벨 수

섬네일|right|4개의 원소의 집합의 분할. 총 15가지가 있으며, 따라서 이다.
조합론에서 벨 수(Bell數, )는 주어진 크기의 집합의 분할의 수를 세는 정수열이다. 12정도의 해 가운데 하나이며, 또한 푸아송 분포의 모멘트이다.

 정의 
n번째 벨 수() Bn은 n개의 원소들로 구성된 집합을 분할하는 방법의 가지수이다. 이는 n개의 원소들 사이의 동치 관계의 수로 생각할 수 있으며, 또 행의 시에서 가능한 각운 패턴의 수로도 여길 수 있다.

제2종 스털링 수 는 개의 원소들로 구성된 집합을 개의 조각으로 분할하는 방법의 수이다. 따라서 벨 수는 제2종 스털링 수의 합이다.

 투샤르 다항식 
투샤르 다항식() 또는 벨 다항식()은 다음과 같은 다항식열이다.

이는 음계산법을 써 다음과 같이 표기할 수 있다. 하강 포흐하머 기호는 이항형 다항식열을 이루므로, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.

여기서 은 하강 포흐하머 기호이다. 이 범함수의 역범함수

를 생각하면,

가 된다.

벨 수는 투샤르 다항식의 인 값이다.

투샤르 다항식은 이항형 다항식열이다. 이에 대응하는 델타 작용소는 의 역함수인

이다.

 표 
벨 수열의 값은 다음과 같다. (B0 = B1 = 1부터 시작한다.) 
 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, …

투샤르 다항식열의 값은 다음과 같다.

 성질 
 점화식 
투샤르 다항식과 벨 수는 다음과 같은 점화식을 만족시킨다.

이는 음계산법으로 표기하면 다음과 같다.

 도빈스키 공식 
다음 공식은 도빈스키 공식()라고 불린다.

이에 따라, 번째 벨 수는 기댓값이 1인 푸아송 분포

의 번째 모멘트이다.

이는 음계산법으로 다음과 같이 유도할 수 있다. 우선

이다. 따라서,

이므로,

이다. 즉,

가 된다.

 생성 함수 
투샤르 다항식 및 벨 수는 다음과 같은 지수 생성 함수를 갖는다.

이는 음계산법을 사용하여 쉽게 유도할 수 있다.  하강 포흐하머 기호의 델타 작용소는 전방 유한 차분

이며, 따라서

이다. 즉,

이다. 그런데

이므로

이다. 따라서

이다.

 적분 표현 
지수 생성 함수에 코시 적분 정리를 사용하여, 투샤르 다항식과 벨 수를 다음과 같이 선적분으로 나타낼 수 있다.


여기서 는 원점을 시계 반대 방향으로 한 번 도는 임의의 폐곡선이다.

 역사 
섬네일|52개의 겐지몬의 답안(:ja:香の図) . 원래 겐지몬은 채색되어 있지 않으며, 색깔은 대응하는 집합의 분할을 구체적으로 보이기 위해 첨가하였다.
섬네일|right|19세기 《겐지모노가타리》 삽화. 왼쪽 상단에 6장 〈스에쓰무하나〉()에 대응하는 겐지몬이 표시돼 있다.
벨 수는 중세 일본 수학에서 최초로 등장한다. 《겐지모노가타리》에서의 한 일화로부터 겐지코()(c.f.:ja:香道)라는 놀이가 등장했는데, 이 놀이에서는 5개의 향 가운데 어떤 것들이 같은 냄새의 향인지 구별하는 것이 목표이다. 가능한 해의 수는 벨 수에 따라 총 가지다. 이 52가지의 벨 수는 겐지몬()이라는 문양으로 나타내어져, 겐지모노가타리의 54개의 장의 각 표지에 표시되었다. (이 가운데 54장 〈유메 노 우키하시〉()에는 벨 수와 관계없는 겐지몬이 붙어 있으며, 35장 〈와카나 노 게〉() 와 42장 〈니오노미야〉()의 겐지몬은 모양이 다르지만 같은 집합의 분할에 대응한다.)

 번호  제목  집합의 분할 1  기리쓰보  13, 2, 45 2  하하키기  1, 2, 3, 4, 5 3  우쓰세미  1, 2, 3, 45 4  유가오  1, 2, 34, 5 5  와카무라사키  1, 23, 45 6  스에쓰무하나  1234, 5 7  모미지 노 가  1, 235, 4 8  하나 노 엔  1, 2, 35, 4 9  아오이  12, 3, 4, 5 10  사사키  123, 45 11  하나 치루 사토  1, 24, 35 12  스마  134, 25 13  아카시  1, 23, 4, 5 14  미오쓰쿠시  1, 245, 3 15  요모규  123, 4, 5 16  세키야  1, 234, 5 17  에아와세  13, 25, 4 18  마쓰카제  12, 34, 5 19  우스구모  1, 2345 20  아사가오  134, 2, 5 21  오토메  13, 2, 4, 5 22  다마카즈라  12, 345 23  하쓰네  13, 24, 5 24  고초  14, 235 25  호타루  124, 3, 5 26  도코나쓰  1, 2, 345 27  가가리비  1, 24, 3, 5 28  노와키  12, 3, 45 29  미유키  13, 245 30  후지바카마   14, 2, 3, 5 31  마키바시라  15, 24, 3 32  우메가에  1235, 4 33  후지 노 우라바  1, 25, 34 34  와카나 노 조  125, 34 35  와카나 노 게  124, 35 (분할은 42와 같지만, 겐지몬이 다름) 36  가시와기  135, 2, 4 37  요코부에  145, 2, 3 38  스즈무시  15, 2, 34 39  유기리  14, 2, 35 40  미노리  14, 25, 3 41  마보로시  15, 2, 3, 4 42  니오노미야  124, 35 (분할은 35와 같지만, 겐지몬이 다름) 43  고바이  1, 25, 3, 4 44  다케가와  15, 23445  하시히메  1345, 2 46  시가모토  14, 23, 5 47  아게마키  145, 23 48  사와라비  12, 35, 4 49  야도리기  1245, 3 50  아즈마야  125, 3, 4 51  우키후네  15, 23, 4 52  가게로  135, 24 53  데나라이  12345 54  유메 노 우키하시  (물결 모양, 집합 분할과 관계없음)

1877년에 폴란드의 구스타브 도빈스키()가 오늘날 도빈스키 공식이라고 불리는, 벨 수에 대한 공식을 발표하였다. 벨 삼각형은 찰스 샌더스 퍼스가 1880년에, 알렉산더 에잇컨()이 1933년에 거론하였다.

스리니바사 라마누잔은 노트 2권 3장에서 투샤르 다항식과 벨 수에 대하여 연구하였으나, 출판하지 않았다.

에릭 템플 벨()은 이 수들에 대하여 1934년부터 다루기 시작하였다. 벨은 원래 이 수들을 "지수적 수"()라고 불렀으나, 이후 벨을 기려 "벨 수"라고 불리게 되었다. 자크 투샤르()는 투샤르 다항식을 1939년에 도입하였다.

 같이 보기 
 집합의 분할
 스털링 수
 12정도
 포흐하머 기호
 음계산법
 베르누이 수

 참고 문헌 

 외부 링크 






분류:조합론
분류:정수열