웨어링 문제

수론에서, 웨어링 문제()는 모든 양의 정수 에 대하여, 모든 양의 정수 이 개 이하의 양의 제곱수의 합인, (에 의존하지만 에 의존하지 않는) 양의 정수 를 찾을 수 있는지 묻는 문제이다. 예를 들어, 모든 양의 정수는 9개 이하의 양의 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있으며, 19개 이하의 양의 네제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.

에드워드 웨어링이 1770년에 제기하였으며, 수많은 변형 문제를 낳았다. 다비트 힐베르트가 1909년에 원래 형태를 긍정적으로 해결하였다.

 g(k) 
임의의 양의 정수 에 대하여, 가 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수라고 하자.
 모든 양의 정수는 개 이하의 양의 제곱수로 나타낼 수 있다.
이 함수는 완전히 묘사되었으며, 다음과 같다.

작은 의 값은 다음과 같다.

 (라그랑주 네 제곱수 정리) 



 G(k) 
임의의 양의 정수 에 대하여, 가 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수라고 하자.
 “충분히 큰” 양의 정수는 개 이하의 양의 제곱수로 나타낼 수 있다. 즉, 개 이하의 양의 제곱수로 나타낼 수 없는 양의 정수의 수는 유한하다.
이 함수에 대해서 알려진 바는 비교적 적다. 정확한 값은 오직 다음 경우만이 알려져 있다.



작은 의 상계는 다음과 같다.






현재 알려진 가장 좋은 점근적 상계는 아마도 다음과 같다.

 G~(k) 
임의의 양의 정수 에 대하여, 가 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수라고 하자.
 “거의 모든” 양의 정수는 개 이하의 양의 제곱수로 나타낼 수 있다. 즉, 개 이하의 양의 제곱수로 나타낼 수 없는 양의 정수의 점근 밀도는 0이다.
자명하게 이다. 의 경우, 다음과 같은 값들이 알려져 있다.








 같이 보기 
 페르마의 다각수 정리

 참고 문헌 

 외부 링크 





분류:1770년 과학
분류:가법 수론
분류:수론의 미해결 문제