무한 집합

집합론에서 무한 집합(無限集合, )은 원소의 개수가 무한히 많은 집합으로, 유한집합이 아닌 모든 집합이며, 가산 집합과 비가산 집합으로 나눌 수 있다.

 정의 
엄밀한 정의로는 집합 의 적당한 진부분 집합 가 존재해, 와  사이의 일대일 대응이 존재하면 를 무한 집합이라 한다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 무한 집합이라고 한다.
 는 두 개 이상의 원소를 가지며, 와  사이에 전단사 함수가 존재한다.
 와 그 진부분 집합  사이에 전단사 함수가 존재한다.
 단사 함수이지만 전사 함수가 아닌 함수 가 존재한다.
 전사 함수이지만 단사 함수가 아닌 함수 가 존재한다.
 단사 함수 가 존재한다.
 전사 함수 이 존재한다.
만약 선택 공리를 가정하지 않으면, 이 조건들 가운데 일부는 동치이지 않을 수 있다.

 성질 
임의의 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 무한 집합이다.
 는 무한 집합이다.
 멱집합 는 무한 집합이다.
무한 공리를 제외한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 무한 집합의 존재를 증명할 수 없다. 즉, 무한 공리의 존재를 보이려면 무한 공리가 필요하다.

 예 
자연수의 집합 · 정수의 집합 · 유리수의 집합은 가산 무한 집합이다. 실수의 집합 · 복소수의 집합은 비가산 집합이다.

 분류 
 무한 집합
 가산 무한 집합
 자연수의 집합
 정수의 집합
 유리수의 집합
 비가산 무한 집합
 실수의 집합
 복소수의 집합

 같이 보기 
 알레프 수
 유한 집합

 각주 

 외부 링크 



분류:집합론