퍼텐셜 단

섬네일
퍼텐셜 계단(step potential)은 양자역학과 산란이론에서 쓰이는 모델 시스템이다. 단 모양의 퍼텐셜에서의 입자에 대한 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것으로 구성되어 있고, 보통 이 모델의 퍼텐셜은 헤비사이드 계단함수로 나타낸다.

 1차원 퍼텐셜 단 

 퍼텐셜 
섬네일|오른쪽|350px|퍼텐셜 단
1차원 퍼텐셜 단의 퍼텐셜은 다음과 같이 헤비사이드 계단함수로 주어진다.

여기서

 일반해 
경계조건을 무시하고 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀면 아래와 같은 파동함수를 얻는다.

여기서,

이다.

 경계조건 
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식에 의하면 각 점에서 파동함수와 파동함수의 1차미분이 연속이여야 한다. 즉, 여기서는 파동함수에 대해

이 성립해야 한다. 여기서 0-와 0+는 각각 좌극한과 우극한을 의미한다.

위를 정리하면 첫 번째 경계조건에서

두 번째 경계조건에서

를 얻는다.

 반사와 산란 
이제 이 상황을 고전역학적 관점과 비교해 볼 수 있다. 고전역학에서 퍼텐셜 단이 이렇게 있으면, 에너지가 단보다 높으면 (E > V0 단을 무시하고 통과할 것이고 에너지가 단보다 낮으면 (E < V0) 단에서 모든 입자가 반사될 것이다.

하지만 양자역학적 관점에서는 다른 결과를 얻는다. 입자가 단의 낮은쪽에서 오는 경우에, 즉 D = 0 인 경우, 반사되는 입자와 관련된 상수 R = B와 투과하는 입자와 관련된 상수 T = C가 A에 대해 상대적으로 얼마의 값을 가지는지 확인해보자. 편의상 A를 1로 놓고 관계식

를 풀면

를 얻는다. 각각의 확률흐름을 계산해보면 x < 0 에서

x > 0에서

가 되고 두 흐름이 x = 0에서 같아야 하므로

를 얻는다.

이제 여기서 반사된 흐름과 투과한 흐름의 양을 구할 수 있는데 반사된 흐름은

이고, 투과한 흐름은

이다. 보다시피 두 흐름의 양을 더하면 처음의 흐름의 양과 같아진다.

 같이 보기 
 유한 퍼텐셜 우물
 상자속 입자
 델타 퍼텐셜
 퍼텐셜 장벽

분류:양자 모형
분류:양자역학 퍼텐셜
분류:산란 이론