잉여류

군론에서 잉여류(剩餘類, )는 주어진 부분군에 의하여 결정되는 동치 관계의 동치류이다.

 정의 
가 군이고, 가 그 부분군이며, 가 의 원소일 때, 가 속하는 의 왼쪽 잉여류()는 다음과 같다.

마찬가지로, 가 속하는 의 오른쪽 잉여류()는 다음과 같다.

(아벨 군의 경우를 비롯해 덧셈 기호를 사용할 때에는 잉여류를 나 로 표기한다.)

 속의 의 모든 왼쪽 잉여류의 집합을 라고 표기한다. (만약 가 정규 부분군일 경우, 이는 자연스러운 군의 구조를 가지며, 몫군이라고 한다.) 의 크기는 라고 표기하며, 의  속에서의 지표(指標, )라고 한다. 즉, 부분군의 지표는 왼쪽 잉여류들의 수이다.

 잉여류 공간 
가 위상군이라고 하자. 그렇다면, 왼쪽 잉여류 집합 는 자연스러운 몫공간 위상을 갖는다. 이를 잉여류 공간()이라고 한다. 이는 동차공간을 이룬다.

 성질 
군 의 부분군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 모든 에 대하여, 이다.
 는 의 정규 부분군이다.

라그랑주 정리에 따르면, 만약 가 유한군이라면, 부분군 의 지표는 다음과 같다.

만약 일련의 부분군들 이 주어졌다면,

이다. 여기서 우변은 기수의 곱셈이다.

지표가 2인 부분군은 항상 정규 부분군이다. 보다 일반적으로, 유한군  및 소수 에 대하여, 만약 가 의 최소 소인수라면, 지표가 인 부분군은 항상 정규 부분군이다.

우선, 군 와 부분군 가 주어졌고, 라고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여

이다. 즉, 은 의 정규 부분군이다.

유한군  및 소수  및 부분군 가 주어졌고, 가 의 최소 소인수이며, 라고 하자. 이 정규 부분군이라는 사실을 증명하려면, 임의의 에 대하여 임을 보이면 된다.

이라고 하자. 그렇다면 임을 보이기만 하면 된다.

이므로

이다. 는 의 최소 소인수이므로, 이거나 이다. 만약 라면,

이므로 이며, 특히

인 이 존재한다.

이므로 와 모순이다. (이 명제는 정규핵을 사용하여 증명할 수도 있다.)

 예 
정수의 덧셈군  속의, 의 배수들로 구성된 부분군

을 생각하자. 그렇다면, 의 잉여류

는 와 합동인 정수들의 집합이다. 이 경우 는 정규 부분군이므로, 잉여류 공간 은 몫군을 이루며, 이는 크기 의 순환군이다.

 같이 보기 
 여차원
 동차 공간
 대칭 공간
 이중 잉여류

 외부 링크 







분류:군론