약 가 스펙트럼에 속한다면 도 스펙트럼에 속한다. 모든 고윳값의 중복수는 1이다.

 딘킨 도표 
ADE형의 단순 리 대수 의 딘킨 도표는 그래프를 이룬다. 이 그래프의 스펙트럼은 다음과 같은 꼴이다.

여기서
 는 의 계수(의 최대 아벨 부분 리 대수의 차원 = 딘킨 도표의 꼭짓점의 수)이다.
 는 의 콕서터 수이다.
 는 의 딘킨 도표의 각 꼭짓점에 대응되는 차수들이다. 예를 들어, 리 대수 의 경우 이다.

 같이 보기 
 그래프 라플라스 연산자

 외부 링크 




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