반연속 함수

해석학과 위상수학에서 상반연속 함수(上半連續函數, )와 하반연속 함수(下半連續函數, )는 연속 함수의 성질을 약화한 개념이다. 대략, 상반연속 함수에서, 정의역의 점이 에 가까울 때 함수의 값은 에 가깝거나 보다 작다. 반대로, 하반연속 함수의 정의역의 점이 에 가까우면 함수 값은 에 가깝거나 크다.

 정의 
위상 공간 에서 전순서 집합 로 가는 함수 가 다음 조건을 만족시키면, 상반연속 함수라고 한다.
 에 하위상을 가했을 때, 는 연속 함수이다. 즉, 임의의 에 대하여, 는 열린집합이다.
마찬가지로, 가 다음 조건을 만족시키면, 하반연속 함수라고 한다.
 에 상위상을 가했을 때, 는 연속 함수이다. 즉, 임의의 에 대하여, 는 열린집합이다.

 실수 값 함수 
실수 값의 함수의 경우 상·하반연속 함수의 개념은 상극한과 하극한을 통해 정의할 수 있다. 즉, 위상 공간 에서 실수선으로 가는 함수 가 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 상반연속 함수이다.
 임의의 에 대하여, 

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 하반연속 함수이다.
 임의의 에 대하여, 

 성질 
위상 공간 에서 전순서 집합 로 가는 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 상반연속 함수이다.
 를 반대 전순서 집합 를 공역으로 하는 함수로 여겼을 때, 하반연속 함수이다.

특히, 가 실수의 전순서 집합과 그 반대 전순서 집합 사이의 순서 동형이므로, 위상 공간 에서 실수선으로 가는 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 상반연속 함수이다.
 는 하반연속 함수이다.

 연속 함수와의 관계 
위상 공간 에서 전순서 집합 로 가는 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 공역에 순서 위상을 가했을 때, 연속 함수이다.
 상반연속 함수이자 하반연속 함수이다.
이는 순서 위상이 하위상과 상위상보다 섬세한 가장 엉성한 위상이기 때문이다.

상반연속 또는 하반연속 함수 의 불연속점의 집합은 제1 범주 집합을 이룬다.

 정규성과의 관계 
위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 정규 공간이다.
 임의의 상반연속 함수  및 하반연속 함수 에 대하여, 만약 라면, 인 연속 함수 가 존재한다.

위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 정규 공간이며, 가산 파라콤팩트 공간이다.
 임의의 상반연속 함수  및 하반연속 함수 에 대하여, 만약 라면, 인 연속 함수 가 존재한다.

위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 완전 정규 공간이다.
 임의의 상반연속 함수  및 하반연속 함수 에 대하여, 만약 라면, 이며, 일 때 인 연속 함수 가 존재한다.

 연산에 대한 닫힘 
임의의 상(하)반연속 함수 에 대하여,

는 둘 다 상(하)반연속 함수이다.

임의의 상(하)반연속 함수 에 대하여, 두 함수의 합

는 상(하)반연속 함수이다.

임의의 상(하)반연속 함수 에 대하여, 곱

는 상(하)반연속 함수이다.

 예 
섬네일|오른쪽|위에서 반연속인 함수. 진한 푸른 점은 f(c)를 의미한다.
다음과 같이 조각적으로 정의된 함수 f = −1 (x < 0 에 대해) and f = 1 (x ≥ 0 에 대해)를 생각해보자. 이 함수는 c = 0에서 위에서 반연속이다. 하지만 아래서 반연속은 아니다.

섬네일|오른쪽|아래서 반연속인 함수. 진한 푸른 점은 f(c)를 의미한다.
x보다 같거나 작은 정수 중 가장 큰 값을 주는 내림함수 f(x)=⌊x⌋는 전구간에서 위에서 반연속이다. 비슷하게, 올림함수 f(x)=⌈x⌉는 아래로 반연속이다.

또한, 굳이 좌연속 또는 우연속일 필요 없이 함수는 반연속성을 가질 수 있다. 예를 들어, 함수

는 x = 1에서 좌연속 또는 우연속도 아니지만 위에서 반연속이다. 우극한의 값은 1/2, 좌극한의 값은 1이지만, 둘 다 2보다는 작다. 비슷하게 함수

는 x = 0에서 좌극한과 우극한이 존재하진 않지만, 위에서 반연속이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:해석학 (수학)
분류:변분해석학
분류:연속 함수