볼록 집합

섬네일|볼록 집합이 아닌 집합
기하학에서 볼록 집합()은 임의의 두 점을 잇는 선분을 포함하는, 유클리드 공간의 부분 집합이다.

 정의 
가 실수체 또는 복소수체라고 하자. -위상 벡터 공간 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 볼록 집합이라고 한다.
 임의의  및 에 대하여, 
국소 볼록 집합()은 임의의 점이 (그 부분 집합에서의) 볼록 근방을 갖는 부분 집합이다.

 다각 연결 집합 
실수 위상 벡터 공간 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 다각 연결 집합()이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 자연수  및 가 존재한다.


 각  및 임의의 에 대하여, 
위 정의에서 을 어떤 자연수로 고정하면, -다각 연결 집합()의 정의를 얻는다. 이 경우, 볼록 집합은 1-다각 연결 집합과 동치이다.

 성질 
 연산에 대한 닫힘 
볼록 집합들의 교집합은 볼록 집합이다. 볼록 집합들의 상향 집합의 합집합은 볼록 집합이다. (더 일반적인 결과는 성립하지 않는다. 예를 들어, 서로 만나는 두 직선의 합집합은 볼록 집합이 아니다.) 볼록 집합의 폐포·내부는 볼록 집합이다.

 함의 관계 
모든 다각 연결 집합은 경로 연결 공간이다. 모든 -다각 연결 집합은 다각 연결 집합이다. (그러나 다각 연결 집합은 어떤 에 대하여 -다각 연결 집합일 필요가 없다.) 모든 별모양 집합은 2-다각 연결 집합이다. 모든 (공집합이 아닌) 볼록 집합은 별모양 집합이다.

실수 노름 공간의 연결 열린집합은 항상 다각 연결 집합이다.

유클리드 공간 의 부분 집합 에 대하여, 만약 가 닫힌집합이며, 연결 공간이며, 국소 볼록 집합이라면, 는 볼록 집합이다 (티체-나카지마 정리, ). 보다 일반적으로, 만약 가 닫힌집합이며, 연결 집합이며, 개 이하의 국소 비볼록점을 갖는다면, 는 -다각 연결 집합이다. 보다 일반적으로, 만약 가 닫힌집합이며, 연결 집합이며, 의 국소 비볼록점의 집합이 (서로소일 필요가 없는) 개의 볼록 집합의 합집합이라면, 는 -다각 연결 집합이다.

 부분 집합의 극대 볼록 집합 
실수 위상 벡터 공간 의 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 의 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 의 볼록 성분()이라고 한다. 의 임의의 볼록 집합은 의 볼록 성분에 포함되며, 임의의 볼록 성분은 연결 집합이므로, 의 유일한 연결 성분에 포함된다. 그러나 연결 성분과 달리, 볼록 성분들은 서로소일 필요가 없다. 다시 말해, 의 주어진 볼록 집합을 포함하는 극대 볼록 집합은 유일하지 않을 수 있다.

만약 가 닫힌집합이라면, 모든 볼록 성분 역시 닫힌집합이다.

실수 위상 벡터 공간 의 부분 집합 가 가산 개의 의 서로소 볼록 닫힌집합 들의 합집합이라면, 의 볼록 성분들은 정확히 들이며, 특히 의 볼록 성분들은 의 분할을 이룬다.

 예 
실수선 의 볼록 집합은 단순히 구간이다.

집합

은 경로 연결 공간이지만, 의 다각 연결 집합이 아니다.

 역사 
티체-나카지마 정리는 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(, 1880~1964)와 나카지마()가 모두 1928년 논문에서 독립적으로 증명하였다.

 같이 보기 
 크레인-밀만 정리
 볼록 폐포

 각주 

 외부 링크 






분류:볼록기하학
분류:볼록 해석