위상동형사상

위상수학에서 위상동형사상(位相同型寫像, )은 위상수학적 성질을 양향적으로 보존하는 두 위상 공간 사이의 함수다. 두 공간 사이에 위상동형사상이 존재할 경우, 이 둘은 서로 위상동형(位相同型, )이라고 한다. 위상수학적 관점에서 이 둘은 같은 공간이라고 말할 수도 있다. 간단하게 설명하자면, 기하학적 물체를 찢거나 붙이지 않고 구부리거나 늘이는 것으로 다른 형태로 변형하는 것을 말한다.

 정의 
위상 공간 와 가 주어져 있다고 하고, 를 두 위상 공간 사이의 함수라고 하자. 만약 함수 가 다음의 세 조건을 만족하면, 를 위상동형사상이라 한다.
 는 전단사 함수이다.
 는 연속 함수이다.
 역함수 도 연속 함수이다.

만일 이러한 세 가지 조건을 만족시키는 함수가 두 위상 공간 사이에 존재하면 두 위상 공간이 서로 위상동형()이라고 한다.

 예 
섬네일|right|300px|세잎매듭(trefoil knot)은 토러스와 위상동형이다. 연속적인 사상(mapping)을 항상 연속적인 물체의 변형(deformation)으로 표현가능한 것은 아니다. 그림에서 매듭을 두껍게 표현한 것은 이해를 돕기 위해서이다.
에서 단위원(unit circle)과 정사각형은 위상동형이다.
 개구간 (-1, +1)과 실수 전체는 위상동형이다.
두 원의 곱공간인 과 2차원 원환면은 위상동형이다.
일 때, 과 은 위상동형이 아니다.
 구와 원환면은 서로 위상동형이 아니다.

로 정의된 함수 는 전단사 함수이고 연속 함수이지만, 역함수가 연속 함수가 아니므로 위상 동형 사상이 아니다. (는 콤팩트 공간이지만 는 콤팩트 공간이 아니다.)

 성질 
 두 위상동형인 공간은 위상수학적 성질이 같다. 예를 들어 한 쪽이 콤팩트 공간이라면 다른 쪽도 그렇다. 만약 한 쪽이 연결 공간이라면 다른 쪽도 그렇다. 만약 한 쪽이 하우스도르프 공간이라면 다른 쪽도 그렇다.
 위상동형사상은 열린 사상이며 닫힌 사상이다.

 같이 보기 

 국소 위상동형사상
 호모토피
 미분동형사상
 등거리 변환은 거리 공간들 사이의 동형사상이다.

 외부 링크 




분류:함수와 사상
분류:위상수학