닮음 (기하학)

기하학에서 닮음() 또는 상사(相似)는 유클리드 공간의 모든 각을 보존하며 모든 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 아핀 변환이다. 모든 닮음은 고정점을 가지는 닮음과 등거리 변환의 합성으로 나타낼 수 있다. 평행 이동, 회전, 반사 등이 이러한 등거리 변환이 될 수 있다.

두 도형의 하나에 닮음에 대한 상을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면 이 두 도형을 서로 닮음이라고 한다. 닮은 도형은 모양은 같거나 거울상이되 크기는 다를 수 있다. 예를 들어, 두 삼각형이 서로 닮음일 필요충분조건은 세 대응각의 크기가 각각 같고, 세 대응변의 길이의 비가 모두 같다.

위상수학에서는 더 나아가 구와 원뿔과 원기둥과 정육면체를 닮은 도형으로 간주한다. 정확하게는 위상동형(homeomorphism) 관계의 도형이다. 두 원, 두 직각이등변삼각형, 변의 개수 혹은 각의 개수가 같은 두 정다각형, 중심각의 크기 혹은 호의 길이가 같은 두 부채꼴, 두 구, 면의 개수가 같은 두 정다면체 등은 모두 항상 닮음이다. 또, 닮음의 조건(위)를 나타내면 SSS 닮음(세 변의 길이의 비가 각각 같다.), SAS 닮음(두 변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같다.), AA 닮음(두 각의 크기가 같다, 삼각형의 내각의 합은 180도이므로 두 각의 크기가 같으면 나머지 한 각의 크기도 구할 수 있다.)이다.

 정의 
양의 실수 가 주어졌다고 하자.

비 의 닮음()는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 이다.
 임의의 에 대하여, 

이는 유클리드 공간의 가역 아핀 변환을 이룬다.

 중심닮음 
섬네일|중심닮음을 취한 오각형
점  및 실수 가 주어졌다고 하자.

중심  및 비 의 중심닮음(호모세티)()은 다음과 같은 함수이다.

 성질 
아핀 변환 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 닮음이다.
 (각의 보존) 임의의 에 대하여, 
 (직각의 보존) 임의의 에 대하여, 라면, 

비 의 닮음은 차원 도형의 초부피를 배 확대(축소)한다.

비가 인 중심닮음은 비가 인 닮음이다. 이는 일 경우 방향을 보존하며, 일 경우 방향을 반전한다. 반대로, 비 의 닮음이 고정점 을 가진다면, 이는 중심  및 비 의 중심닮음이다.

원점을 중심으로 하는 중심닮음은 선형 변환이다. 그 임의의 기저에 대한 행렬은 비가 일 경우 이다.

모든 닮음은 중심닮음과 등거리 변환의 합성으로 나타낼 수 있다.

 삼각형의 닮음 
두 삼각형 와 의 닮음은 Similarity의 라틴어 머릿글자 S를 옆으로 눕힌 기호(∽)를 사용한다. 와 같이 표기한다.

두 삼각형  및 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 . 즉, 두 삼각형은 서로 닮음이다.
 . 즉, 세 쌍의 대응변의 길이가 비례한다. 이를 변변변 닮음()이라고 한다.
 이며 . 즉, 두 쌍의 대응변의 길이가 비례하며, 그 사잇각의 크기가 같다. 이를 변각변 닮음()이라고 한다.
 이며 . 즉, 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다. 이를 각각 닮음()이라고 한다.

서로 닮음인 삼각형의 세 대응변의 길이의 비가 모두 라면, 넓이의 비는 이다.

 예 
모든 등거리 변환은 비 1의 닮음이다. 따라서 합동은 닮음의 특수한 경우다.

평면  위에서, 원점 을 중심으로 하고 2를 비로 하는 중심닮음은 행렬로 표기하면 다음과 같다.

 같이 보기 
 합동 (기하학)

 각주 

 외부 링크 



분류:유클리드 기하학
분류:동치 관계