T1 공간

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일반위상수학에서 T1 공간(T1空間, )은 주어진 두 점에 대하여, 첫째를 포함하며 둘째를 포함하지 않는 열린집합이 존재하는 위상 공간이다. 이는 콜모고로프 공간보다 강하지만, 하우스도르프 공간보다 약한 개념이다. 간혹 프레셰 공간(Fréchet space)이라고도 하는데, 이 용어는 함수해석학에서 다루는, 무관한 개념인 프레셰 공간과 혼동될 수 있다.

 정의 
위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 R0 공간이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 인 열린집합 가 존재한다면, 인 열린집합 가 존재한다.
 임의의 열린집합 에 대하여, 인 닫힌집합들의 집합 이 존재한다.

위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 T1 공간이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 라면, 인 열린집합 가 존재한다.
 콜모고로프 공간이며 R0 공간이다.
 임의의 에 대하여, 는 닫힌집합이다.
 임의의 유한 집합 는 닫힌집합이다.
 임의의 부분 집합 에 대하여, 를 포함하는 모든 열린집합들의 교집합은 와 같다.

위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 TD 공간이라고 한다.
 임의의 부분 집합 의 유도 집합은 닫힌집합이다.
 임의의 에 대하여, 의 유도 집합은 닫힌집합이다.
 임의의 에 대하여, 인 열린집합  및 닫힌집합 가 존재한다.

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.
 모든 한원소 집합이 …  닫힌집합이어야 한다  열린집합이어야 한다  닫힌집합일 수 없다  열린집합일 수 없다  열린집합과 닫힌집합의 교집합이어야 한다 위상 공간의 종류 T1 공간  이산 공간  (특별한 이름이 없음)  자기 조밀 공간  TD 공간

 성질 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
하우스도르프 공간(T2) ⊊ T1 공간 = (R0 공간 ∩ 콜모고로프 공간(T0)) ⊊ TD 공간 ⊊ 콜모고로프 공간(T0)

 차분한 공간과의 관계 
차분한 공간과 T1 공간은 서로를 함의하지 않는다.

차분한 TD 공간의 부분 집합은 차분한 공간이다. 그러나 이는 일반적인 차분한 공간에 대해서는 성립하지 않는다.

 예 
모든 알렉산드로프 공간은 TD 공간이다. 특히, 모든 유한 콜모고로프 공간은 TD 공간이다.

 각주 

 외부 링크 






분류:위상 공간의 성질