셈측도

측도론에서 셈측도(셈測度, )는 모든 부분집합이 가측 집합이고, 부분집합을 그 기수로 대응시키는 측도이다.

 정의 
집합  위의 셈측도 공간() 은 다음과 같다.
 시그마 대수 는 의 멱집합이다. 즉, 모든 부분집합이 가측 집합이다.
 측도 는 다음과 같다. 임의의 에 대하여,

이 데이터가 측도 공간을 이룸을 보일 수 있다.

 응용 
셈측도는 Lp 공간에서 성립하는 코시-슈바르츠 부등식, 횔더 부등식, 민코프스키 부등식 등의 명제들을 다른 공간에서도 생각할 수 있도록 한다. 만약 Ω = {1,...,n}이고 μ는 Ω에서 정의된 셈측도일 때, 측도 공간 S = (Ω, Σ, μ)에 대하여
  x = (x1,...,xn)
를 노름으로 가지는 노름 공간 Lp(S)는 Rn (또는 Cn)과 같다. 셈측도 μ를 Ω의 원소의 개수 n으로 나누어주면, 이는 이산 균등 분포가 된다.

마찬가지로, 을 셈측도 공간으로 간주한 자연수 집합이라고 하면, Lp(S)에서

의 값이 유한인 x = (xn)의 수열을 구성할 수 있다. 이를 Lp 공간이라 한다.

또한, 가산 집합에서의 셈측도는 르베그 적분의 정리들(단조 수렴 정리, 파투 보조정리, 지배 수렴 정리, 푸비니 정리 등)을 급수에 대해서도 적용할 수 있도록 한다.

 외부 링크 


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