직교

직교(直交, )는 유클리드 기하학의 수직을 일반화한 개념이다. 예를 들어 내적 공간에서, 두 벡터의 내적이 0일 때 두 벡터가 서로 직교한다고 정의한다. 기호는 .

 어원 
Orthogonality라는 단어는 고대 그리스어로 '꼿꼿하다'는 의미의  (orthos)와Liddell and Scott, A Greek–English Lexicon s.v. ὀρθός '각도'라는 의미의  (gonia)에서 유래한다.Liddell and Scott, A Greek–English Lexicon s.v. γωνία 이 둘의 합성어인 은 이후 로마에서 orthogonium로 바뀌는데 처음에는 직사각형을 나타내는 단어였다.Liddell and Scott, A Greek–English Lexicon s.v. ὀρθογώνιον 이후 이것이 직각삼각형 역시 의미하다가, 12세기에 처음으로 직각 또는 직각의 관계를 나타내는 단어로 사용되었다.Oxford English Dictionary, Third Edition, September 2004, s.v. orthogonal 한문으로는 수직하여(直) 만난다(交)는 뜻이다.

 정의 
가환환  위의 가군  및 그 쌍대 가군

가 주어졌다고 하자. 가군의 원소 와 쌍대 가군 원소 가 주어졌을 때, 만약

이라면, 와 가 서로 직교한다고 한다. 마찬가지로, 부분 가군 와 쌍대 가군의 부분 가군 가 주어졌을 때, 만약 임의의  및 에 대하여 이라면, 과 이 서로 직교한다고 한다.

특히, 가환환  위의 가군  위에 비퇴화 쌍선형 형식

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가군과 쌍대 가군 사이에 다음과 같은 동형 사상을 줄 수 있다.

따라서, 가군 원소와 쌍대 가군 원소의 직교 대신, 두 가군 원소의 직교를 정의할 수 있다. 구체적으로, 가군의 두 원소 가 주어졌을 때, 만약

이라면, 과 가 서로 직교한다고 한다. 정의에 따라, 직교는 가군 위의 이항 관계를 이룬다. 만약 가 대칭 쌍선형 형식이거나 반대칭 쌍선형 형식이거나 교대 쌍선형 형식이라면, 에 대한 직교는 대칭 관계를 이룬다. 그 역은 가 체인 경우 참이지만, 일반적으로는 거짓이다. 두 부분 가군 가 주어졌을 때, 만약 임의의  및 에 대하여 이라면, 와 이 서로 직교한다고 한다. 부분 집합 가 주어졌을 때 만약 임의의 서로 다른 원소 에 대하여 이라면, 를 직교 집합(直交集合, )이라고 한다.

마찬가지로, 비퇴화 반쌍선형 형식에 대한 직교를 정의할 수 있다.

 성질 
등방 벡터를 포함하지 않는 직교 집합은 항상 선형 독립 집합이다. 특히 내적 공간에서, 영벡터를 포함하지 않는 직교 집합은 항상 선형 독립 집합이다.

 예 
유클리드 공간  위에는 표준적인 내적

이 존재한다. 두 벡터 이 직교할 필요충분조건은 이다.

임의의 측도 공간  및 가 주어졌을 때, L2 공간  위에는 표준적인 내적

이 존재한다. 두 가측 함수(의 동치류)가 직교할 필요충분조건은 이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:선형대수학
분류:함수해석학