델 페초 곡면

대수기하학에서 델 페초 곡면(del Pezzo曲面, )은 사영 평면의 점들을 부풀려 얻을 수 있는 대수 곡면의 한 종류다.

 정의 
대수적으로 닫힌 체 에 대하여, 델 페초 곡면은 다음 두 조건을 만족시키는 -대수다양체 이다.
 대수 곡면이다. 즉, 크룰 차원이 2차원이다.
 파노 다양체이다. 즉, 반표준 인자 가 풍부한 인자이며, 완비 대수다양체이다.

 분류 
델 페초 곡면은 유리 곡면이다. 즉, 사영 평면과 쌍유리 동치이다. 델 페초 곡면 X의 차수() d는 반표준 인자(또는 표준 인자)의 제곱이며, 표준 인자의 자기 교차수와 같다.

모든 델 페초 곡면은 다음 가운데 정확히 하나와 동형이다.
 사영 평면의 개의 점에서의 부풀리기 (). 보통 로 쓴다. 이 경우, 차수가 이며, 피카르 군은 홀 유니모듈러 격자 이다.
 . 이 경우 차수가 8이며, 피카르 군은 짝 유니모듈러 격자 이다.
사영 평면에서 9개 이상의 점들을 부풀리면 더 이상 반표준 인자가 풍부하지 않다. 예를 들어, 9개의 점을 부풀리면 반표준 인자의 자기 교차수가 0이다.

 성질 
델 페초 곡면들의 차수에 따른 목록은 다음과 같다. 아래 표에서, "(−1)-곡선"은 자기 교차수가 인 유리 곡선이며, 이러한 곡선들의 수는 에 수록되어 있다.

 기호  차수   (−1)-곡선의 수  피카르 군  모듈라이 공간의 차원  비고  1  240     8  (−1)-곡선들은 E8의 근계와 대응  2  56    6  분지선이 평면 4차 곡선인, 사영 평면의 2겹 피복 공간  3  27    2   속의 3차 곡면  4  16   2   속의 세그레 곡면 (=두 이차 곡면의 교차)  5  10   0  6  6   1  7  3   1  8   1   0  히르체브루흐 곡면  8   0    0  두 개의 사영 직선의 곱 (이차 곡면)  9  0    0  사영 평면 

 (−1)-곡선 
델 페초 곡면에서 (−1)-곡선()은 자기 교차수가 −1이며, 표준 인자와의 교차수 역시 −1인 (기약) 곡선이다. 이들은 다음과 같다.

에서, 의 세르 뒤틀림 층 의 당김을 라고 하고, 부풀리기로 발생하는 예외적 인자들을 이라고 하자. 이는 델 페초 곡면의 피카르 군

의 기저를 이룬다. 이 경우, 교차수는 다음과 같다.

표준 인자는 다음과 같다.

인자

가 (−1)-곡선을 이루려면, 다음 연립 디오판토스 방정식을 만족시켜야 한다.

이 디오판토스 방정식의 해는 인 경우 다음과 같다.
   0이 아닌   개수  해석 0  −1    예외 곡선 1  1, 1    부풀려진 두 점을 지나는 사영 직선 2  1, 1, 1, 1, 1    부풀려진 5개의 점을 지나는 원뿔 곡선 3  2, 1, 1, 1, 1, 1, 1    하나의 2중점을 갖는 3차 유리 곡선. 인 경우에만 가능 4  2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1  56  세 개의 2중점을 갖는 4차 유리 곡선. 인 경우에만 가능 5  2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1  28  6개의 2중점을 갖는 5차 유리 곡선. 인 경우에만 가능 6  3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2  8  7개의 2중점과 하나의 3중점을 갖는 6차 유리 곡선. 인 경우에만 가능

 호지 수 
델 페초 곡면 은 사영 평면을 번 부풀려 얻은 곡면이다. 따라서, 호지 수 가운데 만이 만큼 증가하고, 나머지 호지 수들은 사영 평면의 호지 수와 같다. 즉, 의 호지 수는 다음과 같다.
   1  0   0 0    1+n   0  0   0   1

의 경우 두 사영 직선의 곱이므로 호지 수를 쉽게 계산할 수 있으며, 다음과 같다.
   1  0   0 0    2   0  0   0   1

 역사 
나폴리의 수학자 파스콸레 델 페초()가 1880년대에 연구하였다.

 응용 
델 페초 곡면은 이론 물리학에서 다양하게 등장한다. 델 페초 곡면은 거울 대칭의 중요한 예이다. 델 페초 곡면은 또한 자이베르그 이중성에 사용되며, M이론의 신비로운 이중성()에 등장한다.

 각주 






 외부 링크 




분류:곡면
분류:복소곡면
분류:대수곡면