스털링 근사

수학에서 스털링 근사() 또는 스털링 공식()은 큰 계승 (수학)을 구하는 근사법이다.

 정의 
매우 큰 에 대하여, 다음과 같은 공식이 성립한다.

이는 구체적으로 다음을 말한다.

구체적으로, 모든 양의 정수 에 대하여 다음과 같은 상계와 하계가 존재한다.

 스털링 급수 
스털링 근사를 일반화시켜, 다음과 같은 스털링 급수()를 정의할 수 있다.

이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. , 
1, 1/12, 1/288, −139/51840, −571/2488320, 163879/209018880, 5246819/75246796800, −534703531/902961561600, …
로그로 쓰면 다음과 같다.

이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. , 
1/12, −1/360, 1/1260, −1/1680, 1/1188, −691/360360, 1/156, −3617/122400, 43867/244188, …
스털링 급수는 수렴하지 않는다. 즉, 이는 점근 전개(asymptotic expansion)에 불과하다. 스털링 급수를 주어진 차수에서 절단한다면, 충분히 큰 n에 대하여 이는 유효한 근사가 되지만, 주어진 n에 대해서는 비교적 낮은 차수에서 유효하나 매우 높은 차수에서는 유효하지 않게 된다.

 역사 
아브라암 드무아브르는 《해석학 잡론》(, 1판 1730년, 2판 1733년)의 2판에 추가된 부록에서 정규 분포를 다루기 위하여 계승 (수학)을

과 같은 꼴로 근사하였고, 또 비례 상수 를

로 근사하였다. 이는

이다. 드무아브르의 근사는 《확률론》(, 1판 1718년, 2판 1738년, 3판 1756년) 제2판에서도 등장한다.

제임스 스털링은 상수 가 임을 보였다. 이후 자크 비네()가 스털링 근사의 추가항들을 도입하였다.

 증명 
 개략적인 증명 
먼저 을 로그의 성질에 의해 전개하자.

이 크다면, 리만 합과 유사한 논리에 의해 합을 적분으로 근사할 수 있다.

이제 적분을 계산하면 다음과 같다.

을 얻고, 이므로 맨 끝의 1을 떼어버리면 가장 간단한 형태의 스털링 근사를 얻는다.

 더 엄밀한 증명 
증명을 하기 위해, 계승의 좀 더 일반적인 표현인 감마 함수를 사용하자. 이 자연수일 때, 다음이 성립한다.

피적분 함수의 형태를 보면, 감마분포를 따르고 있음을 알 수 있는데, 감마 분포의 경우 이 매우 클 경우, 중심 극한 정리에 의해 정규 분포로 근사할 수 있다. 따라서, 위를 정규 분포의 형태로 근사시켜 보자. 먼저 피적분 함수의 형태를 조금 바꾸면

가 된다. 이제  이라 하고 계속 식을 전개해 나가면,

정규분포의 확률 밀도 함수의 형태를 얻기 위해 로그를 테일러 전개를 해서 2차항까지만 취하면 (최댓값 근처에서  이므로 가능 )

이 되고 이를 다시 원래 피적분 함수에 대입하면, 정규 분포의 확률 밀도 함수와 유사한 형태의 함수를 얻는다.

감마 분포를 정규 분포로 근사하였므로, 가 음수인 영역은 거의 0에 가깝다. 따라서 전 에 대해서 모두 적분하면, 아래의 스털링 근사를 얻는다.

 응용 
스털링 근사는 통계역학에서 흔히 등장하는 매우 큰 계승 (수학)을 근사할 때 쓰인다. 거시적인 크기의 계에서의 입자 수는 보통 아보가드로 수(≈6)에 견줄 만하므로, 스털링 근사가 효과적이다.

 각주 

 Abramowitz, M. and Stegun, I., Handbook of Mathematical Functions, http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm 
 Paris, R. B., and Kaminsky, D., Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001
 Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. 

 외부 링크 




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