요네다 보조정리

범주론에서 요네다 보조정리([米田]補助定理, )는 특정한 범주를 집합 값의 함자 범주에 묻는 함자를 만들 수 있게 하는 보조정리다. 군론의 케일리의 정리를 크게 일반화한 것이다. 대수기하학과 표현론에서 중요하게 쓰인다.

 보조정리 
가 국소적으로 작은 범주(임의의 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인 범주)라고 하자. 각 대상 에 대해, 다음과 같은 함자가 존재한다 (는 집합의 범주).


이 함자에서, 사상 의 상은 다음과 같다.

마찬가지로, 다음과 같은 함자가 존재한다 (는 반대 범주).

그리고 함자 가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 따르면, 모든 대상 에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

이 때,
 은 모든 자연 변환 들의 집합이다.
 는 의 상이다.
위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.

이를 표준적으로 만드는 두 함자는 다음과 같다 (는 함자 와 자연 변환의 범주).

즉, 위 일대일 대응들은 이 두 함자 사이의 자연 동형을 이룬다. 첫 번째 함자에서, 사상 의 상은 다음과 같다.

두 번째 함자에서, 사상 의 상은 다음과 같다.

마찬가지로, 모든 함자  및 대상 에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

이 때
 는 자연 변환 들의 집합이다.
 는 의 상이다.
이 일대일 대응

들은 함자

와

사이의 자연 동형을 이룬다.

 증명 
쌍대성에 따라, 함자 가 인 경우를 증명하면 충분하다. (의 경우, 를 그 반대 범주로 대체한다.)

임의의 자연 변환 에 대해 를 생각할 수 있다. 는  함자를 의 원소로 옮겨야 하고, 이므로, 임을 알 수 있다.

이제, 모든 에 대해 인 유일한 자연 변환 를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기()를 사용하여 증명할 수 있다.
파일:YonedaLemma-02.png

자연 변환

은 자명하게 를 만족한다. 반대로, 자연 변환의 정의에 따라 위 가환이 성립하므로, 를 만족하는 자연 변환은 위 자연 변환밖에 없다. 다시 말해, 의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다.

 요네다 매장 
국소적으로 작은 범주 가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 대상 와 함자 를 대입하면 다음 전단사 함수를 얻는다.


사실, 이는 함자 범주 로 가는 함자

를 임의의 사상 집합으로 제한한 것이다. 따라서, 이 함자는 충실충만한 함자이다. 다시 말해, 이 함자는 범주 를 그 성질 그대로  안에 옮겨놓는 역할을 한다. 이 함자를 요네다 매장([米田]埋藏, )이라고 부른다.

마찬가지로, 요네다 보조정리에 따라, 함수

는 전단사 함수이며, 다음과 같은 충실충만한 함자가 존재한다.

 역사 
일본의 수학자 요네다 노부오가 1954년에 발표하였다.

 각주 

 외부 링크 







 같이 보기 
 표현 가능 함자

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