산술-기하 평균 부등식

섬네일|(x + y)2 ≥ 4xy의 시각적인 증명. 양변에 제곱근을 취하고 2로 나누면 산술-기하 평균 부등식이 된다.
수학에서, 산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式, )은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 음이 아닌 실수들의 산술 평균은 항상 기하 평균보다 크거나 같다. 또한, 두 평균이 같을 필요충분조건은 모든 수가 같은 것이다.

산술-기하 평균 부등식의 증명은 대부분 수학적 귀납법을 사용한다. 코시의 증명은 음이 아닌 실수들의 수가 2의 거듭제곱인 경우를 먼저 증명한다. 산술-기하 평균 부등식은 로그 함수의 오목성과 동치이다.

가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 산술-기하 평균 부등식과 유사한 부등식이 성립한다. 산술-기하 평균 부등식은 소위 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식의 일부이다.

 정의 
유한 개의 음이 아닌 실수들 이 주어졌다고 하자. 다음과 같은 부등식이 성립하며, 이를 산술-기하 평균 부등식이라고 한다.

또한, 등호가 성립할 필요충분조건은, 모든 수들이 같은 것이다.

 증명 
 귀납적 증명 
수학적 귀납법을 사용하자. 우선, 인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, 개 수에 대한 산술-기하 평균 부등식이 성립한다는 가정 아래, 개 수 에 대한 산술-기하 평균 부등식을 보이자. 산술 평균을

로 적으면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같다.

만약 라면, 자명하게 등식이 성립한다. 만약 그렇지 않다면, 보다 큰 수와 보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며, 라고 하여도 무방하다. 그렇다면,

이다. 또한, 양의 실수

를 정의하면,

이므로, 는 개의 음이 아닌 실수 의 산술 평균이기도 하다. 귀납 가정에 따라

이다. 또한,

이므로

이다. 따라서, 다음이 성립한다.

이 경우, 이므로, 만약  가운데 0이 있다면, 첫번째 부등호는 등호일 수 없다. 만약에 이라면, 두번째 부등호는 등호일 수 없다. 즉, 어떤 경우에도

이다. 수학적 귀납법에 따라, 임의의 에 대하여, 개 수에 대한 산술-기하 평균 부등식이 성립한다.

 코시의 증명 
만약

이라면, 산술 평균과 기하 평균은 로 같다. 만약 서로 다른 두 수가 존재한다면, 당연히 이다. 만약 이며, 서로 다른 두 수 가 주어지면,

이므로,

이다.

이 2의 거듭제곱인 경우, 에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다. 인 경우, 이며, 이 경우는 이미 증명되었다. 에 대한 부등식을 가정한 채, 에 대한 부등식을 다음과 같이 보일 수 있다.

여기서 첫번째 부등식이 등식이 되려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로

이어야 한다. 두번째 부등식이 추가로 등식이 되려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 앞의 절반 및 뒤의 절반의 수들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등식이려면

이어야 한다. 그러나 서로 다른 수이므로, 둘 다 등식이 될 수는 없다. 따라서,

이다.

이 2의 거듭제곱 꼴이 아닌 경우, 보다 큰, 2의 거듭제곱 을 고를 수 있다. (이를테면, 인 경우 이다.) 음이 아닌 실수  및 그 산술 평균 가 주어졌다고 하고, 개의 수를 다음과 같이 개로 확장하자.

그렇다면, 이미 증명한 에 대한 부등식에 따라, 다음이 성립한다.

따라서

이다. 즉,

이다.

 미분을 통한 증명 
우선, 인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, 에 대한 부등식을 가정한 채, 에 대한 부등식을 보이자. 모든 수가 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 서로 다른 두 수가 존재하는 경우, 당연히 이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다.

이는 음이 아닌 실수 을 고정하고, 함수

를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.

극값을 구하기 위해, 의 미분을 취하자.

따라서, 는 다음과 같은 임계점을 갖는다.

따라서, 의 가능한 극값은 다음과 같다.

여기서, 일 수 없는 이유는, 이미 이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의 에 대하여,

이다. 특히, 일 경우,

이다. 이렇게 에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

 볼록성을 통한 증명 
산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들 에 대한 다음과 같은 항등식과 동치이다.

이는 로그 함수의 옌센 부등식이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법

에 따라 성립한다.

 관련 정리 
 가중 산술-기하 평균 부등식 
가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수들 x1, x2, …, xn과 그에 대응하는 가중치 α1, α2, …, αn가 있을 때, 가중치의 합 이라 하면 다음이 성립한다.

마찬가지로 이 부등식은 모든 xk들이 같을 때 등식이 된다.

 가중 산술-기하 평균 부등식의 증명 
를 가중치로 갖는 은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 는 양수라고 가정할 수 있다.

에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

일 때 는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로

이다. 는 단조증가함수이므로



가 성립함이 증명된다.

 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식 
산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 에 대하여, 다음이 성립한다.

특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다.

 기타 
이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식과 일반화된 평균 부등식이 있다.

 같이 보기 
 영의 부등식

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:부등식
분류:평균