경로 (위상수학)

일반위상수학에서, 위상 공간 X 속의 경로(經路, )는 폐구간 로부터 로 가는 연속함수이다.

 정의 
가 위상 공간이라고 하자.  속의 경로는 연속 함수 이다. 여기서 은 표준적인 위상을 가진 폐구간이다. f(0)을 경로의 시작점(initial point)이라 하고, f(1)을 경로의 끝점(terminal point)이라 한다. 시작점과 끝점이 같은 경로를 고리()라고 한다.

여기에서 주의할 점은, 경로란 단순히 '곡선과 유사한' X의 부분집합을 말하는 것이 아니라, 매개화에 대한 정보도 함께 포함하고 있다는 것이다. 예를 들어 실직선의 f(x) = x와 g(x) = x2은 서로 다른 경로다.

 유클리드 공간의 경로 
유클리드 공간 에서 정의되는 경로는 로 정의되는 사상이다. 이러한 경로 에 대해서 가 에서 변할 때 점 들의 집합 를 곡선이라 하고 와 를 곡선 의 끝점이라고 한다. 이때 경로 는 곡선 를 매개변수화 한다고 한다. 만약 이라면 으로 나타낼 수 있는데 이때 , , 들을 각각 경로 의 성분함수들이라고 한다. 3이 아닌 n에 대해서도 같은 방식으로 정의한다.

 속도와 속력 

만약 경로 가 미분 가능하다면 매 에서의 속도는 다음과 같이 정의된다.

보통 그림으로 나타낼 때는 경로 가 매개변수화하는 곡선 의 각 점을 시작점으로 속도벡터를 그린다. 이때 그 지점에서의 속력은 속도벡터의 크기, 즉 로 정의한다. 만약 이라면 으로 나타날 것이고 어떤 점 에서의 속도는 연쇄법칙에 의하여 이며 속력은 이 벡터의 크기인 이다.

 접벡터와 접선 

속도벡터 는 일 때 경로 와 접한다. 만약 이라면 는 경로 로 매개변수화된 곡선 의 에서의 접벡터이다. 그리고 로부터 이 접벡터 방향으로 뻗어나가는 직선을 에서의 접선이라고 한다. 이 직선은 다음과 같은 경로 로 매개변수화되어있다.

 참고 문헌 


분류:위상수학
분류:호모토피 이론