뱀 완전열

호몰로지 대수학에서 뱀 완전열(-完全列, )은 아벨 대상의 아벨 범주 속의 6개의 대상들 사이의 가환하는 사상으로부터, 사상들의 핵과 여핵들 사이를 연결하는 완전열이다.

 정의 
아벨 범주에서, 다음과 같은 그림이 가환한다고 하자.
파일:Snake lemma origin.svg
여기에서 각 행은 완전열이며 0은 영 대상이다. 이 경우, 세 사상 , , 의 핵과 여핵들로 구성된 6항 완전열이 존재하며, 이를 뱀 완전열이라고 한다.

이 완전열에서, 를 연결 사상(連結寫像, )이라고 한다.

연결 사상 는 만약 가 아벨 군 범주의 부분 범주라고 할 경우 구체적으로 다음과 같다.
연결 사상의 구성:
우선, 임의의 에 대하여 다음과 같은 원소들을 정의하자.
 인 임의의  (이는 가 전사 사상이므로 가능하다)
 이므로, 가 된다.
 가 완전열이므로, (다시 말해, 이고 이 단사 사상이므로) 인 이 유일하게 존재한다.
그렇다면, 연결 사상 는 다음과 같다.

이는 의 선택에 의존하지 않으며, 또한 연결 사상을 통해 얻는 열이 완전열임을 보일 수 있다.
뱀 완전열의 존재는 다음과 같이 도롱뇽 정리를 사용하여 보일 수 있다.
증명:
그림의 위에 핵을, 밑에 여핵을 추가하여 다음과 같은 그림을 만들자.

이제, 다음 세 명제를 증명하면 족하다.
 (가): 
 (나): 
 (다): . 이는 이며, 이기 때문이다. 이 동형 사상은 연결 사상에 해당한다.

이제, 완전성을 사용하여 다음 교외 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다.

를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열 및 를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열을 사용하면, 아래 그림에 추가된 교내 사상이 추가로 동형 사상임을 알 수 있다.

이제, (가) ~ (다)의 증명은 다음과 같이 간단하다.
 (가): 위의 그림에서 붉게 칠한 동형 사상 
 (나): 위의 그림에서 하늘색으로 칠한 동형 사상 
 (다): 위의 그림에서 녹색으로 칠한 동형 사상 

 성질 
그림
파일:Snake lemma origin.svg
에 대응하는 뱀 완전열에서, 다음이 성립한다.
 (가) 만약 가 단사 사상이라면 도 단사 사상이다.
 (나) 이 전사 사상인 경우 도 전사 사상이다.
이들은 서로 쌍대적이다. 즉, 아벨 범주 에서의 명제 (가)는 반대 범주 에서의 명제 (나)와 같다.
증명:
편의상 (가)를 증명하자.

가환 그림

에서, 임을 보이면 족하다.

도롱뇽 정리로부터, 동형 사상을 이루는 두 교외 사상

이 존재한다. 따라서 이다. 따라서, 를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열

으로부터, 임을 알 수 있다.

 호몰로지 긴 완전열 
사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌을 경우, 위와 같은 뱀 완전열들이 이어져 더 긴 완전열을 얻는다. 이를 짧은 완전열에 대응하는 호몰로지 긴 완전열()이라고 한다.

구체적으로, 아벨 범주에서, 사슬 복합체 , , 가 주어졌다고 하고, 이들이 다음과 같은 짧은 완전열을 이룬다고 하자.

지그재그 정리(zigzag補助定理, )에 따르면, 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

뱀 완전열을 사용한 구성:
다음과 같은 가환 그림을 생각하자.

뱀 보조정리에 따라서, 모든 에 대하여 다음 두 행들은 완전열을 이룬다.

따라서, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

이 그림에서 각 열의 핵과 여핵은 각각 호몰로지 와 이다. 따라서, 여기에 뱀 보조정리를 다시 한 번 더 적용하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.
도롱뇽 정리를 사용한 구성:
다음과 같은 그림을 생각하자.

이제, 다음과 같은 사상들을 생각하자.

여기서, 도롱뇽 정리를 사용하여, 붉은 색으로 칠해진 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다. 또한, 검은 색으로 칠해진 사상, 즉

는 도롱뇽 정리에 등장하는 완전열이다. 붉은 색의 동형 사상을 적용하면, 이는 호몰로지 긴 완전열

과 같다.

 예 

대수적 위상수학에서 쓰이는 마이어-피토리스 열은 뱀 완전열의 일종이다. 마찬가지로, 복시테인 준동형은 뱀 완전열의 연결 사상의 일종이다.

 역사 
섬네일|오른쪽|1657년 유럽에서 출판된 동물학 서적에 수록된 뱀의 그림
뱀 완전열은 연결 사상이 가환 그림에서 마치 뱀처럼 구불거리는 모양을 하므로 이러한 이름이 붙었다. 즉, 다음과 같은 그림
파일:Snake lemma complete.svg
에서, 연결 사상은 갈지자 (之) 모양을 하고 있다.

데이비드 앨빈 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 뱀 정리가 등장한다.

뱀 완전열의 존재의 (수학적으로 올바른) 증명이 클로디아 와일() 감독의 1980년 미국 영화 《뉴욕 소나타》()의 도입부에서 등장한다. 이 영화에서 수학 교수 케이트 건징어(, 질 클레이버그 분)는 이 정리를 강의 중에 증명한다.

 같이 보기 
 지그재그 보조정리
 각주 

 외부 링크 










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