범주 (수학)

범주론에서 범주(範疇, )는 추상적인 구조와 이를 보존하는 변환의 개념을 형식화한 것이다. 수학의 각 분야를 범주를 통해 연구하는 분야를 범주론(範疇論, )이라고 한다. 범주는 현대 수학의 거의 모든 분야에 나타나며, 수학의 여러 분야를 공통적인 언어로 다룰 수 있게 한다. 수학 밖에도, 범주론은 컴퓨터 과학과 수리물리학에서도 쓰인다.

정의
범주 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 대상(對象, )들의 모임 . 이 모임의 원소를 의 ‘대상’이라고 한다.
 임의의 두 대상 에 대하여, 를 정의역으로, 를 공역으로 하는 사상(寫像, )들의 모임 . 에 대하여 로 쓰고, 를 ‘에서 로 가는 사상’이라고 한다. 의 사상의 모임을 로 나타낸다.
 임의의 세 대상 에 대하여, 이항 연산 . 이를 사상의 합성(合成, )이라고 한다. 와 의 합성은  또는  등으로 나타낸다.
 임의의 대상 에 대하여, 특별한 사상 . 이를 의 항등 사상(恒等寫像, )이라고 한다.
이 데이터는 다음의 조건들을 만족시켜야 한다.
 (결합 법칙) 임의의 대상  및 사상 에 대하여, 
 (항등원) 임의의 대상  및 사상 에 대하여, 

 작은 범주 

범주 에 대하여, 다음을 정의한다.
 만약 와 가 둘 다 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우),  를 작은 범주라고 한다.
 만약 임의의 에 대하여 가 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우),  를 국소적으로 작은 범주()라고 하며, 사상 모임을 사상 집합(寫像集合, )이라고 한다.
작은 범주가 아닌 범주를 큰 범주()라고 한다. 집합과 함수의 범주를 비롯해, 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 국소적으로 작은 범주이다.

만약 그로텐디크 전체를 사용하는 경우, 그로텐디크 전체 에 대하여, 다음과 같이 정의한다.
 만약 이며 인 경우,  를 -작은 범주라고 한다.
 만약 임의의 에 대하여 인 경우,  를 -국소적으로 작은 범주라고 한다.

 반대 범주 
범주 가 주어졌을 때, 다음과 같은 반대 범주(反對範疇, ) 를 정의할 수 있다.
 의 대상은 의 대상과 같다.
 에서, 대상 에서 로 가는 사상은 에서, 에서 로 가는 사상이다. 즉, 이다.
반대 범주에서는 전사 사상이 단사 사상으로, 곱이 쌍대곱으로, 극한이 쌍대극한으로 바뀐다. 만약 모노이드나 군, 환을 하나의 대상을 갖는 범주로 간주할 경우, 반대 범주의 개념은 반대 모노이드 · 반대군 · 반대환의 개념의 일반화이다.

 예 
각 범주는 대상이 무엇인지, 사상이 무엇인지, 그리고 사상들이 어떻게 합성되는지에 의해 결정된다.
 기호  대상  사상  사상 합성  항등 사상집합  함수  함수의 합성  항등 함수원순서 집합  단조함수 함수의 합성  항등 함수마그마 마그마 준동형함수의 합성   항등 준동형군 군 준동형 사상함수의 합성  항등 준동형아벨 군 군 준동형 사상함수의 합성  항등 준동형환 환 준동형 사상함수의 합성  항등 준동형가환환 환 준동형 사상함수의 합성  항등 준동형유사환 유사환 준동형 사상함수의 합성  항등 준동형 (은 환) 위의 (왼쪽) 가군(왼쪽) 가군 준동형 사상함수의 합성항등 준동형 (는 체)  위의 벡터 공간선형 변환함수의 합성 항등 선형 변환위상 공간연속 함수함수의 합성 항등 함수매끄러운 다양체매끄러운 함수함수의 합성항등 함수 작은 범주 함자 함자의 합성  항등 함자집합관계 등호 부분 순서 집합 의 원소 이면 , 아니면 모노이드  (임의의 유일한 대상) 의 원소  모노이드 이항 연산  모노이드 항등원   (는 임의의 범주) 의 대상 의 항등 사상 (, 는 임의의 범주)에서 로 가는 함자함자들 사이의 자연 변환자연 변환의 합성항등 자연 변환  없음 (공집합)  없음 (공집합)   (하나의 대상)  (하나의 사상)  ­ (두 개의 대상) , ,  (세 개의 사상)  , 

 역사 
범주의 개념은 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1942~1945년 사이에 대수적 위상수학에서 영감을 얻어 도입하였다. 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다.

 같이 보기 
 함자 (수학)
 자연 변환

 각주 

 참고 문헌 



 외부 링크 







분류:범주론