복소평면

수학에서, 복소평면(複素平面)은 복소수를 기하학적으로 표현하기 위해 개발된 좌표평면으로 서로 직교하는 실수축과 허수축으로 이루어져 있다. 이것은 복소수의 실수부가 실수축에, 허수부가 허수축에 대응된 형태의 데카르트 좌표로 볼 수 있다.

복소평면의 개념은 복소수의 기하학적 해석을 가능하게 한다. 덧셈연산 하에서, 복소수들은 복소평면상에서 벡터처럼 더해진다. 두 복소수의 곱셈은 극좌표를 이용하면 쉽게 표현할 수 있다. 특히 복소수의 크기가 1인 복소수 간의 곱셈은 회전하는 것처럼 행동한다. 삼각함수의 덧셈정리에 의하여, 가 되어 회전한 결과와 같게 된다.

 정의 
복소수란 다음 나오는 식처럼 정리하는 수이다.
 (, 는 실수, )
다시 말해, 하나의 복소수는 실수 두개로 이뤄진 하나의 순서쌍과 대응시킬 수 있다. 하나의 순서쌍은 좌표평면의 한 점으로 대응되기 때문에 복소수 역시 좌표평면상의 한 점으로 나타낼 수 있다. 일반적으로 실수부는 좌표로, 허수부는 좌표로 대응시킨다.

극좌표를 이용하여  를

라고 표현하며, 이 경우, 실수부와 허수부는 각각,

이다. 또한, 오일러의 공식을 이용하여

라고 쓴다.

원점과 점를 이은 직선과 실수축 사이의 각인 는 의 편각이라고 하며, 삼각함수는 주기가 이기 때문에 의 편각이  일때,  (은 임의의 정수) 역시 의 편각이다. 편각 중에서 구간 (]에 있는 것은 유일하며, 특별히 주편각이라고 한다. 의 편각을 나타내는 기호는 이며, 주편각은 이다.

 같이 보기 
 복소기하학
 리만 구
 실직선
 참조 


  Reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company .


분류:복소해석학
분류:복소수
분류:제어이론