시작 대상과 끝 대상

범주론에서 시작 대상(始作對象, )과 끝 대상(-對象, )은 매우 단순하여, 이 대상을 정의역 또는 공역으로 하는 사상이 하나밖에 없는 대상이다.

 정의 
범주 의 대상 가 주어졌다고 하자.
 만약 모든 에 대하여 가 하나의 원소만을 갖는다면, 를 에서의 시작 대상이라고 한다.
 만약 모든 에 대하여 가 하나의 원소만을 갖는다면, 를 에서의 끝 대상이라고 한다.
 만약 가 에서의 시작 대상이자 끝 대상일 경우, 를 에서의 영 대상(零對象, )이라고 한다.

 성질 
모든 대수 구조 다양체의 범주는 (완비 범주이자 쌍대 완비 범주이므로) 시작 대상과 끝 대상을 갖는다. 시작 대상은 한원소 집합 위의 대수 구조이며, 끝 대상은 한원소 집합으로 생성되는 자유 대수이다. 시작 대상과 끝 대상은 같을 수도, 다를 수도 있다.

모든 아벨 범주는 정의에 따라 영 대상을 갖는다.

 예 
 범주  시작 대상  끝 대상 집합의 범주   공집합   한원소 집합  위상 공간의 범주   공공간   한원소 공간  위상 공간의 호모토피 범주   공공간   한원소 공간  작은 범주의 범주   공범주   하나의 대상과 그 상수사상만을 갖는 범주  모노이드의 범주  자명 모노이드 군의 범주  자명군 1 아벨 군의 범주  자명군 0 (단위원을 갖는) 환의 범주  정수환   자명환 0 (단위원을 갖는) 가환환의 범주   정수환   자명환 0 유사환의 범주  자명환 0 아핀 스킴의 범주   자명환의 스펙트럼   정수환의 스펙트럼  스킴의 범주   자명환의 스펙트럼   정수환의 스펙트럼  체의 범주  (없음) 범주로 간주한 부분 순서 집합 ()  (만약 존재한다면) 최소 원소  (만약 존재한다면) 최대 원소 범주로 간주한, 자명하지 않은 모노이드 (없음) 하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주  유일한 대상 

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:극한 (범주론)