작은 군의 목록

크기가 31 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다. 특정한 유한군이 아래에서 어떤 군과 동형인지 알고 싶으면, 먼저 그 크기를 계산한 뒤, 아래에서 그 크기의 군들과  군론적 성질들이 일치하는지를 하나씩 비교해보면 된다.

 용어 및 표기법 
Zn: 크기가 인 순환군. Cn이나 Z/nZ로 표기하기도 한다.
Dihn: 크기가 인 정이면체군. Dn이나 D2n으로 표기하기도 한다.
Sn: 크기가 인 대칭군.
An: 크기가 인 교대군.
Dicn: 크기가 4n의 쌍순환군.

G × H는 군 G와 H의 직접곱을 나타낸다. Gn은 G를 자기 자신과 n번 직접곱한 것이다. (예를 들어, G2 = G × G.) H가 G에 작용할 때 는 반직접곱을 나타낸다. (자명한 방법을 제외하고) 어떤 식으로 작용하든 반직접곱을 계산하면 같은 동형류에 속하는 경우에는 구체적인 작용 방법을 생략한다.

두 군이 서로 동형이라는 것은 등호(=)로 나타낸다. 마디 그래프에서 단위원은 검은색 원으로 나타낸다. 위수 16부터는 하나의 마디 그래프가 서로 동형이 아닌 여러 군에 대응되지 않는 경우가 발생한다. 부분군의 목록에서 자명군은 생략하며, 서로 동형인 부분군을 여러 개 포함한 경우에는 그 개수를 괄호 안에 표시한다.

 아벨 군 

유한 아벨 군은 전부 순환군의 직합이므로 간단히 분류할 수 있다. 크기가 31 이하인 아벨 군들의 목록은 다음과 같다.
 크기 군 부분군 성질 마디 그래프 1 자명군 = Z1 = S1 = A2 - 여러 가지 성질들이 자명하게 성립 center 2 Z2 = S2 = Dih1 - 단순군 center 3 Z3 = A3  - 단순군 center 4 Z4  Z2     center 클라인 4원군 = Z2 2 = Dih2 Z2 (3) 가장 작은 비순환군 center 5 Z5  -  단순군 center 6 Z6 = Z3 × Z2 Z3 , Z2    center 7 Z7  -  단순군 center 8 Z8  Z4 , Z2   center Z4 ×Z2 Z22, Z4 (2), Z2 (3)   center Z23 Z22</sub> (7) , Z2 (7) 항등원이 아닌 원소들은 파노 평면의 점들에 대응되며, Z2 × Z2 부분군들은 직선에 대응 center 9 Z9 Z3   center Z32 Z3 (4)   center 10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2    center 11 Z11  -  단순군 center 12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2   center Z6 × Z2 = Z3 × Z22 Z6 (2), Z3, Z2 (3)   center 13 Z13  -  단순군 center 14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2    center 15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3    center 16 Z16 Z8 , Z4 , Z2   center Z24 Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15)</td>   center Z4 × Z22 Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 × Z2 (6)   center Z8 × Z2 Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2   center Z42 Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3)</td>   center 17 Z17 순환군, 단순군 40px|center 18 Z18 = Z9 × Z2 Z9, Z6, Z3, Z2 순환군 40px|center Z6 × Z3 = Z32 × Z2Z6, Z3, Z250px|center 19 Z19 순환군, 단순군 40px|center 20 Z20 = Z5 × Z4 Z20, Z10, Z5, Z4, Z2 순환군 40px|center Z10 × Z2 = Z5 × Z22 Z5, Z2  40px|center 21 Z21 = Z7 × Z3 Z7, Z3 순환군 40px|center 22 Z22 = Z11 × Z2 Z11, Z2 순환군 40px|center 23 Z23 – 순환군, 단순군 40px|center24 Z24 = Z8 × Z3 Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2 순환군 40px|center Z12 × Z2 = Z6 × Z4= Z4 × Z3 × Z2 Z12, Z6, Z4, Z3, Z2   Z6 × Z22 Z6, Z3, Z2 25 Z25 Z5 순환군 Z52 Z5  26 Z26 = Z13 × Z2 Z13, Z2 순환군27 Z27Z9, Z3순환군 Z9×Z3 Z9, Z3 Z33 Z3 28 Z28 = Z7 × Z4Z14, Z7, Z4, Z2 순환군 Z14 × Z2 = Z7 × Z22Z14, Z7, Z4, Z2 29 Z29 – 순환군, 단순군 30 Z30 = Z15 × Z2 = Z10 × Z3= Z6 × Z5 = Z5 × Z3 × Z2 Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2 순환군 31 Z31 – 순환군, 단순군

 비아벨 군
크기가 31 이하인 비아벨 군들의 목록은 다음과 같다.
 크기 군 부분군 성질 마디 그래프 6 S3 = Dih3  Z3 , Z2 (3) 가장 작은 비아벨 군 center 8Dih4 Z4, Z22 (2) , Z2 (5) center 사원수군, Q8 = Dic2 Z4 (3), Z2  가장 작은 데데킨트 군 center 10 D5   Z5 , Z2 (5) center 12 D6 = Dih3 × Z2 Z6 , Dih3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7) center A4 Z22 , Z3 (4) , Z2 (3) 군의 원소 개수의 약수를 위수로 갖는 부분군이 없는 가장 작은 군. 6개의 원소를 가진 부분군이 존재하지 않음.(라그랑주 정리 (군론), 쉴로브 정리 참조) center Dic3 = Z3 ⋊ Z4 Z2, Z3, Z4 (3), Z6 center 14 Dih7   Z7, Z2 (7) center 16 Dih8 Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9) center Dih4 × Z2 Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (7), Z4 (2), Z2 (11) center Q16 = Dic4   center Q8 × Z2    데데킨트 군 center 준정이면체군(quasidihedral group)     center 크기 16의 이와사와 군    center Z4 ⋊ Z4   center 파울리 행렬로 생성되는 군    center G4,4 = Z22 ⋊ Z4   center 18 Dih9   정이면체군  40px|center S3×Z3    40px|center(Z3 × Z3)⋊ Z2    40px|center 20 Q20 = Dic5 = <5,2,2>    40px|center Z5 ⋊ Z4    40px|center Dih10 = Dih5 × Z2    40px|center21 Z7 ⋊ Z3   홀수 크기의 가장 작은 비아벨군 22 Dih11     24 Z3 ⋊ Z8    SL(2,3) = Q8 ⋊ Z3   40px|center Q24 = Dic6 = <6,2,2> = Z3 ⋊ Q8    40px|center Z4 × S3     Dih12     Dic3 × Z2 = Z2 × (Z3 × Z4)     (Z6 × Z2)⋊ Z2 = Z3 ⋊ Dih4     Dih4 × Z3   멱영군   Q8 × Z3   멱영군   S4   쉴로브 부분군인 정규 부분군이 없음  40px|center A4 × Z2    40px|center D12× Z2      26 Dih13    27 Z32 ⋊ Z3   멱영군. 항등원이 아닌 모든 원소의 차수가 3   Z9 ⋊ Z3   멱영군  28 Dic7 = Z7 ⋊ Z4     Dih14    30 Z5 × S3     Dih15     Z3 × Dih5    

 같이 보기 
 합성열
 유한단순군의 목록
 유한군
 쉴로브 정리
 참고 문헌 



 외부 링크 


























분류:수학에 관한 목록
분류:유한군