판별식

수학에서 판별식(判別式, )은 다항식이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다.

 정의 
대수적으로 닫힌 체  계수의 0이 아닌 다항식

의 판별식은 다음과 같다.

여기서
 는 형식적 미분이다.
 는 종결식이다.
 는 행렬식이다.

 성질 
대수적으로 닫힌 체  및 0이 아닌 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 중복근을 갖는다.


체  및 차 분해 가능 기약 다항식 에 대하여, 갈루아 군 는 근의 집합 위에서 충실하게 작용하며, 이는 단사 군 준동형

을 정의한다. 만약 라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 의 상은 의 부분군이다.


 예 
 2차 다항식 
복소수 계수 2차 다항식

의 판별식은 다음과 같다.

실수 계수 다항식의 경우, 판별식은 실수이며, 다음이 성립한다.
 만약 이라면, 는 서로 다른 두 실근을 갖는다.
 만약 이라면, 는 겹치는 두 실근을 갖는다.
 만약 이라면, 는 서로 복소켤레인 (특히 서로 다른) 두 허근을 갖는다.

 3차 다항식 
복소수 계수 3차 다항식

의 판별식은 다음과 같다.

특히, 다항식

의 판별식은

이다.

실수 계수의 경우, 다음이 성립한다.
 만약 이라면, 서로 다른 세 실근을 갖는다. 이 경우, 실근들은 허수의 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있으며, 유리수 계수 기약 다항식의 경우 실수의 거듭제곱근만을 통해서는 나타낼 수 없다. 이를 환원 불능의 경우()라고 한다.
 만약 이라면, 둘 이상이 겹치는 세 실근을 갖는다. 이 경우, 실근들은 항상 실수의 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다.
 만약 이라면, 하나의 실근과 서로 복소켤레인 두 허근을 갖는다.

유리수 계수 3차 기약 다항식의 경우, 그 분해체 는 의 갈루아 확대를 이루며, 그 갈루아 군은 다음과 같다.

 4차 다항식 
복소수 계수 4차 다항식

의 판별식은

이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 


분류:다항식
분류:원뿔 곡선
분류:이차 형식
분류:행렬식
분류:대수적 수론