극한 (범주론)

수학의 한 분야인 범주론에서 극한(極限, )은 수학의 여러 분야에서 사용되는 보편적 구성들(예로서 곱이나 역극한 등)이 갖는 공통된 성질을 잡아내어 일반화시킨 개념이다. 그 쌍대 개념인 쌍대극한(雙對極限, )은 서로소 합집합이나 직합 등의 일반화이다. 극한과 쌍대극한은 보편 사상 및 수반 함자 등의 범주론적 개념과 밀접한 연관이 있다.

 정의 
 뿔을 통한 정의 
함자 의 뿔() 은 다음 데이터로 구성된다.
 의 대상 
 모든 대상 에 대하여, 의 사상 
이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.
 모든 대상  및 사상 에 대하여, 
함자 의 극한은 다음 보편 성질을 만족시키는 뿔 이다.
 모든 의 뿔 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 이 존재한다.
 모든 대상 에 대하여, 
파일:Functor cone (extended).svg

주어진 함자의 극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 이는 극한의 보편 성질에 의한다. 만약 극한의 정의에서 사상의 유일성 조건을 존재로 약화하면 약한 극한()의 개념을 얻는다.

함자 의 쌍대뿔() 은 다음 데이터로 구성된다.
 의 대상 
 모든 대상 에 대하여, 의 사상 
이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.
 모든 대상  및 사상 에 대하여, 
함자 의 쌍대극한은 다음 보편 성질을 만족시키는 쌍대뿔 이다.
 모든 의 쌍대뿔 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 이 존재한다.
 모든 대상 에 대하여, 
파일:Functor co-cone (extended).svg

보편 성질에 따라, 주어진 함자의 쌍대극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 만약 사상의 유일한 존재를 존재로 대체하면 약한 쌍대극한()의 정의를 얻는다.

 끝 대상을 통한 정의 
만약 가 작은 범주라면, 함자 의 극한은 쉼표 범주

의 끝 대상이다. 여기서

는 대각 함자이며,

는 1의 유일한 대상의 상이 인 상수 함자이다. 끝 대상은 유일한 동형 아래 유일하므로, 극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 함자의 정의역이 작은 범주인 경우, 끝 대상을 통한 극한의 정의는 뿔을 통한 정의의 재서술에 불과하다.

만약 가 작은 범주라면, 함자 의 쌍대극한은 쉼표 범주

의 시작 대상이다. 시작 대상은 유일한 동형 아래 유일하므로, 쌍대극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 함자의 정의역이 작은 범주인 경우, 시작 대상을 통한 쌍대극한의 정의는 쌍대뿔을 통한 정의의 재서술에 불과하다.

 표현을 통한 정의 
만약 가 작은 범주라면, 함자 의 극한은 다음 데이터로 구성된다.
 대상 
 자연 동형  ()
여기서 은 집합의 범주 에서의 극한이며, 이는 구체적으로 정의될 수 있다. 표현 가능 함자의 표현은 유일한 동형 아래 유일하므로, 극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 극한의 표현을 통한 정의와 뿔을 통한 정의의 동치는 요네다 보조정리에 의한다.

만약 가 작은 범주라면, 함자 의 쌍대극한은 다음 데이터로 구성된다.
 대상 
 자연 동형  ()
여기서 은 집합의 범주 에서의 극한이며 (쌍대극한이 아닌 데 주의하자), 이는 구체적으로 정의될 수 있다. 표현 가능 함자의 표현은 유일한 동형 아래 유일하므로, 쌍대극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 쌍대극한의 표현을 통한 정의와 쌍대뿔을 통한 정의의 동치는 요네다 보조정리에 의한다.

 예 
특별한 경우에 붙은 이름은 다음과 같다.
   를 지표 범주로 하는 극한  를 지표 범주로 하는 쌍대극한 공(空)범주 끝 대상  시작 대상 이산 범주 곱  쌍대곱 상향 원순서 집합 사영 극한/역극한  귀납적 극한/직접적 극한  동등자  쌍대동등자  당김  밂

 참고 문헌 

 외부 링크