랭킨-위고니오 방정식

랭킨-위고니오 방정식()은 유입되는 흐름의 방향과 수직인 충격파의 거동을 나타내는 방정식이다. 물리학자인 윌리엄 랭킨()과 프랑스의 공학자인 피에르앙리 위고니오()의 이름을 땄다.

유동이 1차원, 정상상태이며, 오일러 방정식을 따르고 질량, 운동량, 에너지가 보존된다 가정한다. 유동의 지배 방정식인 질량 보존과 운동량 보존, 그리고 에너지 보존 방정식에서 두 속도  and 를 제거하여 랭킨-위고니오 방정식을 얻는다.

유입되는 유동은 아래첨자 1이라 하고 유출되는 유동은 아래첨자 2라 한다. 여기서 는 밀도, 는 속도, 는 압력이라 한다. 는 단위 질량당 내부 에너지를 나타낸다. 만약 유동을 이상기체라 가정하면, 상태 방정식은 이다.

다음 방정식은

각각 질량 보존, 운동량 보존, 에너지 보존을 나타낸다. 에너지 유량은 기계적 일, 내부에너지, 운동 에너지 3개의 요소를 가진다. 이 세 개의 보존 조건을 랭킨-위고니오 조건이라 부른다.

위 방정식에서 속도를 제거하면 다음과 같은 관계를 얻는다.

여기서 엔탈피 이다.

따라서, 압력은 모두 양수이고, 밀도비는  또는 공기라면 6()이다. 충격파의 강도가 증가할수록, 유출되는 유동의 온도는 올라가지만, 밀도의 비는  유한한 값에 수렴한다.(단원자 기체는 4( = 5/3)이고, 이원자분자 기체는 6( = 1.4)이다.

 같이 보기 
 오일러 방정식

분류:방정식
분류:유체역학 방정식
분류:스코틀랜드의 발명품
분류:연속체역학