크로네커 델타

크로네커 델타()는 선형대수학에서 정수 값을 가지는 두 개의 변수에 대해서 정의된 함수 혹은 텐서이다. 이 텐서의 이름은 수학자 레오폴트 크로네커의 이름에서 따왔다.

 정의 
크로네커 델타 δij는 다음과 같이 정의된다.

다시말하면, 이 함수는 두 개의 변수가 같은 값을 가지면 1이 되고, 그렇지 않으면 0이 된다. 예를 들어, δ12 = 0, δ33 = 1이다.

특별한 경우에 변수가 하나인 경우에는 흔히 다음과 같이 크로네커 델타 δi를 정의한다.

 일반화 크로네커 델타 
좀 더 많은 성분을 가진 텐서에 대해서도 비슷한 성질을 갖는 아래의 텐서를 생각할 수 있다.

이 텐서는 다음과 같이 정의된다.
 만약 이 의 순열이 아니라면, 일반화 크로네커 델타의 값은 0이다.
 만약 이라면,  이다.
물론, 만약 일 경우 이는 원래 크로네커 델타의 정의와 일치한다.

 성질 
크로네커 델타의 가장 중요한 성질은 다음과 같이 임의로 합을 하면, 특정한 지표 i ∈ ℤ (정수)를 골라낼 수 있다는 성질이다.

이 성질은 디랙 델타 함수와 매우 비슷한 성질이기 때문에 흔히 크로네커 델타를 이산적인 경우의 델타 함수라고 하기도 한다.

또한, 데카르트 좌표계에서의 성분끼리의 미분도 크로네커 델타로 표현된다.

 선형대수학적 성질 
크로네커 델타를 텐서로 생각할 땐 텐서의 축약으로 특정 지표를 골라내는 성질을 간단하게 나타낼 수 있으므로 공변지표(covariant index) i와 반변지표(contravariant index) j를 사용해 로 나타낸다.

이 (1,1) 텐서를 이용해 나타낼 수 있는 것들에는 다음과 같은 것들이 있다. (여기 아래에선 아인슈타인 표기법을 사용)
 단위행렬, 선형 변환으로 생각할 때.

 대각합

 내적


 선적분을 통한 표현 
다음의 잉여 계산을 통해

크로네커 델타의 적분표현을 얻을 수 있다.

여기서 적분경로는 0 주변을 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다. 또한 이 적분은 복소평면 상에서 한바퀴 돌며 적분하는 것과 같으므로 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

 응용 
디지털 신호 처리 분야에서는, 위와 같은 개념을 ℤ에서 정의된 함수로 나타낸다.

이 함수를 '임펄스', 혹은 '단위 임펄스'라고 부른다. 어떤 신호 처리 장치에 임펄스가 입력으로 주어졌을때, 출력으로 나오는 것을 임펄스 응답이라고 한다.

 같이 보기 
 레비치비타 기호
 디랙 델타 함수

분류:선형대수학
분류:텐서