수반 함자

범주론에서 수반 함자(隨伴函子, ) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로 간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다.

 정의 
 쌍대단위원과 단위원을 통한 정의 
두 범주 ,  사이의 두 함자

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 와  사이의 수반() 는 다음과 같은 두 개의 자연 변환의 순서쌍이다.

여기서  및 는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야만 한다.

여기서  및 는 항등 자연 변환이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다.

이 경우, 를 의 왼쪽 수반 함자(-隨伴函子, )라고 하고, 를 의 오른쪽 수반 함자(-隨伴函子, )라고 하며, 은 쌍대단위원(雙對單位元, ), 는 단위원(單位元, )이라고 한다. 이는 기호로

또는

와 같이 쓴다.

 보편 성질을 통한 정의 
두 범주 ,  사이의 두 함자

사이의 수반은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 사상들로 이루어진 자연 변환

이다.
 임의의 대상  및  및 사상 에 대하여, 인 유일한 사상 가 존재한다.

마찬가지로, 다음과 같이 정의할 수 있다. 와  사이의 수반은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 사상들로 이루어진 자연 변환

이다.
 임의의 대상  및  및 사상 에 대하여, 인 유일한 사상 이 존재한다.

이 두 정의는 쌍대단위원과 단위원을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, 가 쌍대단위원과 단위원의 순서쌍을 이룬다면, 과 를 이루는 사상들은 두 정의에서의 보편 성질을 각각 만족시킨다. 반대로, 자연 변환 을 이루는 사상들이 보편 성질을 만족시킨다면, 이를 쌍대단위원으로 삼는 단위원 을 찾을 수 있다. 마찬가지로, 보편 성질을 만족시키는 자연 변환 에 대하여, 이를 단위원으로 하는 쌍대단위원 을 찾을 수 있다.

 사상 집합을 통한 정의 
와 가 국소적으로 작은 범주라면, 이 두 범주 사이의 수반 함자

는 다음과 같이 정의할 수 있다. 와  사이의 수반은 함자

사이의 자연 동형

이다.

국소적으로 작은 범주의 경우, 쌍대단위원 및 단위원을 통한 정의와 사상 집합을 통한 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 쌍대단위원 과 단위원 의 순서쌍이 주어졌을 때,

는 자연 동형을 이룬다. 반대로, 자연 동형 이 주어졌을 때, 항등 사상에 대응하는 사상

들은 의 쌍대단위원과 단위원을 이룬다.

 성질 
 프레이드 수반 함자 정리 
다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.
 는
 완비 범주이다.
 국소적으로 작은 범주이다.
 는 범주이다.
프레이드 수반 함자 정리()에 따르면, 함자 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
 는 모든 작은 극한을 보존하며, 해집합 조건을 만족시킨다.
여기서  해집합 조건(解集合條件, )이란 다음과 같다. 임의의 대상 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합  및 사상들의 집합 이 존재한다.
임의의  및 사상 에 대하여, 를 만족시키는  및 가 존재한다.

만약 실제로 어떤 수반 함자쌍

이 존재한다면, 대상 에 대하여

로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.

 특수 수반 함자 정리 
다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.
 는
 완비 범주이다.
 국소적으로 작은 범주이다.
 정멱 범주이다.
 쌍대 생성 집합을 갖는다.
 는 국소적으로 작은 범주이다.
특수 수반 함자 정리()에 따르면, 함자 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
 는 모든 작은 극한을 보존하며, 단사 사상들의 (집합이 아닐 수 있는) 모임의 당김을 보존한다.

 예 
 자유-망각 수반 

대수 구조 다양체의 범주 에서, 자유 대수 함자

는 망각 함자

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

 곱-지수 수반 
데카르트 닫힌 범주 의 임의의 대상 에 대하여, 곱 함자

는 지수 대상 함자

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

집합과 함수의 범주에서의 곱-지수 수반은 커링이라고 한다.

다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 곱이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 텐서곱이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 이다.)

 대각-극한 수반 
범주  및 범주 가 주어졌고, 모든 함자 의 극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 극한 함자

는 왼쪽 수반 함자

를 가진다. 이는 의 대상을 상수 함자에 대응시킨다.

예를 들어, 가 곱을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면

는 서로 수반 함자를 이룬다.

마찬가지로, 범주  및 범주 가 주어졌고, 모든 함자 의 쌍대극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대극한 함자

는 오른쪽 수반 함자

를 가진다. 즉, 만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면

가 된다.

 참고 문헌 

 외부 링크 












 같이 보기 
 반사 부분 범주
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 모나드 (범주론)