갈루아 군

수학에서 갈루아 군(Galois群, )은 특정한 종류의 체의 확대에 대응되는 군이다. 갈루아 이론은 갈루아 군을 이용해 체의 확대 (및 이를 생성하는 다항식)을 연구하는 분야이다.

 정의 
체의 확대 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 체 의 자기 동형  가운데 인 것들은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 체의 확대 의  자기 동형군 라고 한다.

만약 가 갈루아 확대일 경우, 그 자기 동형군을 갈루아 군 이라고 한다.

체 의 분해 가능 폐포 의 자기 동형군 을 절대 갈루아 군() 이라고 한다. 절대 갈루아 군은 스펙트럼 의 에탈 기본군과 표준적으로 동형이다.

는 최대 갈루아 확대이므로, 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 부분군이다.

 갈루아 군의 위상 
갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군의 구조를 가져 위상군이 된다. 구체적으로, 갈루아 확대 에 대하여, 그 부분 확대들의 격자  및 갈루아 부분 확대들의 격자

를 정의하자. 그렇다면, 갈루아 군 은 다음과 같이 유한군들의 역극한으로 나타낼 수 있다.

이와 같이 유한군의 역극한으로 나타내어지는 위상군을 사유한군이라고 하며, 갈루아 군의 사유한 위상을 크룰 위상()이라고 한다.

 성질 
갈루아 이론의 기본 정리()에 따라, 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다.
 체론  군론 의 부분 확대   절대 갈루아 군의 닫힌 부분군 의 유한 부분 확대   절대 갈루아 군의 열린닫힌 부분군  유한 확대 에서, 를 고정시키는 매장   의 (왼쪽) 잉여류 갈루아 확대   절대 갈루아 군의 닫힌 정규 부분군  의 부분 확대 의 켤레 확대()   의 켤레 부분군 
이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

 갈루아 코호몰로지 
갈루아 군의 군 코호몰로지는 여러 흥미로운 정보들을 담고 있다. 이는 또한 의 스펙트럼 의 에탈 코호몰로지와 같다.

체의 확대 가 주어졌을 때, 자기 동형군 는 정의에 따라  위에 자연스럽게 작용하며, 은 군환  위의 가군을 이룬다.

가법 힐베르트 90번 정리(加法Hilbert九十番定理, )에 따르면, 유한 갈루아 확대 에 대하여,  계수의 고차 군 코호몰로지는 자명군이다.

(이는 정규 기저 정리()로부터 증명할 수 있다.)

체의 확대 가 주어졌을 때, 자기 동형군 는 가역원군  위에 자연스럽게 작용하며, 는 군환  위의 가군을 이룬다.

승법 힐베르트 90번 정리(乘法Hilbert九十番定理, )에 따르면, 유한 확대 의 자기 동형군 가 유한군이라면,  계수의 1차 군 코호몰로지는 자명군이다.

(이 경우 가 갈루아 확대라고 가정할 필요가 없다.)

 예 
 임의의 체 에 대하여, 는 자명군이다.
 은 두 개의 원소를 가지며, 이는 항등 함수와  이다.
모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군으로 나타낼 수 있다.

 3차 다항식 
임의의 체  및 3차 기약 다항식 에 대하여, 만약 이라면, 의 분해체는 의 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 다음과 같다.

여기서 는 의 판별식이다.

 절대 갈루아 군의 예 
 대수적으로 닫힌 체 의 절대 갈루아 군 은 자명군이다.
 실수체의 절대 갈루아 군 는 두 개의 원소를 갖는다. 그 둘은 항등 함수와 복소 공액 사상 이다. (실수체는 완전체이므로, 그 분해 가능 폐포는 대수적 폐포와 같다.)
 유리수체의 절대 갈루아 군 는 무한군이다. 유리수체의 절대 갈루아 군의 직접적인 묘사는 알려져 있지 않다. 다만, 벨리의 정리()에 따르면 유리수체의 절대 갈루아 군은 데생당팡의 집합 위에 자연스러운 충실한 작용을 갖는다.
아르틴-슈라이어 정리()에 따르면, 절대 갈루아 군 가운데 유한군인 것은 자명군과 2차 순환군 밖에 없다. 즉, 모든 절대 갈루아 군은 위 세 가지의 예와 비슷하다.

 같이 보기 
 절대 갈루아 군
 갈루아 이론
 갈루아 모듈
 가해군

 참고 문헌 

 외부 링크 









분류:갈루아 이론